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文檔簡介
2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)試題
滿分:100分時間:60分鐘
第I卷(選擇題共60分)
一、單項選擇題:本題共12小題,每題只有一個選項正確,每小題5分,共計60分。
1.下列命題中正確的是()
A.若a||b,則a在b上的投影為|a|
B.若a-c=6'c(c0),則a=b
C.若A,B,C,D是不共線的四點,則AB=DC是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件
D.若a?b>0,貝Ua與b的夾角為銳角;若a-b<0,則a與b的夾角為鈍角
2.設(shè)&,尸2是雙曲線C:£-4=l的兩個焦點,。為坐標原點,點P在C的左支上,且需+
48
瑞^=2V3,則△Pg的面積為()
A.8B.8V3C.4D.4百
3.已知i為虛數(shù)單位z=*筌,則z的虛部為()
A.1B.-1C.iD.-i
4.某三棱錐的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1),則該三棱錐中最長的棱長為()
正視圖::惻視圖
俯視圖
B.2V2c.VToD.2V3
5.四棱錐S-ABCD中,側(cè)面SBC為等邊三角形,底面ABCD為矩形,BC=2,AB=a,點F
是棱AD的中點,頂點S在底面ABCD的射影為H,則下列結(jié)論正確的是()
A.棱SC上存在點P使得PD〃面BSF
B.當“落在AD上時,a的取值范圍是(0,遙]
C.當H落在AD上時,四棱錐S-ABCD的體積最大值是2
D.存在a的值使得點B到面SFC的距離為V3
6.在正方體ACX中,E是棱CCi的中點,F(xiàn)是側(cè)面BC£Bi內(nèi)的動點,且AXF與平面Op4E的垂線垂
直,如圖所示,下列說法不正確的是()
A.點F的軌跡是一條線段B.4F與BE是異面直線
C.4/與DXE不可能平行D.三棱錐F-ABDi的體積為定值
7.在矩形ABCD中,AC與BD相交于點。,E是線段。。的中點,若AE=mAB+nAD,則
m-n的值為()
TB.-lC.1
8.圣?索菲亞教堂(英語:SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中國黑龍江省,是一座始建于1907年拜占庭風
格的東正教教堂,距今已有114年的歷史,為哈爾濱的標志性建筑.1996年經(jīng)國務(wù)院批準,被列為第四批
全國重點文物保護單位,是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點其中央主體建筑集球,圓柱,
棱柱于一體,極具對稱之美,可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高
度,在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB,高為(15W-15)m,在它們之間的地面上的點M
(B.M,D三點共線)處測得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測得塔頂
C的仰角為30°,則小明估算索菲亞教堂的高度為()
A.20mB.30mC.20V3mD.30vlm
9.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=-i(其中i為虛數(shù)單位)則復(fù)數(shù)z的虛部為()
A.--B.iC.--iD.-i
2222
10.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時,下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()
①平行的線段在直觀圖中仍然平行;②相等的線段在直觀圖中仍然相等;
③相等的角在直觀圖中仍然相等;④正方形在直觀圖中仍然是正方形
A.1B.2C.3D.4
11.設(shè)a為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列命題正確的是()
A.若a〃a,b〃a,貝!]a//bB.若a_La,,則匕〃a
C.若a_La>a//b,則b1aD.若a與b相交,且a〃a,貝Ub〃a
12.己知正方體ABCD-的棱長為28,M,N為體對角線BD1的三等分點,動點P在三角形
ACB,內(nèi),且三角形PMN的面積S“MN=^,則點P軌跡長度為()
8
A辿
八3打B.-JI“%
第n卷(非選擇題共4。分)
二、填空題:本題共計4小題,共計16分。
13.《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈.在如圖所示的鱉腌P-ABC中,PA1
平面4BC,^ACB=90°,CA=4,PA=2,D為4B中點,E為APAC內(nèi)的動點(含邊
界),且PC_LDE.①當E在4C上時,AE=;②點E的軌跡的長度為.
B
14.如圖,四邊形ABCD中,AB//CD,AB=5,CD=2,BC=底,AC-'BD=O.M,
N分別是線段AB,AD上的點,且|薪|+|眾|=2,則前?麗的最大值為.
15.若復(fù)數(shù)z=(巾2+m-2)+(4m?-8m+3)i,(mER)的共柜復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點在第一象限,則實
數(shù)m的取值范圍為.
16.如圖,在梯形/BCD中,AB1BC,AD//BC,AB=1,BC=1,4D=2.取4D的中點
E,將4ABE沿BE折起,使二面角A-BE-C為120。,則四棱錐A-BCDE的體積為
三、解答題:本題共計4小題,共計24分。
17.已知在三棱柱力BC-&B1C1中,4B=BC=BB1=4,ZABC=120°,側(cè)棱與底面垂直,點
M,N分別是棱CG,4%的中點.
(1)求三棱柱ABC—4B1G外接球的表面積;
(2)設(shè)平面ABC截三棱柱力BC-4B1G的外接球面所得小圓的圓心為0,求直線0a與平面BMN
所成角的正弦值.
18.復(fù)數(shù)z=m(m—1)+(m—l)i(m6R).
(I)實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)z為純虛數(shù);
CD)若m=2,計算復(fù)數(shù)2-3.
(1)若EF=xAB+yAD,求3x+2y的值;
(2)若|四|=6,=60。,求前?麗.
20.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,平面PAD1平面ABCD,△PAD為等邊三角形,
E為PC中點.
(1)求證:PA//平面BDE.
(2)若24=4,三棱錐C-EBD的體積為4,求二面角C-DE-B的正弦值.
答案解析
一、單選題
1.【答案】C
【解析】因為a//b,所以a.b的夾角為?;蛘哓#瑒td在3上的投影為|a|cos0=±|a|,A不正
確;設(shè)c=(1,0)5=(0,0),a=(0,2),則有a-c=b-c(c0),但a^b,B不正確;
"AB=DC,.-.\AB\=\DC\且AB//DC,又A,B,C,D是不共線的四點,所以四邊形ABCD為平行四邊
形;反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則AB//DC且|m|=|瓦|,所以AB=DC,C符合題意;
心3>0時,必區(qū)的夾角可能為0,D不正確.
故答案為:C
2.【答案】A
【解析】由需+需=叵需且=鬻=|而|=2百,
|OP||OP||OP||OP|1'
不妨設(shè)&(-2b,0),F2(2V3,0),
所以\OP\=^\F1F2\,所以點P在以F/2為直徑的圓上,
即4PF[F2是以P為直角頂點的直角三角形,
222
故\PF1\+\PF2\=IFj^l,即|P0『+|PF2|2=48.
又\PF.t\-\PF2]=2a=4,
22
所以16=(IPFJ-|PF2|)=\PF^+|PF2|-2\PF1\\PF2\=48-2\PFX\\PF2\,
解得:\PF1\\PF2\=16,
所以S^F2=^\PF1\\PF2\=8.
故答案為:A
3.【答案】B
【解析】???n。2。=i。=1/2。21=尸=i,二z=9=高懸=l+i,:.z=1-1,虛部為-1.
故答案為:B
4.【答案】D
【解析】將該幾何體放在棱長為2的正方體中,如圖D-ABC,
由三視圖可得,該三棱錐中最長的棱為AD=V22+22+22=2V3.
故答案為:D.
5.【答案】A
【解析】對于A:取BC的中點E,連結(jié)DE,取SC中點P,連結(jié)PE、PD,
:PE為aBCS的中位線,:.PE/7BS,
又BSU面BFS,PEC面BFS,;.PE〃面BFS;
在矩形ABCD中,E、F分別為BC、AD的中點,,DE〃BF,
又BFU面BFS,DEC面BFS,:.DE面BFS;
又DEQPE=E,二面PDE〃面BFS,PD“面BSF,
A符合題意;
對于B::SBC為等邊三角形,BC=2,:.SE=>/3,
當a=百時,S與H重合,圖形不能構(gòu)成四棱錐,與已知條件相悖,B不符合題意;
222
對于C:在RtZ\SHE中,SH=,:.VS-ABCD=|X2aX-a=|V(3-a)a<1
當且僅當a2=|時,Vs_ABCD的最大值為1.C不符合題意;
對于D:由C的推導(dǎo)可知:當%BCD的最大時,點B到面SFC的距離d最大,
Vs-BFC=lVs-ABCD,
此時SF=g,CF=VCD2+"=¥
...SASFC=2SFXCF=2X在x?=叵
22224
d=(=Tx-^=主產(chǎn)<3,D不符合題意。
故答案為:A
6.【答案】C
【解析】對于A中,設(shè)平面ADrE與直線BC交于點G,連接AG.EG,則G為BC的中點,
分別取BjB,BG的中點M,N,連接AM,MN,AN,
因為A[M“D[E,AtMC平面DXAE,DXE//平面DyAE,
所以AM1平面D^AE,同理可得MN//平面D-yAE,
又因為AiM,MN是平面AiMN內(nèi)的相交直線,
所以平面A^MN//平面DAAE,
由此結(jié)合A^F//平面D^AE,可得直線4JU平面AiMN,
即點F是線段MN上的動點,所以A符合題意;
對于B中,因為平面A、MN"平面D^AE,BE和平面D^AE相交,
所以A.F與BE是異面直線,所以B符合題意;
對于C中,由A知,平面力1MN〃平面OiAE,所以AXF與DXE不可能平行,
所以C不符合題意;
對于D中,因為MN//EG,又由EG//BC.,,可得MN//BCX,
BCiu平面ABGDi,且MNC平面ABC^D^,所以MN//平面ABC^,
則F到平面ABD.的距離為定值,所以三棱錐F-ABD,的體積為定值,所以D符合題意.
故答案為:C.
7.【答案】A
【解析】因為AE=AB+~BE=AB+-BD=AB+-(BA+AD)=-AB+-AD,
4444
所以m=^,n=m-n=-|,
故答案為:A
8.【答案】D
【解析】由題意知:ZCAM=45°,ZAMC=1050所以4cM=30°
.....ABAB
在Rt△ABM中,AM=—s\x\Z—AM—B=—sinl—S,
AMCM4Msin45°4Bsin45°
在中,由正弦定理得丁所以CM=
sin30°sin45sin300sinl50sin30
在Rt△DCM中,CO=CM-sin60°=3皿45".sin60。=(15"濘三=3Q^
sinlS°sin30°瓜一姬■i
42
故答案為:D
9.【答案】A
【解析】由z(l+i)=-i可得2=湍言=于=一京,
所以復(fù)數(shù)Z的虛部為一:。
故答案為:A
10.【答案】A
【解析】對于①,平行的線段在直觀圖中仍然是平行線段,所以①正確;
對于②,相等的線段在直觀圖中不一定相等,如平行于%軸的線段,長度不變,平行于y軸的線段,
變?yōu)樵瓉淼膢,所以②錯誤;
對于③,相等的角在直觀圖中不一定相等,如直角坐標系內(nèi)兩個相鄰的直角,在斜二測畫法內(nèi)是45°
和135°,所以③錯誤;
對于④,正方形在直觀圖中不是正方形,是平行四邊形,所以④錯誤;
綜上,正確的命題序號是①,共1個.
故答案為:A.
11.【答案】C
【解析】A.若a“a,b“a,則a,b平行,相交或異面,故錯誤;
B.若ala,dJL3,則b與a平行或在平面內(nèi),故錯誤;
C.若ala,a//b,貝!Ib1a,由線面垂直的性質(zhì)定理知,故正確;
【).若a與b相交,且a//a,則b與a平行或相交,故錯誤.
故答案為:C
【分析】A.利用空間兩直線的位置關(guān)系判斷;B.利用空間直線與平面的位置關(guān)系判斷;C.利用線面垂直
的性質(zhì)定理判斷;【).利用直線與平面的位置關(guān)系判斷.
12.【答案】A
【解析】如圖所示:
連接BgCBiC=0,因為四邊形BCC1B1是正方形,所以BGJ.B1C,
因為DiG1平面BCC1B1,BiCu平面BCgBi,所以D?1BXC,
又BGnDiG=G,BGu平面BCyDy,DJGu平面BC[D],
所以B^C1平面BGDi,所以BiC_LDiB,
同理可知:ByA1DiB,
又因為BiCu平面ACBt,B〃u平面ACBi,B^CB^A=,
所以D】B1平面ACB1,
根據(jù)題意可知:AB=V54B=6,4B]=%。=AC=2通,所以△"名為正三角形,所以ZBrAC=
60°,
所以S?ACB1=|x2V6x2V6Xy=6V3,設(shè)B到平面ACB1的距離為h,
=
因為yB-ACB1-ABC?所以g,S&ACB、.h1,S〉A(chǔ)CB'BB],
所以SMCBI,h—S^ACB'BB],
所以更x(2遙)2x4=邁越、2b,所以h=2=9。/,所以力=BN,
423
所以N即為D$與平面ACBi的交點,由題意可知:DiBl平面ACB],所以MN,PN,
所以SNMN=^MN.PN='2.PN=PN=當,再如下圖所示:
在正三角形4cBi中,高AO=ZlCsin600=2V6Xy=372,
所以內(nèi)切圓的半徑r=-A0=^2<^-,且也<2節(jié),=AN,
333
取BiC的兩個三等分點E.F,連接EN,FN,所以NE"AB”NFI]AC,
所以ANEF是以PN長度為邊長的正三角形,所以P的軌跡是以N為圓心,半徑等于辿的圓,圓
3
的周長為幽,
3
在△AC%內(nèi)部的軌跡是三段圓孤,每一段圓弧的圓心角為60。,所以對應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半
為巫,
3
故答案為:A.
二、填空題
13.【答案】2;,
【解析】⑴當E在AC上時,因為P41平面ABC,故PA1DE,又PC1DE,故DE1平面
PAC,故DE14C,又4cB=90。,D為AB中點,,故DE//BC,所以E為AC中點,故
AE=\AC=2。(2)取AC中點F,則由⑴有DF1平面PAC,故PC1DF,又PC1DE,設(shè)平面
DEFnPC=G,則有PC1平面DGF,故點E的軌跡為FG,
又此時CF=2,tan4CA=粵=:,故sin4S=不占=橐,
AC2vlz+2zV5
所以FG=CF-smZPCA=京=當。
故答案為:(1).2(2).延。
5
14.【答案】1
【解析】設(shè)/CBA=?,
則NBCD=兀一4
則前=或+而,AC=BC-BA,
???CD//AB,CD=2,AB=5,
一2一
???CD=-BA,
__>__?2__?
??.BD=BC+-Fi4,
,:BDLAC,
,,,一,’‘’>‘‘’>o,,>,.一,,
???BDMC=(BC+2),(BC-B4)=0,
即13—gx5xcos8+:x5xVnxcose—|x25=0
得3V13COS0=3'即cos"普’
則CEi/DF,CE=DF,
則BE=BC?cos。=1
則DF=CE=2V3,
vCE〃。凡CE=DF,
???EFnCDfEF=CD=2,
??.AF=AB-BE-EF=2
則tan4MF=2=V5
2
n
???ZDAB=ZDAF=
AF
:.AD=-----元=4,
COSJ
由麗|+\AN\=2,
得麗|=2-|麗I,
________________________________________________]
???AM-AN=\AM\■\AN\-cosAB=(2-|詞)?麗|.-
=麗|一河『,
v\AN\G(0,2),函數(shù)y=~\x2+x開口向下,對稱軸x=1,
2
-?當|而|=1時,(AM-4N)max=l-|xl=|o
故答案為:|o
15.【答案】(1,|)
【解析】
因為z對應(yīng)的點在第一象限,所以z的對應(yīng)點在第四象限,
2
所以I嗎卡3一4Tn,解得1<伍<:即,
故答案為:(1,|).
16.【答案】漁
12
【解析】解:梯形ABCD的面積S=比等=|,S^ABE=1x1x1=|,所以SaBCDE=l-^=l,
如圖,取BE的中點H,連接AH,CH,:.AHLBE,CH1.BE,:.ZAHC為二面角A-
BE-C的平面角,
/.ZAHC=120°,過點A作CH的垂線,交CH的延長線于點K,則AK_L面BCDE,因為
BE=yjAB2+AE2=近,所以4"=也,
2
所以AK=AH-sin60°=—x—=—
224
所以yA-BCDEbcde=iXX1=?
故答案為:立
12
三、解答題
17.【答案】(1)解:據(jù)已知條件,取AC的中點H,以C4所在的直線為x軸,以BH所在的直線
為y軸,以過點H且和AAt平行的直線為z軸,建立空間直角坐標系如圖所示:
由已知可得力(28,0,0),5(0,-2,0),C(-2V3,0,0),4(2g,0,4),^(-273,0,4),
Bi(0,-2,4),
設(shè)球心G的坐標為(a,b,c),貝(1G4=GC=GB],且c=2
所以(a-2遮產(chǎn)+〃+4=(a+2>/3)2+b2+4
(a—2V3)2+b2+4=a2+(b+2)2+4'
解得:a=0,b=2,所以G(0,2,2),
所以r=y/02+(2+2)2+(2-4)2=2y/5,
所以外接球的表面積S=4兀/_7r(2r)2=807r
(2)解:由⑴可知:所以BC=(-2V3,2,0),鬲=(0,0,4),
因為CM=|CC^,所以BM=~BC+CM=BC+|CC\=(-273,2,2),
同理BN=BB,+B]N=BB]+”出=(遮,1,4),
設(shè)平面BMN的法向量m=(%,y,z),
m?BM=0
m,BN=0'
—V3x+y+z=0
即{取x=8,則z=-2y=5,
V3x+y+4z=0
所以m=(73,5,-2),
由(1)可知,截面圓的圓心。在BH的延長線上,且HO=2,
所以西=(0,-44),
設(shè)直線。當與平面BMN所成的角大小為9,
I沅萬瓦*120+8_7
所以sin?=
同?1兩IV32V32.8
所以直線。當與平面BMN所成角的正弦值為|.
【解析】(1)利用已知條件,取AC的中點H,以C4所在的直線為x軸,以BH所在的直線為y
軸,以過點H且和AAr平行的直線為z軸,建立空間直角坐標系,進而求出點的坐標,再利用已知條
件求出球心的坐標,再結(jié)合兩點距離公式求出球的半徑,再結(jié)合球的表面積公式,進而求出三棱柱ABC-
4181cl外接球的表面積。
(2)由(1)可知~BC=(-273,2,0),CQ=(0,0,4),再利用向量共線的坐標表示結(jié)合三角形法則
和向量的坐標運算,進而結(jié)合向量的數(shù)量積求夾角公式,進而結(jié)合誘導(dǎo)公式求出直線。當與平面BMN
所成角的正弦值。
18.[答案】解:(I)欲使z為純虛數(shù),則須m(m—1)=0且m—10,所以得m=0
(II)當m=2時,z=2+t,z=2-i,故所求式子等于2—i—1—|i
【解析】(I)復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實部為0,虛部不為零,據(jù)此可得m=0;(H)利用復(fù)數(shù)的運算法則計算
可得z--=---i.
l+l22
19.【答案】(1)解:因為BE=^BC,CF=2FD,
所以EF=EC^CF=-BC--DC=-AD--AB,
力2323
所以x=一|,y=1,
故3x+2y=3x(-|)+2x|=-1.
(2)解::AC=AB+AD,
:.AC-EF=(
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