分式完整版本

第第頁(yè)分式概念總匯1、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

說(shuō)明：分式表示兩個(gè)整式相除，其中分子為被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)和括號(hào)的作用。

例如可以表示(a－b)÷(a+b)；分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)時(shí)，分式才有意義；（4）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不能把原式變形(如約分等)后再看，而只能根據(jù)它的本來(lái)面目進(jìn)行判斷。例如：對(duì)于來(lái)說(shuō)，，我們不能因?yàn)槭钦?，就判斷也是整式，事?shí)上是分式。2、分式有意義、無(wú)意義，分式的值為零的條件

（1）分式有意義的條件是分式的分母不為0；

（2）分式無(wú)意義的條件是分式的分母為零；

（3）分式的值為零的條件是分式的分子為零，且分母不為零。說(shuō)明：分母不為零是分式概念必不可少的組成部分，無(wú)論是分?jǐn)?shù)還是分式，分母為零都沒(méi)有意義。分式分母的值不為0，是指整個(gè)分母的值不為0。如果分母中的字母的值為0，但整個(gè)分母的值不為0，則分式是有意義的。分式的值為0，是在分式有意義的條件下，再滿足分子的值為零。（4）如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所遇到的分式都是有意義的。例如在分式中隱含著，即，這一條件，也就是說(shuō)分式中分母的值不為零。

3、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：

(其中)。

說(shuō)明：運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，千萬(wàn)不能忽略“”這一條件.如，變形時(shí)，必須滿足2x+1≠0。（2）分式的基本性質(zhì)要求“同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的變形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的錯(cuò)誤；同時(shí)分子、分母都乘（或除）以的整式必須相同。（3）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時(shí)，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化。例如：，在變形后，字母x的取值范圍變大了。

4、分式的變號(hào)法則一個(gè)分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

說(shuō)明：改變符號(hào)時(shí)應(yīng)該是分子、分母整體的符號(hào)，而不是分子、分母中某一項(xiàng)的符號(hào)；一個(gè)分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何一個(gè)或三個(gè)，得到的分式成為原分式的相反數(shù)。

分式的約分與分?jǐn)?shù)的約分類(lèi)似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。

說(shuō)明：約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；約分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)），然后約去它們的公因式；找公因式的方法：先分解因式，系數(shù)取最大公約數(shù)，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次冪；約分要徹底，使分子、分母沒(méi)有公因式，分子、分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式。

分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類(lèi)似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。

說(shuō)明：通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；通分的關(guān)鍵是尋求幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母：①最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式進(jìn)行通分時(shí)，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母；②尋求最簡(jiǎn)公分母應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(ⅰ)“各分母所有因式的最高次冪”是指凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的；(ⅱ)如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)；(ⅲ)如果分母是多項(xiàng)式，一般應(yīng)先分解因式。通分的方法是：先求各分式的最簡(jiǎn)公分母，然后以每個(gè)分式的分母去除這個(gè)最簡(jiǎn)公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。

整式和分式有理式的概念：整式和分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式。有理式的分類(lèi)：（3）整式和分式的區(qū)別：分式的本質(zhì)特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不為零的具體數(shù)。 方法引導(dǎo)例1下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）；（2）；（3）；（4）難度等級(jí)：A

解：屬于整式的有：（2）、（4）；屬于分式的有：（1）、（3）【知識(shí)體驗(yàn)】分式的本質(zhì)特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不為零的具體數(shù)?！敬钆渚毩?xí)】判斷下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4,,,,，例2當(dāng)取什么值時(shí)，下列分式有意義？（1）；（2）難度等級(jí)：A

解：（1）分母≠0，即≠1.所以，當(dāng)≠1時(shí)，分式有意義.（2）分母2≠0，即≠-.所以，當(dāng)≠-時(shí)，分式有意義【知識(shí)體驗(yàn)】要使分式有意義，必須且只須分母不等于零.【解題技巧】在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，則分式?jīng)]有意義.例如，在分式中，a≠0；在分式中，m≠n.【搭配練習(xí)】1、當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？（1）（2）（3）2、當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式無(wú)意義？（1）（2）（3）例3當(dāng)m為何值時(shí)，分式的值為0？（1）（2）（3）難度等級(jí)：A

解：（1）m=0（2）m=2（3）m=1【知識(shí)體驗(yàn)】分式的值為0時(shí)，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：eq\o\ac(○,1)分母不能為零；eq\o\ac(○,2)分子為零，這樣求出的m的解集中的公共部分，就是這類(lèi)題目的解【搭配練習(xí)】1、當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為0？（1）（2）(3)例4填空：難度等級(jí)：A

解：（1）（2）【知識(shí)體驗(yàn)】應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把已知的分子、分母同乘以或除以同一個(gè)整式，使分式的值不變【解題技巧】題（1）因?yàn)閷⒎质降姆肿觔乘a，才能得到ab，為保證這個(gè)分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分母a也需要乘a；（2）因?yàn)閷⒎质降姆帜赋?才能得到，為保證這個(gè)分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需要乘2【搭配練習(xí)】填空：(1)=(2)=（3)=(4)=例5約分（1）；（2）難度等級(jí)：A

解：(1）＝－＝－.（2）＝＝【知識(shí)體驗(yàn)】約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個(gè)整式，使分式的值不變.所以要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式?！窘忸}技巧】首先要找出分子與分母的公因式，系數(shù)取最大公約數(shù)，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次冪?！敬钆渚毩?xí)】約分：（1）（2）（3）（4）例6通分（1），；（2），；（3），難度等級(jí)：A

解：（1）與的最簡(jiǎn)公分母為a2b2，所以＝＝，＝＝.（2）與的最簡(jiǎn)公分母為（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以＝＝，＝＝【知識(shí)體驗(yàn)】約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個(gè)整式，使分式的值不變.所以要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式【解題技巧】最簡(jiǎn)公分母的找法：取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母【搭配練習(xí)】通分：（1）和（2）和（3）和（4）和例7不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào).，，，，難度等級(jí)：B

解：=，=，=，=，=【知識(shí)體驗(yàn)】每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號(hào)，其中兩個(gè)符號(hào)同時(shí)改變，分式的值不變?！窘忸}技巧】統(tǒng)計(jì)出所有負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)，偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)為“﹢”，奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)為“-”【搭配練習(xí)】不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào).(1)(2)（3)(4)例題講解(一）題型分類(lèi)全析例1當(dāng)x取何值時(shí)，分式難度等級(jí)：B【思維直現(xiàn)】分式有意義，就可以了，先把因式分解，得出，由，可以知道，所以，解：由分母x2－x－2≠0得x≠－1，x≠2所以當(dāng)x≠－1，x≠2時(shí)，原分式有意義【閱讀筆記】分式有意義，就是分母不為零。但不能先把約分.如果把分子和分母的公因式約去，會(huì)導(dǎo)致分母的取值范圍擴(kuò)大而發(fā)生錯(cuò)誤【題評(píng)解說(shuō)】本題主要考察分式的概念，只要緊緊扣住有意義的條件，分母不為零，其他的不用考慮?！窘ㄗh】該題的解法要從因式分解講起，不要變成一元二次方程的解法。【搭配練習(xí)】當(dāng)x取什么值時(shí)，下列分式有意義：（1）(2)（3）例2：不改變分式的值，把下列分式的值，把下列各式的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)：（1）（2）難度等級(jí)：B【思維直現(xiàn)】要把分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)，就要找到各項(xiàng)分母的最小公倍數(shù)，再利用分式的基本性質(zhì)，分子與分母同時(shí)乘以最小公倍數(shù)。解：（1）（2）【閱讀筆記】分式的基本性質(zhì)是分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。這就說(shuō)明不改變分式的值，分式的形式也是可以改變的。【題評(píng)解說(shuō)】本題主要考查的是分式基本性質(zhì)的運(yùn)用。把的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)也就是要把各系數(shù)擴(kuò)大倍數(shù)，又要保證分式的值不變，這種要求利用分式的基本性質(zhì)就可以達(dá)到，分式的分子與分母同乘最小公倍數(shù)就可以完成轉(zhuǎn)換?！窘ㄗh】分式的基本性質(zhì)是分式運(yùn)算的基礎(chǔ)，約分和通分都是根據(jù)它的實(shí)現(xiàn)的，所以需要熟練掌握?！敬钆渚毩?xí)】下列從左到右的變形正確的是（）．A．B．C．D．例3不改變分式的值，使下列各式的分子與分母按x的降冪排列，并使最高次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)：（1）（2）（3）難度等級(jí)：C【思維直現(xiàn)】按x的降冪排列，就是把各項(xiàng)的順序打亂，然后按照指數(shù)高低重新排列。若最高次項(xiàng)系數(shù)為“-”時(shí)，則需要用到符號(hào)法則。解：（1）（2）（3）【閱讀筆記】不改變分式的值、按x的降冪排列、使最高次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，要滿足三個(gè)條件，就要先滿足一個(gè)條件，再滿足第二個(gè)，最后滿足第三個(gè)?！绢}評(píng)解說(shuō)】本題是綜合題，考查的知識(shí)點(diǎn)有多項(xiàng)式的降冪排列，添括號(hào)法則和符號(hào)法則，正確的完成此題，需要整理清楚思緒，按要求一個(gè)一個(gè)滿足?！窘ㄗh】先按x的降冪排列，再用添括號(hào)法則使最高次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，最后根據(jù)符號(hào)法則，判斷正負(fù)。【搭配練習(xí)】1、2、如果把分式中的x,y都擴(kuò)大10倍,那么分式的值一定()A、擴(kuò)大10倍B、擴(kuò)大100倍C、縮小10倍D、不變3、在分式（a、b為正數(shù)）中，字母a、b的值分別擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則分式的值是原來(lái)的()倍例4求證：無(wú)論取何值時(shí)，分式總有意義難度等級(jí)：C【思維直現(xiàn)】分式有意義，就是解：∵∴∴即∴無(wú)論取何值時(shí)，分式總有意義【閱讀筆記】分式總有意義，就說(shuō)明分母中的字母取任何一個(gè)值，分母都不會(huì)為零，那么可以將進(jìn)行變形，如果可以化為一個(gè)完全平方形式與一個(gè)常數(shù)的和，就可以大致確定分母的取值范圍了?！绢}評(píng)解說(shuō)】本題屬于分式意義的提高題，解題時(shí)需要結(jié)合乘法公式，先拆項(xiàng)，再組合的方法，把變成來(lái)確定分母的取值?！窘ㄗh】拆項(xiàng)的時(shí)候，一定要注意拆項(xiàng)后能否與前兩項(xiàng)組合成完全平方式【搭配練習(xí)】1、求：同時(shí)使分式有意義，又使分式無(wú)意義的值。2、求分別取何值時(shí)，分式的值為零。（二）思維重點(diǎn)突破例5解不等式。難度等級(jí)：C【思維直現(xiàn)】商要小于零，那么分子與分母必須異號(hào)才可以。解：∵∴與異號(hào)∴或當(dāng)時(shí)，不等式組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，這個(gè)不等式組的解集為∴原不等式的解集為【閱讀筆記】運(yùn)用分?jǐn)?shù)的除法法則，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，可以把分式不等式轉(zhuǎn)換成被除式、除式與商的關(guān)系。商的正負(fù)取決于被除式、除式的正負(fù)，從中得出兩個(gè)不等式組。【題評(píng)解說(shuō)】本題形式上是分式不等式，實(shí)質(zhì)是要求學(xué)生利用所學(xué)，把題目轉(zhuǎn)換成求不等式組的解集?！窘ㄗh】當(dāng)知識(shí)學(xué)得越來(lái)越多時(shí)，要不斷提高學(xué)生綜合能力，拓展學(xué)生的思維。【搭配練習(xí)】為何值時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù)？課后作業(yè)A類(lèi)作業(yè)：一、填空題1.列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1）甲每小時(shí)做x個(gè)零件，則他8小時(shí)做零件個(gè)，做80個(gè)零件需小時(shí).（2）輪船在靜水中每小時(shí)走a千米，水流的速度是b千米/時(shí)，輪船的順流速度是千米/時(shí).（3）x與y的差于4的商是.2、若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是。3、當(dāng)x時(shí)，分式?jīng)]有意義二、選擇題1、若分式有意義，則x的取值范圍是()A．x≠1B．x>1C．x=1D．x<12、下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是（）A.eq\f(a,b)＝eq\f(ac,bc)（c≠0） B.eq\f(－a－b,a＋b)＝－1C.eq\f(0.5a＋b,0.2a－0.3b)＝eq\f(5a＋10b,2a－3b) D.eq\f(x－y,x＋y)＝eq\f(y－x,y＋x)3、如果把分式中的和都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）A擴(kuò)大3倍B不變C縮小3倍D縮小6倍4、下列各式中，變形不正確的是（）A.eq\f(－2,3y)＝－eq\f(2,3y) B.eq\f(－y,－6x)＝eq\f(y,6x) C.eq\f(3x,－4y)＝－eq\f(3x,4y) D.－eq\f(－8x,3y)＝eq