一元二次方程的應(yīng)用課件

一元二次方程的應(yīng)用本課內(nèi)容1.3學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、能運(yùn)用一元二次方程解決一些簡(jiǎn)單的代數(shù)問題2、一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用第一課時(shí)1一、建立一元二次方程模型解數(shù)與代數(shù)問題例1當(dāng)x取什么值時(shí)，一元二次多項(xiàng)式x2-x-2與一元一次多項(xiàng)式2x-1的值相等？例2當(dāng)y取什么值時(shí)，一元二次多項(xiàng)式

(y-5)2+9y2的值等于40？2例1當(dāng)x取什么值時(shí)，一元二次多項(xiàng)式x2-x-2與一元一次多項(xiàng)式2x-1的值相等？x2-x-2=2x-1.解:原方程可以寫成x2-3x-1=0.這里

a=1，b=-3，c=-1，

b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，

因此

從而當(dāng)或時(shí)，x2-x-2與2x-1的值相等．一、建立一元二次方程模型解數(shù)與代數(shù)問題3舉例例2當(dāng)y取什么值時(shí)，一元二次多項(xiàng)式

(y-5)2+9y2的值等于40？

(y-5)2+9y2=40解:原方程可以寫成2y2-2y-3=0.這里

a=2，b=-2，c=-3，

b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，

因此

從而當(dāng)或時(shí)，(y-5)2+9y2的值等于40．4例3

當(dāng)t取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程

x2+(x+t)2=t2+2t-1，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒有實(shí)數(shù)根？一、建立一元二次方程模型解數(shù)與代數(shù)問題二、一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用5解:原方程可以寫成2x2+2tx+

t2-2t+1=0.這里

a=2，b=2t，c=t2-2t+1，

b2-4ac=(2t)2-4×2×(t2-2t+1)=4t2-8(

t2-2t+1)

=4t2-4t2+16t-8=16t-8.（1）當(dāng)b2-4ac=16t-8>0，即t>

時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2-4ac=16t-8=0，即t=

時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2-4ac=16t-8<0，即t<

時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.6小結(jié)：做此類題的方法：1、分辨未知數(shù)和參數(shù)。2、判斷方程是一元二次方程（a≠0）還是一元一次方程(a=0,b≠0)。3、根據(jù)根的情況列式78練習(xí)1.當(dāng)x取什么值時(shí)，一元二次多項(xiàng)式x2-x-6與一元一次多項(xiàng)式3x-2的值相等？答：2.當(dāng)t取什么值，關(guān)于x的一元二次方程

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？答：P22

9作業(yè)P27A1T2TB1T10第二課時(shí)11說一說

菱形的面積與它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)有什么關(guān)系？

菱形的面積等于它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半．12舉例例4一種鐵柵欄護(hù)窗的正面是高為120cm、寬為100cm的矩形，在中間有一個(gè)由4根鐵條組成的菱形，如圖1-5所示.菱形的水平方向的對(duì)角線比豎直方向的對(duì)角線長(zhǎng)20cm，并且菱形的面積是護(hù)窗正面矩形面積的．（1）求菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）求組成菱形的每一根鐵條的長(zhǎng)度．圖1-513分析

本題的等量關(guān)系是：菱形的面積=

.菱形兩對(duì)角線乘積的一半14原方程可以寫成

x2+20x-4800=0，解:（1）設(shè)菱形的豎直方向的對(duì)角線長(zhǎng)為xcm，則它的水

平方向的對(duì)角線長(zhǎng)為(x+20)cm，根據(jù)題意，可

以列出方程這里a=1，b=20，c=-4800，

b2-4ac=202-4×1×(-4800)

=400+4×4800=400×(1+48)=400×49，從而x1=60，x2=-80（不合題意，舍去）．因此即菱形的豎直方向的對(duì)角線長(zhǎng)為60cm，于是它的水平方向的對(duì)角線長(zhǎng)為80cm．15解:（2）由于菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，因此菱形的邊長(zhǎng)為即組成菱形的每一根鐵條的長(zhǎng)度為50cm.16舉例例5如圖1-6，一塊長(zhǎng)和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個(gè)全等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長(zhǎng).圖1-617分析

本題的等量關(guān)系是：

=

.底面長(zhǎng)×寬36418解:（1）設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則無蓋長(zhǎng)方體盒子的底面邊長(zhǎng)分別為(40-2x)cm，(28-2x)cm，根據(jù)題意，可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．從而

x1=27，x2=7

．因此原方程可以寫成x2-34x+189=0.這里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，19

如果截去的小正方形的邊長(zhǎng)為27cm，那么左下角和右下角的兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)之和為54cm，這超過了矩形鐵皮的長(zhǎng)40cm.因此x1=27不合題意，應(yīng)當(dāng)舍去．答：截去的小正方形的邊長(zhǎng)為7cm．20

從例4和例5可以看出，在運(yùn)用一元二次方程解實(shí)際問題時(shí)，一定要注意檢查求得的方程的解是否符合實(shí)際情況．結(jié)論例4

一種鐵柵欄護(hù)窗的正面是高為120cm、寬為100cm的矩形，在中間有一個(gè)由4根鐵條組成的菱形，如圖1-5所示.菱形的水平方向的對(duì)角線比豎直方向的對(duì)角線長(zhǎng)20cm，并且菱形的面積是護(hù)窗正面矩形面積的．（1）求菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）求組成菱形的每一根鐵條的長(zhǎng)度．例5如圖1-6，一塊長(zhǎng)和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個(gè)全等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長(zhǎng).21練習(xí)1.在例5中，如果要使折成的無蓋長(zhǎng)方體的盒子的底面積為540cm2，那么截去的小正方體的邊長(zhǎng)是多少？答：邊長(zhǎng)為5cm.例5如圖1-6，一塊長(zhǎng)和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個(gè)全等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長(zhǎng).222.例5和第1題中無蓋長(zhǎng)方體盒子的體積分別是多少？哪個(gè)體積大？答：設(shè)例5中長(zhǎng)方體的體積為V1，第1題中長(zhǎng)方體的體積為V2，則有

V1=2548(cm3)，V2=2700(cm3)，

V1<V2.1.

在例5中，如果要使折成的無蓋長(zhǎng)方體的盒子的底面積為540cm2，那么截去的小正方體的邊長(zhǎng)是多少？例5

如圖1-6，一塊長(zhǎng)和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個(gè)全等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長(zhǎng).23作業(yè)P27A3TP304T5T6T24第三節(jié)一元二次方程的應(yīng)用25

小亮家想利用房屋側(cè)面的一面墻，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園，如圖1-7所示.現(xiàn)在已備足可以砌10m長(zhǎng)的墻的材料.探究圖1-71、如果砌成的矩形花園為12.5平方米，求矩形花園的邊長(zhǎng)？2、如果砌成的矩形花園為12平方米，求矩形花園的邊長(zhǎng)？3、如果砌成的矩形花園為12.55

平方米，求矩形花園的邊長(zhǎng)？26解：設(shè)與已有墻面垂直的每一面墻的長(zhǎng)度為xm，則與已有墻面平行的一面墻的長(zhǎng)度為(10-2x)m.根據(jù)題意，列出議程x(10-2x)=12.55.2x2-10x+12.55=0.

1、砌成的矩形花園為12.5平方米，求矩形花園的邊長(zhǎng)？解：設(shè)與已有墻面垂直的每一面墻的長(zhǎng)度為xm，則與已有墻面平行的一面墻的長(zhǎng)度為(10-2x)m.根據(jù)題意，列出議程x(10-2x)=12.5.

3、砌成的矩形花園為12.55平方米，求矩形花園的邊長(zhǎng)？27舉例例6某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊(cè)增加到7.2萬冊(cè)，平均每年增長(zhǎng)的百分率是多少？根據(jù)題意，得5(x+1)2=7.2.解:設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率是x.整理，得x2+2x-0.44=0.解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．答：該校圖書館的藏書平均每年增長(zhǎng)的百分率為20%.28

一水泥生產(chǎn)廠家今年1月份生產(chǎn)水泥50萬噸，為了給北京修建奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館提供足夠水泥，從2月份開始增大生產(chǎn)量，到3月底，第一季度共生產(chǎn)了水泥165.5萬噸。求2月、三月份的平均增長(zhǎng)率？29利息問題與增長(zhǎng)率問題相似：小張將1000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后又將本金和利息再按一年定期存入銀行，兩年后本金和利息共獲1036.324元，求這種存款的年利率是多少（應(yīng)扣除20%的利息稅）？全解29本息和=本金+本金×利率×期數(shù)30練習(xí)1.經(jīng)過調(diào)查研究，某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總利潤(rùn)L(元)與產(chǎn)量x(件)的關(guān)系式為

L=-x2+2000x-1000，0<x<1900.（1）產(chǎn)量是多少件時(shí)，可以使總利潤(rùn)達(dá)到99萬元？答：1000件.（2）總利潤(rùn)可不可能達(dá)到99.1萬元？答：不可能.因?yàn)榇藭r(shí)方程無實(shí)數(shù)根.31

2.某城市現(xiàn)有人口100萬，2年后為102.01萬，求這個(gè)城市的人口的平均年增長(zhǎng)率．答：1%.32小結(jié)與復(fù)習(xí)

建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，這是數(shù)學(xué)的基本功之一.

一元二次方程在數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和生產(chǎn)生活中，都有重要應(yīng)用．

一元二次方程可以寫成右端為0，而左端是只含一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，它的一般形式是

ax2+bc+c=0(a，b，c是已知數(shù)，a≠0)．33

解一元二次方程的基本思路是：降低次數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.降低次數(shù)的基本方法是因式分解法或直接開平方法.

為了能這么做，往往要先配方，即要把含未知數(shù)的項(xiàng)放在一個(gè)完全平方式里.而這些步驟只需要按一般形式的一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)

來做，求出解x的公式，稱為一元二次方程的求根公式．34

運(yùn)用求根公式就可以解每一個(gè)具體的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：35一元二次方程寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)解兩個(gè)一元一次方程無實(shí)數(shù)解

是否可以直接用因式分解法或直接開平方法計(jì)算b2-4acb2-4ac≥0用求根公式：36

運(yùn)用一元二次方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是：找出問題中的等量關(guān)系，以便列出方程.要注意檢查求出的方程的解是否符合實(shí)際情況．37補(bǔ)充類型

數(shù)字問題：1、有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2，且這個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，求這個(gè)兩位數(shù)。2、有一個(gè)正數(shù)，其整數(shù)部分是小數(shù)部分的5倍，若把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，其結(jié)果比原整數(shù)部分的平方大20，求這個(gè)數(shù)。38中考試題例1

某百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了迎接“六一”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷量，增加盈利，減少庫(kù)存.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？解設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x2-30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因要盡快減少庫(kù)存，故x應(yīng)取20故每件童裝應(yīng)降價(jià)20元.營(yíng)銷問題例：課本P30B4T39

某西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批良種西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克，為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種良種西瓜每降價(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千