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文檔簡(jiǎn)介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)
填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o
2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦
干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。
3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先
劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。
4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何
體的表面積是()
正視圖側(cè)視圖
俯視圖
A.16夜+16%
B.16血+8萬
C.8拒+16萬
D.8及+8萬
2.已知函數(shù)/(X)(兒c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則/(5)^(-1)=()
A.-2B.-1C.2D.4
3.已知向量M=(一百,1)1=(3,百),則向量5在向量萬方向上的投影為()
A.—GB.y/3C.-1D.1
7T
4.已知函數(shù).f(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
A.函數(shù)/(X)的最小正周期為TT
B.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(專,01對(duì)稱
C.函數(shù)“X)在J上單調(diào)遞增
D.函數(shù)/(力的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
5.a為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,-=2,則a=()
I
A.2B.V3C.V2D.1
6.大衍數(shù)列,米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極
衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,
12,18,24,32,40,50,...?則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為()
n2-n?2-1「(?-1)2n"
2222
7.已知△A6C的面積是:,AB=1,BC=0,則AC=()
A.5B.6或1C.5或1D.75
8.2019年10月1日上午,慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我
國(guó)的科技軍事力量,更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼,他們就是院??蒲蟹疥?他們
是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學(xué)校,學(xué)歷分別有學(xué)士、
碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道:①甲不是軍事科學(xué)院的;②來自軍事科學(xué)院的不是博士;③乙不是軍事科學(xué)院的;④乙不是
博士學(xué)位;⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來自哪個(gè)院校的,學(xué)位是什么()
A.國(guó)防大學(xué),研究生B.國(guó)防大學(xué),博士
C.軍事科學(xué)院,學(xué)士D.國(guó)防科技大學(xué),研究生
9.百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中
有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫有“仁”、“智”、“雅"、"和''四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直
到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1
到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)
數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù):
141432341342234142243331112322
342241244431233214344142134412
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為()
1123
A.-B.-C.-D.—
4555
10.已知命題P:VxeR,sinxWl,則力為()
A.九eR,sinx0>1B.VxwR,sinxNl
C.3x0eR,sinxQ>1D.VxeR,sinx>1
11.已知直線2/以+〃7=2(加>0,〃>0)過圓(%—1)2+(),—2)2=5的圓心,則工+工的最小值為()
mn
A.1B.2C.3D.4
27r
12.在AABC中,角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,Ac,已知。=彳,c=l.當(dāng)。/變化時(shí),若z=>+人?存在最大值,
則正數(shù)4的取值范圍為
A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)
2
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.若復(fù)數(shù)z=l—3i(i是虛數(shù)單位),貝jz&-10)=
IT
14.已知平面向量2,b,「滿足|源=1,\b1=2,a,萬的夾角等于且(IV)?(5-下)=0,則|3|的取值
范圍是.
15.在(2/一,]的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)為.(用數(shù)值作答)
16.運(yùn)行下面的算法偽代碼,輸出的結(jié)果為S=.
S^O;
FortFrom1To10St^p1;
IEndFbr;
:PrmS;
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)已知{q},也},匕}都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足。自+。24+…+。也=%S”,〃eN*,其中S“是數(shù)
列{4}的前〃項(xiàng)和,{%}是公差為d(dH0)的等差數(shù)列.
(1)若數(shù)列{a,J是常數(shù)列,4=2,。2=3,求數(shù)列也}的通項(xiàng)公式;
(2)若4=力2(丸是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列{"}是等差數(shù)列;
(3)若q=q=d=A:(攵為常數(shù),keN*),b=cn+k(n>2,neN*).求證:對(duì)任意〃之2,〃eN*,%>媼的恒
anan+\
成立.
18.(12分)記函數(shù)/(x)=x+;+|2%-1|的最小值為根.
(1)求加的值;
._.9
(2)若正數(shù)。,b,。滿足質(zhì)c=〃2,證明:ab+bc+ca>--------.
a-^-b+c
19.(12分)已知數(shù)列{4}的通項(xiàng)a,=2"T(〃wN*),數(shù)列也J為等比數(shù)列,且%,%,勿”成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{2}的通項(xiàng);
(2)設(shè)c“=bjlog2a,用,求數(shù)列{g}的前〃項(xiàng)和S”.
20.(12分)某企業(yè)質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了8()個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)
所測(cè)量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖:
▲頻率
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這8()個(gè)零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.01);
(2)若從這8()個(gè)零件中尺寸位于[62.5,64.5)之外的零件中隨機(jī)抽取4個(gè),設(shè)X表示尺寸在[64565]上的零件個(gè)數(shù),
求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX;
(3)已知尺寸在[63.0,64.5)上的零件為一等品,否則為二等品,將這80個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)
線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售,每箱100個(gè).企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn),已
知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為99元.若檢驗(yàn),則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品;若不檢驗(yàn),如果有二等品進(jìn)入買家手中,
企業(yè)要向買家對(duì)每個(gè)二等品支付500元的賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了11個(gè),結(jié)果有1個(gè)二等品,以整箱檢驗(yàn)
費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù),該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)?請(qǐng)說明理由.
21.(12分)已知函數(shù)/'(x)=sin2x+sinxcos(x——).
6
(1)求函數(shù)/(幻的最小正周期;
7T
(2)求/(x)在0,-上的最大值和最小值.
r(O
22.(10分)已知橢圓。:三2+營(yíng)2=1(。>〃>0)的離心率為冷,點(diǎn)尸-1,^-在橢圓上.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(U)設(shè)直線y=^+〃?交橢圓C于A8兩點(diǎn),線段43的中點(diǎn)“在直線x=l上,求證:線段A3的中垂線恒過定
點(diǎn).
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.D
【解析】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為
‘44人萬22+'726=8及+8]做選D.
222
2.C
【解析】
根據(jù)對(duì)稱性即可求出答案.
【詳解】
解:,:點(diǎn)(5,f(5))與點(diǎn)(-1,/(-1))滿足(5-1)+2=2,
故它們關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,所以/(5)4/(-1)=2,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.
3.A
【解析】
投影即為W-cos。=養(yǎng),利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.
【詳解】
設(shè)向量4與向量B的夾角為出
由題意,得£%=—6X3+1X6=-2G問=J(-回+『=2,
ir|八a?b—2^3/T
所以,向量坂在向量£方向上的投影為M.cose=[j=^^=-13.
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.
4.D
【解析】
/JTTTJTTT
由丁=二可判斷選項(xiàng)A:當(dāng)x=2時(shí),2x+^=二可判斷選項(xiàng)B;利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C;
(D1232
>=5吊2卜+總=8$12》一三〉/(好可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
由題知〃x)=cos2x+g,最小正周期7=笄=兀,所以A正確;當(dāng)x=S時(shí),
ID/1Z
2jf+y=1,所以B正確;當(dāng)弓)時(shí),2x+^w]兀,半)所以C正確;由.丫=5抽2%
的圖象向左平移強(qiáng)個(gè)單位,得、=5皿2(%+盍]=出11(2%+己]=5垣2x+5—三)=
cos(2x_]卜/(x),所以D錯(cuò)誤.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí),是一道中檔題.
5.B
【解析】
a\-2Ja2+1=2:.a=+V3?/a>0,.'.a=也,選B.
i
6.B
【解析】
直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可.
【詳解】
由題意4=0,排除D,%=4,排除A,C.同時(shí)B也滿足%=12,Q-j—24,cig=40,
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解.
7.B
【解析】
;=5,8。sin8=萬,AB=\,BC=V2
??R1母
??sinB=—;==—
V22
①若5為鈍角,貝!Icos8=-受,由余弦定理得AC?=432+802—2COSHA8-BC,
2
解得AC=逐;
②若8為銳角,貝?。ヽos8=注,同理得AC=1.
2
故選B.
8.C
【解析】
根據(jù)①③可判斷丙的院校;由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.
【詳解】
由題意①甲不是軍事科學(xué)院的,③乙不是軍事科學(xué)院的;
則丙來自軍事科學(xué)院;
由②來自軍事科學(xué)院的不是博士,則丙不是博士;
由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生,可知丙不是研究生,
故丙為學(xué)士.
綜上可知,丙來自軍事科學(xué)院,學(xué)位是學(xué)士.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由條件的相互牽制判斷符合要求的情況,屬于基礎(chǔ)題.
9.A
【解析】
由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況,用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.
【詳解】
由題意可知當(dāng)1,2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球,則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種:142,112,241,142,412.
則恰好第三次就停止摸球的概率為
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.
10.C
【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.
【詳解】
?.?全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題P:VxeR,sinxWl,
—>p:玉°eR,sinx0>1.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.
11.D
【解析】
圓心坐標(biāo)為(1,2),代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開計(jì)算即可得到所求最小值.
【詳解】
圓0—1)2+(y—2>=5的圓心為(1,2),
由題意可得2根+2〃=2,即根+〃=1,m,n>0,
IIiininnmI
則一+—=(一+—)(m+〃)=2+—.4,當(dāng)且僅當(dāng)'=」且加+〃=1即m=〃=—時(shí)取等號(hào),
mnmnmnmn2
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查最值的求法,注意運(yùn)用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系,
考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
12.C
【解析】
因?yàn)椤?里,。=1,所以根據(jù)正弦定理可得三二上二上二力,所以“=WsinA,b=^sinB,所以
3sinAsinBsinC,343
z=b+Ati=-j=sinB—^sinA=-j=[sinB+-B)]=-j=[(\--)sinB+
與cosB]=差J(1-$2+(與,sin(B+。),其中tanO=昌,0<B<y,
因?yàn)閦=6+而存在最大值,所以由8+0=]+2Z7r,ZeZ,可得2%兀+6<0<2%兀+5,keZ,
所以tan0>*,所以普>亭,解得;<之<2,所以正數(shù)X的取值范圍為(;,2),故選C.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.30i
【解析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】
z=l+3z,z(z-10)=(l-3/)(1+310)=30/.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.
一夕-G近+石-
14.--------,--------
22
【解析】
計(jì)算得到孱+。1=J7,中=近\c\cosa-1,解得cosa=-f^.,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.
【詳解】
由(5—乙)?(5—5)=0可得c2=a-\-b^9c-a-b=\a+b1*1c\cosa-1x2cos—=\a+b\9\c\cosa-1,a為MB
與己的夾角.
再由俗+萬丫
—Q~+b~+25*/j=l+4+2xlx2cos—=7可得I@+61=yfl>
c2=>/7IC\cosa-1,解得cosa
I2+1BFyFjiFy
VO<a<^,:.-l<cosa<l,即固—近曰I+1W0,解得--V-<|c
故答案為[書追,書3
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.
15.-40
【解析】
由題意,可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(+1=625-「(—1丫"0-3,,再令10.37=1,得后3即可得出X項(xiàng)的系數(shù)
【詳解】
2/_j的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為&=6(2/)51(一力=Q25-r(-l),\l°-3S
r=0,1,2,3,4,5,
令10—3r=1/=3,
所以(2/-£|的二項(xiàng)展開式中X項(xiàng)的系數(shù)為或22.(-1)3=-40.
故答案為:-40.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式,屬于基礎(chǔ)題.
16.此
11
【解析】
模擬程序的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出5的值,用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】
模擬程序的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:
11
=10
"77,
故答案為:個(gè)
【點(diǎn)睛】
本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)"=4〃-3;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
⑴根據(jù)1=2,=3可求得,再根據(jù){a,,}是常數(shù)列代入地+生仇+…+anbn=c£,〃eN*,根據(jù)通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和
的關(guān)系求解{2}即可.
⑵取n=1,并結(jié)合通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系可求得S,£「S“一£,T=4九,再根據(jù)4=S,,-S,i化簡(jiǎn)可得
S“_0+而『叫,代入S“T=化簡(jiǎn)即可知b?-b_,=^d(n>3),再證明b-b,=^d也成立即可.
”一]n2
(3)由(2)當(dāng)n22時(shí),S,r(c,-%)+《£,=。/“,代入所給的條件化簡(jiǎn)可得染尸也,S,,=S,i+a“=(Z+l)a”,進(jìn)而證
1?1(->[、"-2Jy
明可得用=丁a,i,即數(shù)列{4}是等比數(shù)列.繼而求得a“=—,再根據(jù)作商法證明乜>3■即可.
k\kJan?!?】
【詳解】
(1)解:?.?4=2,02=3,
c=2n-\.
???{4}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,
則S“=〃《,
則由cnS=afy+a2b2+...+anb?,
及c?=2/?-l,得“(2〃T)=4+b2+...+bn,
當(dāng)〃22時(shí)+優(yōu)+…+。”-1,
兩式作差,可得2=4〃-3.
當(dāng)〃=1時(shí),4=1滿足上式,
則b=4n-3;
(2)證明:,.,qb]+cL-p-y+...+cinbn-c“S”,
當(dāng)“22時(shí),%瓦+a2b2+...+/產(chǎn)明S,_|,
兩式相減得:S,c“-SgC”產(chǎn)a%
即(ST+a.)c”-S“_]CNT—(cj%)+%%—4優(yōu).
即S“_[d+Anc=AnbH.
"T2'
加(〃一1)
——------d+Anc=Anb,
2tl
n-1.,
即一y-d+%=〃.
幾—2
當(dāng)〃23時(shí),^-〃+q,T=〃I,
兩式相減得:d―2T=|d(〃23).
???數(shù)列{d}從第二項(xiàng)起是公差為|d的等差數(shù)列.
又當(dāng)n=\時(shí),由Sc=q偽,得。=仇,
當(dāng)”=2時(shí),由仇=號(hào)d+C2=jd+G+d=bi+7d,得瓦—bi=^d.
故數(shù)列也}是公差為|d的等差數(shù)列;
(3)證明:由(2),當(dāng)心2時(shí),
S,z(?!?)+?!?。也,即S"=a"c?),
,b”—C"+L,
■-b=cn+kd,^bn-c=kd,
:.Sn.xd=an-kd,即
S=S
nn-\+%=(左+1)。",
當(dāng)〃23時(shí),S“T=(4+1)4_|=m,即an=二口%*
故從第二項(xiàng)起數(shù)列{%}是等比數(shù)列,
,后+]、"-2
當(dāng)〃之2時(shí),a”=。2(—?
==
bn~cn+ic~~Cfl+kd—~c^+(〃一])2+k~=k+(〃_1)女+k~k(〃+k),
另外,由已知條件可得(4+%)。2=4々+a2b2,
又02=2匕4=攵,么=攵(2+攵),
1?a2=l,
n-2
M
因而4=
k
令Y
貝|j&±L—1=組1%一1=(〃+人叫1=______—<0
5+1)化+i)5+A)(無+i)?
bb
故對(duì)任意的〃22,“eN*,」>恒成立.
a?%+i
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用,需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項(xiàng)公
式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng),再利用作商
法證明.屬于難題.
18.(1)m=\(2)證明見解析
【解析】
(1)將函數(shù)/(x)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解;
(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.
【詳解】
—3CxH—1,xW,—1
22
311
解法一:(1)/(尤)=<-X+-,——<x<—
222
C11
3x—,x>一
22
當(dāng)xW-4時(shí),=
2\
當(dāng)4。號(hào),
當(dāng)x>g時(shí),/(幻>/(3)=1,
所以加=/min(X)=l
―3x+—,x<—
22
、31,1
解法二:(1)f(x)=<-x+—,——<x<—
222
c11
3x—,x>一
22
如圖
當(dāng)X=;時(shí),加=。加*)=1
11\(1Af1
解法三:(1)/(X)=X+-+X--+X-->X+--X--+X--
乙乙乙、乙J\乙)乙
=1+X-->1
2
即x=1時(shí),等號(hào)成立.
2
當(dāng)x=1■時(shí)機(jī)=£汨*)=1
解法一:(2)由題意可知,ab+be+ca=—I----1—>
cab
因?yàn)椤?gt;0,^>0,c>0,所以要證明不等式c力+〃c+c〃N------------
a+b+c
只需證明(F—j(tz+/?+c)>9,
\cab)
因?yàn)?—I----1—](a+b+c)N3?/3\]cibc=9成立,
\cabJVabc
所以原不等式成立.
解法二:(2)因?yàn)椤?gt;0,b>0,c>0,所以ab+be+caN3%a?b2c2>0,
a+b+c>3y/ahc>0,
又因?yàn)楸豤=l,
所以(〃+/?+c)(ab+bc+〃c)N3&ibc?35a2b2c2=9,
(ab+bc+ac)(a+b-^-c)>9
9
所以Qh+bc+CQZ------------,原不等式得證.
a-i-b+c
補(bǔ)充:解法三:(2)由題意可知,ab+be+ca=—I1—,
cab
9
因?yàn)椤?gt;0,b>0,c>0,所以要證明不等式。人+bc+azN-----------,
。+Z?+c
只需證明(,+[+,](〃+人+c)N9,
\abc)
2
由柯西不等式得:雪"(a+b+cRIy[ci,-^="+\[h—『=9成立,
abc)Iy/aJb
所以原不等式成立.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對(duì)值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,考查
了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.
19.(1)〃=g(〃eN*);⑵S?=|x[(H-l)-2n+1+2](neN*).
【解析】
(D根據(jù)b.,a,,〃用成等差數(shù)列以及{2}為等比數(shù)列,通過直接對(duì)〃進(jìn)行賦值計(jì)算出{2}的首項(xiàng)和公比,即可求
解出{"}的通項(xiàng)公式;
(2){%}的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式,采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.
【詳解】
(1)?.,數(shù)列也}為等比數(shù)列,且b“,a?,%成等差數(shù)列.
?"“+%=2%=2"
設(shè)數(shù)列{2}的公比為4,
b\+b[=24(l+q)=2
解得
打+4=4'/?<7(1+<7)=4,
|〃=2
,d=2x2y…
"3
(2)-c=b-\oga
nn2n+l31
.-.S,=-xlx2'+-x2x22+-x3x23+---+-x(n-l)x2n-|+-xnx2n
"3333'/3,
2S=-xlx22+-x2x23+-x3x24+---+-x(n-l)x2,,+-xnx2,,+I,
"3333'/3
.?_-S=1x1x2'+-xlx22+-xlx23+---+-xlx2,-1+-xlx2,,--xrtx2,,+1
“333333
12x(l-2n)
=-X--xnx2,,+1
31-23
=1X[(1-H).2"+'-2],
2=;x[(〃_l).2""+2](〃eN)
【點(diǎn)睛】
本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法,可根據(jù)數(shù)列的
通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.
20.(1)63.47;(2)分布列見詳解,期望為(3)余下所有零件不用檢驗(yàn),理由見詳解.
【解析】
(1)計(jì)算[62.0,63.0),[63.0,63.5)的頻率,并且與0.5進(jìn)行比較,判斷中位數(shù)落在的區(qū)間,然后根據(jù)頻率的計(jì)算方法,
可得結(jié)果.
(2)計(jì)算位于[62.5,64.5)之外的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)的總數(shù),寫出X所有可能取值,并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率,列出分
布列,計(jì)算期望,可得結(jié)果.
(3)計(jì)算整箱的費(fèi)用,根據(jù)余下零件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布,可得余下零件個(gè)數(shù)的期望值,然后計(jì)算整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償
費(fèi)用之和的期望值,進(jìn)行比較,可得結(jié)果.
【詳解】
(1)尺寸在[62.0,63.0)的頻率:
0.5x(0.075+0.225)=0.15
尺寸在[63.0,63.5)的頻率:0.5x0.750=0.375
且0.15<0.5<0.15+0.375
所以可知尺寸的中位數(shù)落在[63.0,63.5)
假設(shè)尺寸中位數(shù)為x
所以0.15+(X-63.0)x0.750=0.5=xa63.47
所以這80個(gè)零件尺寸的中位數(shù)63.47
(2)尺寸在[62.0,62.5)的個(gè)數(shù)為80x0.075x0.5=3
尺寸在[64.5,65.0]的個(gè)數(shù)為80x0.100x0.5=4
X的所有可能取值為1,2,3,4
貝""=1)=等=奈,P(X=2)=等=蔡
P(X=3)=等1,P(X=4)咯q
JJJJ
所以X的分布列為
X1234
418121
p
35353535
?,4c18c12,116
EX—lxF2xF3x---F4x—二—
353535357
(3)二等品的概率為().5x(0.075+0.225+0.KX))=0.2
如果對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn)則整箱的檢驗(yàn)費(fèi)用為
,=100x99=9900(元)
余下二等品的個(gè)數(shù)期望值為89x0.2=17.8
如果不對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn),
整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值為
P,=11x99+500x17.8=9989(元)
所以《>£,所以可以不對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn).
【點(diǎn)睛】
本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,掌握中位數(shù),平均數(shù),眾數(shù)的計(jì)算方法,中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊
的頻率各為0.5,考驗(yàn)分析能力以及數(shù)據(jù)處理,屬中檔題.
21.(1)萬;(2)見解析
【解析】
(1)將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的最小正周期
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值
【詳解】
(I)由題意得
原式=sin,+sinA|-cosx+—sinx
I22J
3.6.
=—sin"2x+——sin^cosx
22
3\5/3..
=—(1-co
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