晉元中學(xué)高二年級(jí)下冊(cè)期中（2021年）

2020-2021年晉元高級(jí)中學(xué)高二下期中高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷好題2021.04

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

命題人：李瑩、劉慶敏審核人：李瑩

一、填空題（共54分，1-6題每題4分，7-12題每題5分）

22

11.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓r：「+2=l（a〉人＞°）的左右焦點(diǎn)分別為耳，月，橢圓「的弦A6

a'b~

與CO分別垂直于x軸與）軸，且相交于點(diǎn)P.已知線段Q4,PC,PB,的長(zhǎng)分別為2,4,6,12,

則APF\F?的面積為.

12.已知點(diǎn)P（0,2）,橢圓上+上=1上兩點(diǎn)滿足麗=4萬(wàn)（4eA）,則

168

—

|2x,+3y,12|+|2x2+3%—121的最大值為.

二、選擇題（共20分，13-16題每題5分）

16.已知圓“：/+丁2_2》—2y—2=0,直線/:2x+y+2=（）,尸為/上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)尸作圓M的切線

PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)歸刈必國(guó)最小時(shí)，直線AB的方程為（）

A.2x—y—1=0B.2x+j—1=0C.2x—y+l=0D.2x+y+1=0

三、解答題（共76分，17-19題每題14分，20題16分，21題18分）

18.（本題滿分14分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

1

Y*__1I7

在直角坐標(biāo)系中，曲線q的方程為^=%兇+2,曲線G的參數(shù)方程為4一一.,

y=2sin8

（1）求曲線G的直角坐標(biāo)方程；（2）若&與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求曲線G的方程?

（2019屆徐匯二模19）19.（本題滿分14分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

2018年世界人工智能大會(huì)已于2018年9月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會(huì)展

示項(xiàng)目的啟發(fā)，會(huì)后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如下圖：A、8兩個(gè)信號(hào)源相距10米，。是A3

的中點(diǎn)，過。點(diǎn)的直線/與直線A3的夾角為45°.機(jī)器貓?jiān)谥本€/上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足：

Q

接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到5點(diǎn)的信號(hào)晚2秒（注：信號(hào)每秒傳播％米）.在時(shí)刻時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離

。點(diǎn)為4米.

（1）以。為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻辦時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；

（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線/不超過1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目

前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？M，

2

20.(本題滿分16分)本題共3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

已知拋物線r：y2=4x的焦點(diǎn)為F.

(1)求「上縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)P到焦點(diǎn)廠的距離；

(2)若斜率為2的直線/與「交于A、B兩點(diǎn)，且礪?礪達(dá)到最小值.求直線/的方程；

(3)設(shè)A3是「的一條弦且|AB|=f(fN4),求線段A3中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值.

3

21.（本題滿分18分）本題共3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

22

把半橢圓「：￡+￡=1（血0）與圓弧「2：（X一1）2+〉2=/（彳＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中

2

尸（1,0）為「I的右焦點(diǎn)，如圖所示，4、A?、分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn)，已知/用”2，

過點(diǎn)尸且傾斜角為。的直線交“曲圓”于尸、Q兩點(diǎn).（尸在x軸的上方）.

（1）求半橢圓和和圓弧心的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、。分別在第一、第三象限時(shí)，求△APQ的周長(zhǎng)C的取值范圍;

（3）若射線Q繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)T三T交“曲圓”于點(diǎn)R,請(qǐng)用。表示尸、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的

???2

面積的最小值.

4

2020-2021年晉元高級(jí)中學(xué)高二下期中高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷好題詳解202UM

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

命題人：李瑩、劉慶敏審核人：李瑩

一、填空題(共54分，1-6題每題4分，7-12題每題5分)

22

11.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「：「+2=1(4>6>°)的左右焦點(diǎn)分別為6，月，橢圓「的弦A6

ab~

與CO分別垂直于x軸與)軸，且相交于點(diǎn)P.已知線段9，PC,PB,的長(zhǎng)分別為2,4,6,12,

則APg的面積為.

【答案】4A

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，由R4,PC,PB,PD的長(zhǎng)分別為2,4,6,12,

得Xp=；(|PO|-|PC|)=4,yp=^(\PB\-\PA\)=2,即尸(4,2),

由|PA|=2,|PC|=4,得A(4,4),C(8,2),

161F6-

—+42-8o

角

代入橢圓方程得1/4?得

b2-2o

序64+F-

所以4叼2=；恒/|?|%|=；-242一叱.|甫=優(yōu)0-20-2=4厲.

12.已知點(diǎn)P(0,2),橢圓二+2=1上兩點(diǎn)A(%,yJ,8優(yōu),%)滿足叱=4所(/1€穴)，則

168

|2x,+3yi-n\+\2x2+3y2-12\的最大值為.

【答案】18+2如

【解析】由A戶鳳/leR)可知AB、P三點(diǎn)共線，

記A3的中點(diǎn)為V(x,y),/:2x+3y-12=0,

應(yīng)用、盤一,、分別表示A、B、M至I"的距離，則

|2x+3,y,-\2\+\2X2+3K-12|=713^+V13=2y/\3dM^,,

5

2

+^=1,

由點(diǎn)差法可求出用的軌跡方程，具體如下:8=所一>7-.v；

+*=1168

8

%-8（X|+%）8-2x

%一々16（凹+為）16-2y

因?yàn)?Z加，所以M的軌跡方程為1+（y—1）2=1,

設(shè)例（行cos?！?sin。）,

則2AdMT=2120cose+3sine—91=21舊sin（。+0）—9區(qū)21—舊—91=18+2折.

二、選擇題（共20分，13-16題每題5分）

22

15.設(shè)雙曲線C的方程為=-與=1（。＞0乃＞0）,過拋物線V=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)（0力）的直線為/.若C的

a"b"

一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線。的方程為（）

2222

A.---=1B,x1-y2C.X2--=1D.--y2=1

4444"

【答案】B

【解析】山題意得雙曲線的兩條漸近線互相垂直，故該雙曲線為等軸雙曲線，

A_n

漸近線為y=±x,拋物線丁=以的焦點(diǎn)為F（l,0）,所以——=一1,即。=1,

0-1

所以雙曲線C的方程為—-；/=],故選&

16.已知圓何：x2+y2-2x—2y-2=0,直線/:2，+y+2=0,P為/上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)尸作圓M的切線

PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)同最小時(shí)，直線A3的方程為（）

A.2x—y—l=0B.2x+y-1=0C.2x—y4-1=0D.2x+y+l=0

【答案】D

【解析】圓例的方程為（x-l）2+（y-1）2=4,

圓心M到直線/:2x+y+2=0的距離d=與上上4=石＞2,

V22+l2

JT

故圓M和直線/相離，vZMAP+ZMBP=-.?.A,P,8,M四點(diǎn)共圓，且

2

所以IPMMABFdSMAM=4--\PA\-\AM|=4|PA|,

6

而|PA|=J|MP『4當(dāng)"P_L/時(shí)，IMP舄=石，|以京=1,

此時(shí)|尸必卜回最小,

所以A/P:y_l=J(x_l),即y=

11

x=-1

由，)22，解得v)，=0…①'

2x+y+2=0

法一：故直線AB的方程為(一l—l)(x—1)+(0—l)(y—1)=4,即2x+y+l=0.

法二：故以MP為直徑的圓的方程為(x—l)(x+1)+y(y—1)=0,

即x2+y2_y-i=o,兩圓方程相減得2x+y+l=0,

即為直線A3的方程，故選D.

三、解答題(共76分，17-19題每題14分，20題16分，21題18分)

18.(本題滿分14分)本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

--1IO

在直角坐標(biāo)系尤。v中，曲線&的方程為〉=%區(qū)+2,曲線G的參數(shù)方程為~~

y=2sin。

(I)求曲線G的直角坐標(biāo)方程；(2)若G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求曲線G的方程.

c2c4

【答案】(1)(X+1)+/=4：(2)C]:y=--\x\+2.

【解析】(1)(X+1)2+/=4；

(2)曲線。2是圓心為A(—1,0),半徑為2的圓.

由題意得G是過點(diǎn)5(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.

由圖知，若G與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則女<0，

I—〃+2114

=丁=丘+2與弓相切=^7-=2=>%2—4k+4=4攵2+4=>3/=7%=>左=——,

“2+13

4

所以G的方程為y=—尤1+2.

7

（2019屆徐匯二模19）19.（本題滿分14分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

2018年世界人工智能大會(huì)已于2018年9月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會(huì)展

示項(xiàng)目的啟發(fā)，會(huì)后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如下圖：A、8兩個(gè)信號(hào)源相距10米，。是A3

的中點(diǎn)，過。點(diǎn)的直線/與直線A3的夾角為45°.機(jī)器貓?jiān)谥本€/上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足：

0

接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到6點(diǎn)的信號(hào)晚2秒（注：信號(hào)每秒傳播」米）.在時(shí)刻八時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離

%

。點(diǎn)為4米.

（1）以。為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻辦時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；

（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線/不超過1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目

前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？

【答案】（1）時(shí)刻"時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為（4,0）；（2）沒有“被抓”風(fēng)險(xiǎn).

Q

【解析】（1）設(shè)機(jī)器鼠在點(diǎn)P（x,y）處，則由題意，得|P4|-|P5|=2.%=8<|AB|

%

所以P為以A、B為焦點(diǎn)、,實(shí)軸長(zhǎng)為8,焦距為10的雙曲線右支上的點(diǎn)（2分）

22

該雙曲線的方程為上一上=1（xN4）,..........（4分）

169V7

又Pgf+V=4,解得尸（4,0）,

即在時(shí)刻時(shí)，機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為（4,0）...........（6分）

（2）與直線/平行且距離不超過g的直線方程為>=x+m（同4?。?分）

考慮y=x+m心*M與抵-亍=14）是否有交點(diǎn),

9r2_16V之=44

<'n9d-16（f+2如+租2）=44=7工2+32mx+16帆2+144=0（10分）

y=x-^-m

9

nA=576m2—4032K576?-—3032<0…???（12分）

2

所以y=x+m（加區(qū)^與a一3~=1（xN4）沒有交點(diǎn)，

即機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，沒有“被抓”風(fēng)險(xiǎn).……（14分）

8

20.（本題滿分16分）本題共3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

已知拋物線r：y2=4x的焦點(diǎn)為F.

（1）求「上縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)P到焦點(diǎn)廠的距離；

（2）若斜率為2的直線/與「交于A、B兩點(diǎn)，且礪?礪達(dá)到最小值.求直線/的方程；

（3）設(shè)A3是「的一條弦且=求線段43中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值.

,1/24

【答案】（1）P（4,4）,|相|=5；（2）/:2x—y—4=0；（3）線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為《彳.

—,0<z<4

116

【解析】（1）P（4,4）,|PF|=5；

"v?=4尤1

）",得/一2》+2r=0nA=4—8r>0nr<±,

{I:y=2x+t2

設(shè)A（X1,y）,B（x2,y2）,則=>?。豆=不4+%%

_________/2422

法一：OAOB^^--^+y.yi=—+2r=—+2/

44''2164

法二：正麗=（yT（%—）3,（）+1=。2,2+匕上+2/,

412424V2/44444

當(dāng)t=T時(shí)，礪?礪取得最小值，此時(shí)，直線/的方程為2x-y-4=0；

（3）設(shè)3（工2，%），A8的中點(diǎn)為“（瓦,先），

法一：設(shè)準(zhǔn)線為g:x=—l,作A4Jg于A，B81_Lg于B],于M1，則

1=1+/什〃4l」A可+|B用之（^=工,當(dāng)且僅當(dāng)A、F、6共線時(shí)等號(hào)成立，

?.?焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值為通徑長(zhǎng)4.?.當(dāng)/24時(shí)，

°2

當(dāng)0<f<4時(shí)，線段4?中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值在43_1_尤軸時(shí)取到，將y=1■代入「：/=4x,

t2

一42

得（x°）mm=^=77,證明見法二?

41O

9

一一1J>4

2

綜上,線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為《

—,0<Z<4

16

法二：?.?直線不垂直于y軸，.?.設(shè)心：為二炒+“，代入I\y2=4x,

得y2-46-4/7?=0=>A=\6k2+16m>0,

由弦長(zhǎng)公式，|AB|="?+1|必-y2|=4]卜2+1乂%2+加）=t,

22

222

所以”?=—K——\~^>則%—+”=2k,x0=ky0+m=2k+m=（k+\]+-——r-1,

16（Z:2+1）2v'16（A:2+1）

產(chǎn)t

令〃=公+1,"G[1,+OO）,則Xo=〃+----1,拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為一.

16M4

①若上21,即時(shí)，xn>2---l=--l,

442

當(dāng)且僅當(dāng)下+1=『即&=±4E4,/的最小值為上一1，

16公+122

tf-

②若］<1,即0</<4時(shí)，/在〃eU,+oo)上單調(diào)遞增的最小值為,，此時(shí)％=0.

—1,/24

2

綜上,線段A3中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為<

—,0<r<4

16

21.(本題滿分18分)本題共3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

把半橢圓r;：￡+g=i(x20)與圓弧72：(》一1)2+/=/(彳<0)合成的曲線稱作“曲圓”，其中

2

產(chǎn)(1,0)為「I的右焦點(diǎn)，如圖所示，A、A?、&分別是“曲圓”與X軸、y軸的交點(diǎn)，已知/與人與=§乃,

過點(diǎn)尸且傾斜角為6的直線交“曲圓”于P、。兩點(diǎn).(尸在x軸的上方).

(1)求半橢圓「I和圓弧「2的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)P、0分別在第一、第三象限時(shí)，求△APQ的周長(zhǎng)C的取值范圍；

(3)若射線EP繞點(diǎn)口則時(shí)母旋轉(zhuǎn)］交“曲圓”于點(diǎn)R,請(qǐng)用。表示尸、R兩點(diǎn)

的坐標(biāo)，并求△萬(wàn)(/?的面積的最小值.

10

22

【答案】工+匕22

（1）r1：1(x20),f2：(x-l)+y=4(x<0);(2)Ce(6,8)；(3)△PFR的

43

9

面積的最小值為

9+4行

【解析】(1)c=l,NB,FO=巳na=2n^=4—i=3,

-3

22

得口：寧+匕=1(x20),……2分

2

r2：(x-l)+/=4(A：<0)..........4分

（2）由題意，得4（-1,0）是橢圓亍+1_=1的左焦點(diǎn)

=如I+|PF|=2X2=4

0n

法一：此時(shí)△4QF為腰長(zhǎng)為2的等腰三角形n入。|=2-2sin]=4sin%

n

故△APQ的周長(zhǎng)。h叢,I+IPFI+IQAI+I。臼=4+4sin2+28分

=6+4sin—e(6,8).......10分

法二：設(shè)Q(1+2COS(TF+e),2sin(;r+&))=(l-2cos^,-2sin3)，

則的周長(zhǎng)C二|9|+|尸用+|QA|+|Q有|=4+J(2—2cos6)2+4sin2e+28分

=6+j8-8cos。w(6,8).......10分

(3)不妨設(shè)|"尸|=小|FR|=今，由題意得尸(1+485?！?m6),

Rl+ros(。一]，2sing-])),即R(l+乃sin。,一4cos。)................12分

33

(其中C=，+C0s9，.=2+；巾2'以下步驟未求出小弓也給2分)

①當(dāng)萬(wàn)時(shí)，將P的坐標(biāo)代入，3x2+4y2=12,得3(l+z;cose)2+4&sin6)2—12=0,

整理得(4-cos?6)年+6^cos^-9=0=>[(2+cos0)r]-3][(2-cos0)r\+3]=0,

3333

解得“=---或｛=---(舍去)，從而可得乃=------7------=---------

2+cos6cos0-2c(7r\72+sin。

2+COSIn-yI

、「--1r廠1---a_3______a____3_____1a______________9_____________

八”"21222+cos02+sin。2sin0cos+2(sin+cos^)+4

令sin。+cos。=V^sin(。+7)=f,則S^FPK=—―——-

當(dāng)/=Ji即8=工€(0,|■乃]時(shí)，(SAFPR).=—上尸...........14分

4V3J△"'mm9+4痣

②當(dāng)萬(wàn)，))時(shí)，

11

_J__J_3_33_9

△FPR-^r八一不，2+sin，-2+sin，>~五>9+4女

24---

2

9

綜上所述，△尸產(chǎn)R的面積的最小值為------.............16分

9+4V2

12

2020-2021年晉元高級(jí)中學(xué)高二下期中高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2021.04

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

命題人：李瑩、劉慶敏審核人：李瑩

一、填空題（共54分，1-6題每題4分，7-12題每題5分）

x+23

1.不等式>0的解集為.

1x

2.設(shè)（1+2。?彳=2-4i（i為虛數(shù)單位），則|z|=

x=3+

3,直線~（/為參數(shù)）的一個(gè)法向量為________.

y=4-5t

m-i

4.若復(fù)數(shù)2=----（me/?）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

1+z

5.設(shè)直線以+Z>y+c=O與圓/+丫2=]6交于A、B兩點(diǎn)，|的=4百，則函?詼=.

r2

6.已知"、居是雙曲線C:§—y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在。上，N耳尸￡=60。，則耳居的面積為

7.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若》2+4產(chǎn)=1,則大+^的最大值是.

8.已知圓C的圓心在y軸上，截直線4:3x+4y+3=O所得弦長(zhǎng)為8,且與直線4：3x-4y+37=0相切，

則圓C的方程.

9.棣莫弗公式（cosx+isinx）”=cosnx+isins（i為虛數(shù)單位，〃eN*）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的，

根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)（cos/+isin/）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

10.已知/是拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，R0的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為線段FN的

中點(diǎn)，則|硒|=.

13

11.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「：2+==1（。〉人＞0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,橢圓「的弦4B

與CO分別垂直于x軸與y軸，且相交于點(diǎn)P.已知線段Q4,PC,PB,尸。的長(zhǎng)分別為2,4,6,12,

則△Pf；鳥的面積為.

22

12.已知點(diǎn)P（0,2）,橢圓土+匕=1上兩點(diǎn)A（X1,yJ,滿足=,則

168

|2%,+3^-12|+|2X2+3刈—12|的最大值為.

二、選擇題（共20分，13-16題每題5分）

13.關(guān)于工、y的二元一次方程組1mx-\-/V=1，“根=一1”是“方程組無解”的（）

x+my=2tn

A.充要條件B.必要非充分條件

C.充分非必要條件D.既非充分非必要條件

22

14.若橢圓二+二一=1的焦距為2,則實(shí)數(shù)加的值為（）

9m+3

A.5B.2C.2或9D.5或7

22

15.設(shè)雙曲線C的方程為‘一二=1（。＞0,6＞o）,過拋物線r=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)（0/）的直線為/.若C的

一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線C的方程為（）

14

16.已知圓“：/+產(chǎn)_2%—2y—2=0,直線/:2x+y+2=0,尸為/上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)尸作圓M的切線

PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)歸刈必國(guó)最小時(shí)，直線AB的方程為（）

A.2x—y—1=0B.2x+j—1=0C.2x—y+l=0D.2x+y+1=0

三、解答題（共76分，17-19題每題14分，20題16分，21題18分）

17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.

復(fù)數(shù)Z=m2-2機(jī)一3+（，4+3機(jī)+2）i（meR）,

（1）當(dāng)Z是實(shí)數(shù)時(shí)，求加的值；

（2）當(dāng)Z是純虛數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)Z+10是實(shí)系數(shù)一元二次方程加+。=0的一個(gè)根.求實(shí)數(shù)〃，c的值.

18.（本題滿分14分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

Y------1IO/Q

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為y=Z,|+2,曲線C）的參數(shù)方程為4——

[y=2sin。

（I）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求曲線G的方程.

15

（2019屆徐匯二模19）19.（本題滿分14分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

2018年世界人工智能大會(huì)已于2018年9月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會(huì)展

示項(xiàng)目的啟發(fā)，會(huì)后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如下圖：A、8兩個(gè)信號(hào)源相距10米，。是A3

的中點(diǎn)，過。點(diǎn)的直線/與直線A3的夾角為45°.機(jī)器貓?jiān)谥本€/上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足：

0

接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到6點(diǎn)的信號(hào)晚2秒（注：信號(hào)每秒傳播」米）.在時(shí)刻八時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離

%

。點(diǎn)為4米.

（1）以。為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻辦時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；

（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線/不超過1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目

前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)?

16

20.(本題滿分16分)本題共3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

已知拋物線r：y2=4x的焦點(diǎn)為F.

(1)求「上縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)P到焦點(diǎn)廠的距離；

(2)若斜率為2的直線/與「交于A、B兩點(diǎn)，且礪?礪達(dá)到最小值.求直線/的方程；

(3)設(shè)A3是「的一條弦且|AB|=f(fN4),求線段A3中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值.

17

21.（本題滿分18分）本題共3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

22

把半橢圓「：￡+￡=1（血0）與圓弧「2：（X一1）2+〉2=/（彳＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中

2

尸（1,0）為「I的右焦點(diǎn)，如圖所示，4、A?、分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn)，已知/用”2，

過點(diǎn)尸且傾斜角為。的直線交“曲圓”于尸、Q兩點(diǎn).（尸在x軸的上方）.

（1）求半橢圓和和圓弧心的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、。分別在第一、第三象限時(shí)，求△APQ的周長(zhǎng)C的取值范圍;

（3）若射線Q繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)T三T交“曲圓”于點(diǎn)R,請(qǐng)用。表示尸、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的

???2

面積的最小值.

18

2020-2021年晉元高級(jí)中學(xué)高二下期中高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷解析2021.04

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

命題人：李瑩、劉慶敏審核人：李瑩

一、填空題(共54分，L6題每題4分，7-12題每題5分)

x+23

1.不等式>0的解集為.

1x

【答案】(-00,-3]U[l,+8)

【解析】由題意得/+2》一320,故解集為(-8,-3]U[1,⑦)?

2.設(shè)(1+2。?彳=2-4i(i為虛數(shù)單位)，則回=

【答案】2

【解析】W=生，所以忖=；：￥=￥=2,所以國(guó)=2.

l+2z??|l+2z|5/5

x=3+4/

3.直線-,(f為參數(shù))的一個(gè)法向量為_________.

y=4-5t

【答案】(5,4)

531

【解析】消去參數(shù)f,得直線的普通方程為y=--x+—，故一個(gè)法向量為(5,4).

44

—i

4.若復(fù)數(shù)2=巴」(mwR)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加=.

l+i

【答案】1

5.設(shè)直線公+by+c=0與圓x?+y2=16交于A、8兩點(diǎn)，|Afi|=4>/L則)?麗=.

【答案】-8

【解析】因?yàn)閳A/+產(chǎn)=16的半徑為4,|蝴=46，所以乙408=120。，

所以O(shè)A?OB=4x4xcosl20=-8.

2

6.已知《、工是雙曲線C:弓-：/=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在。上，/月尸耳=6()。，則斗心的面積為

【答案】V3

19

【解析】由焦點(diǎn)三角形面積公式得的面積為〃cot2=lcot30°=也.

2

7.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若犬+4產(chǎn)=1,則x+y的最大值是.

【答案】—

2

【解析】令x=cos/,y=—sinf,則x+y=cosr+—sinr—sin(/+^),

故x+y的最大值是好.

8.已知圓C的圓心在y軸上，截直線《：3x+4y+3=0所得弦長(zhǎng)為8,且與直線(：3x—4y+37=0相切,

則圓C的方程.

【答案】V+(y—3了=25

【解析】設(shè)圓心為C(0,與，半徑為r(r＞心,

因?yàn)榻刂本€4：3x+4y+3=0所得弦長(zhǎng)為8,且與直線4：3x-4y+37=0相切,

所以圓心到直線/,的距離&=產(chǎn)副=1詠3|

|-44+37||4+-37|

到直線4的距離。2

附+㈠了5

2—

r2

25b=3

滿足!,即《,,解得，

(46—37)2r=5

2

r=d2r

25

所以圓。的方程為f+(y-3『=25.

9.棣莫弗公式(cosx+isinx)”=cos/ir+zsin/xr(i為虛數(shù)單位，neN*)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的,

根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)kosq+isin/)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

【答案】二

【解析】由棣莫弗公式得(cos巳+isin工］=cos—+zsin—,

I77)77

20

因?yàn)閏os,<0,sin——>0,所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

77

10.已知產(chǎn)是拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，R0的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為線段FN的

中點(diǎn)，則|FN|=.

【答案】6

【解析】因?yàn)镸為線段FN的中點(diǎn)，F(xiàn)(2,0),所以M的橫坐標(biāo)為1,

所以M的縱坐標(biāo)為±20,所以|KV|=21FM|=27(1-2)2+(±272-0)2=6.

22

11.在平面直角坐標(biāo)系g中，橢圓r：卞+a=1(。>。>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，橢圓「的弦A3

與C。分別垂直于X軸與y軸，且相交于點(diǎn)尸.已知線段Q4,PC,PB,PD的長(zhǎng)分別為2,4,6,12,

則APF\&的面積為.

【答案】4厲

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由F4，PC,PB,的長(zhǎng)分別為2,4,6,12,

得Xp=；(|PO|-|PC|)=4,?=；(|PB|-|PA|)=2,即P(4,2),

由1PAi=2,|PC|=4,得A(4,4),C(8,2),

16161

—+-y—1r2

代入橢圓方程得上b'，解得,

ILL1

所以S”"2=；|耳6=廬=