《大學(xué)高數(shù)函數(shù)》課件

大學(xué)高數(shù)函數(shù)目錄contents函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的極限導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)微分方程多元函數(shù)微積分函數(shù)的概念與性質(zhì)01函數(shù)的定義函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)概念，它是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將定義域內(nèi)的每一個(gè)元素與值域內(nèi)的唯一元素對(duì)應(yīng)起來(lái)。函數(shù)的定義可以表示為：對(duì)于每一個(gè)$x$（屬于定義域），存在唯一的$y$（屬于值域），使得$y=f(x)$。奇偶性函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性，即對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)$x$，都有$f(-x)=f(x)$（偶函數(shù)）或$f(-x)=-f(x)$（奇函數(shù)）。有界性函數(shù)在其定義域內(nèi)有上界和下界。單調(diào)性函數(shù)在其定義域內(nèi)的自變量增加時(shí)，函數(shù)值也隨著增加。周期性函數(shù)在其定義域內(nèi)具有周期性，即存在一個(gè)非零常數(shù)$T$，使得對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。函數(shù)的性質(zhì)01連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性進(jìn)行分類。02一元函數(shù)與多元函數(shù)根據(jù)函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)進(jìn)行分類。03有界函數(shù)與無(wú)界函數(shù)根據(jù)函數(shù)的值域是否有限進(jìn)行分類。04單調(diào)函數(shù)與非單調(diào)函數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類。05周期函數(shù)與非周期函數(shù)根據(jù)函數(shù)的周期性進(jìn)行分類。06奇函數(shù)與偶函數(shù)根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行分類。函數(shù)的分類函數(shù)的極限02當(dāng)自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)，稱該常數(shù)為函數(shù)的極限。對(duì)于任意小的正數(shù)$varepsilon$，存在相應(yīng)的正數(shù)$delta$，當(dāng)$0<|x-x_0|<delta$時(shí)，有$|f(x)-L|<varepsilon$，其中$L$為常數(shù)。極限的定義極限的精確定義極限的描述性定義唯一性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該極限值是唯一的。局部保號(hào)性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于0，則該點(diǎn)的函數(shù)值也大于0；反之亦然。有界性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該點(diǎn)的函數(shù)值是有界的。局部四則運(yùn)算性質(zhì)若兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，則它們的和、差、積、商的極限也存在，且分別等于它們各自極限的和、差、積、商。極限的性質(zhì)123在自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值趨近于0的量。無(wú)窮小量在自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值趨近于無(wú)窮大的量。無(wú)窮大量在自變量趨近某一值時(shí)，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量之比的極限為1（即無(wú)窮小量是無(wú)窮大量的倒數(shù)）。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量導(dǎo)數(shù)與微分03010203導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的斜率。導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和拐點(diǎn)等性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)的重要工具。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式對(duì)于基本初等函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，都有對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算法則，可以用來(lái)計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算微分的計(jì)算公式對(duì)于基本初等函數(shù)，都有對(duì)應(yīng)的微分公式。微分的應(yīng)用微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)等方面有廣泛的應(yīng)用。微分的運(yùn)算法則微分具有加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算法則，可以用來(lái)計(jì)算復(fù)合函數(shù)的微分。微分的概念與計(jì)算積分學(xué)04定積分的概念與性質(zhì)定積分是積分學(xué)中的基本概念，表示一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分和。它可以通過(guò)極限的思想和分割、近似、求和、取極限四個(gè)步驟來(lái)定義。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性質(zhì)、可加性、積分中值定理等性質(zhì)，這些性質(zhì)可以幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算和推導(dǎo)。定積分的幾何意義定積分的值在幾何上表示為函數(shù)圖像與x軸所夾的面積，其正負(fù)號(hào)取決于函數(shù)圖像位于x軸上方的部分還是下方。定積分的定義微積分基本定理微積分基本定理是計(jì)算定積分的核心方法，它將定積分表示為被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)（或不定積分）在積分限之間的差值。分部積分法分部積分法是一種通過(guò)將兩個(gè)函數(shù)的乘積進(jìn)行求導(dǎo)來(lái)計(jì)算定積分的方法，它可以用于處理一些難以直接應(yīng)用微積分基本定理的積分。換元法換元法是通過(guò)改變積分變量來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算，其核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的積分區(qū)間變換為一個(gè)簡(jiǎn)單的區(qū)間，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。定積分的計(jì)算反常積分可以用于處理函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的積分，其結(jié)果可能為無(wú)窮大或不存在。根據(jù)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為，可以分為無(wú)窮區(qū)間上的反常積分和瑕點(diǎn)處的反常積分。無(wú)窮區(qū)間上的反常積分瑕點(diǎn)處的反常積分是指被積函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處不連續(xù)，導(dǎo)致在該點(diǎn)附近的積分難以處理。可以通過(guò)將瑕點(diǎn)看作一個(gè)新的小區(qū)間來(lái)處理這類積分。瑕點(diǎn)處的反常積分反常積分微分方程05微分方程定義微分方程是包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式。微分方程解法求解微分方程的方法包括分離變量法、常數(shù)變易法、參數(shù)變易法等。微分方程分類根據(jù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，微分方程可以分為一階、二階和高階微分方程。微分方程的基本概念一階微分方程是只包含一個(gè)導(dǎo)數(shù)的微分方程。一階微分方程定義求解一階微分方程的方法包括積分因子法、常數(shù)變易法等。一階微分方程解法一階線性微分方程是形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程，其解法為分離變量法。一階線性微分方程一階微分方程二階微分方程是包含兩個(gè)導(dǎo)數(shù)的微分方程。二階微分方程定義求解二階微分方程的方法包括降階法、常數(shù)變易法等。二階微分方程解法二階線性微分方程是形如y''+P(x)y'+Q(x)y=0的微分方程，其解法為分離變量法。二階線性微分方程二階微分方程多元函數(shù)微積分06連續(xù)性的定義如果一個(gè)多元函數(shù)在某點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。極限的性質(zhì)與一元函數(shù)的極限性質(zhì)類似，多元函數(shù)的極限也具有一些重要的性質(zhì)，如局部有界性、局部保號(hào)性等。極限的定義對(duì)于多元函數(shù)，其極限是指當(dāng)各個(gè)自變量趨于某點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值趨于某個(gè)確定的數(shù)值。多元函數(shù)的極限與連續(xù)性01對(duì)于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)是指在某個(gè)自變量變化時(shí)，函數(shù)值關(guān)于其他自變量的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的定義02全微分是指多元函數(shù)在某點(diǎn)處所有自變量變化量的線性組合，它反映了函數(shù)在該點(diǎn)附近的小變化。全微分的定義03全微分可以看作是偏導(dǎo)數(shù)的線性組合，其系數(shù)即為偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)與全微分二重積分的定義二重積分是計(jì)算二維平面