江蘇省常州市2021年中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

考試注意事項

1.進(jìn)入考場時攜帶的物品。

考生進(jìn)入考場，只準(zhǔn)攜帶準(zhǔn)考證、二代居民身份證以及2B鉛筆、0.5毫

米黑色墨水簽字筆、直尺、圓規(guī)、三角板、無封套橡皮、小刀、空白墊紙板、

透明筆袋等文具。嚴(yán)禁攜帶手機(jī)、無線發(fā)射和接收設(shè)備、電子存儲記憶錄放

設(shè)備、手表、涂改液、修正帶、助聽器、文具盒和其他非考試用品。考場內(nèi)

不得自行傳遞文具等物品。

由于標(biāo)準(zhǔn)化考點使用金屬探測儀等輔助考務(wù)設(shè)備，所以提醒考生應(yīng)考時盡

量不要佩戴金屬飾品，以免影響入場時間。

2.準(zhǔn)確填寫、填涂和核對個人信息。

考生在領(lǐng)到答題卡和試卷后，在規(guī)定時間內(nèi)、規(guī)定位置處填寫姓名、準(zhǔn)考

證號。填寫錯誤責(zé)任自負(fù)；漏填、錯填或字跡不清的答題卡為無效卡；故意

錯填涉嫌違規(guī)的，查實后按照有關(guān)規(guī)定嚴(yán)肅處理。監(jiān)考員貼好條形碼后，考

生必須核對所貼條形碼與自己的姓名、準(zhǔn)考證號是否一致，如發(fā)現(xiàn)不一致，

立即報告監(jiān)考員要求更正。

3.考場面向考生正前方的墻壁上方懸掛時鐘，為考生提供時間參考。

考場時鐘的時間指示不作為考試時間信號，考試時間一律以考點統(tǒng)一發(fā)出

的鈴聲信號為準(zhǔn)。

常州市二。二。年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項:

1.本試卷共6頁.全卷滿分120分.考試時間為120分鐘.考生應(yīng)將答案全部填寫在答題卡

相應(yīng)位置上,寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.考試時不允許使

用計算器.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試證號填寫在試卷上，并填寫好答題卡上的考生信息.

3.作圖必須用2B鉛筆作答,并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共8小題,每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項

是正確的）

1.2的相反數(shù)是（）

]_

AB.C.2D.-2

-42

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

【詳解】2的相反數(shù)是-2,

故選D.

2.計算帚子/結(jié)果是（)

A.nt,B.m4c"D.加2

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用同底數(shù)累除法的運算法則解答即可.

【詳解】解：，7?+療=機(jī)6-2_加）.

故選：B.

【點睛】本題考查了同底數(shù)曙除法，掌握公式+4"=加"一"是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（)

A.圓柱B.三棱柱C.四棱柱D.四棱錐

【答案】C

【解析】

【分析】

通過俯視圖為圓得到幾何體為柱體，然后通過主視圖和左視圖可判斷幾何體為四棱柱.

【詳解】解：由圖可知：

該幾何體是四棱柱.

故選：C.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體：由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和

左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀.熟記一些簡單的幾何體的三

視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助.

4.8的立方根是（）

A.2夜B.±2C.±272D.2

【答案】D

【解析】

【詳解】解：根據(jù)立方根的定義，由23=8,可得8的立方根是2

故選：D.

【點睛】本題考查立方根.

5.如果》<兒那么下列不等式正確的是（）

A.2x<2yB.-2x<-2yC.x-1>y-1D.x+l〉y+l

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、由x<y可得：2x<2y,故選項成立;

B、由xVy可得：—2x>-2y,故選項不成立；

C、由xVy可得：x-l<丁-1,故選項不成立;

D、由x<y可得：x+1<y+1,故選項不成立;

故選A.

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變.（2）

不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù),不等號

的方向改變.

6.如圖，直線a、b被直線c所截,a//6,Nl=140°,則N2的度數(shù)是（）

C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)鄰補(bǔ)角相等求得/3,然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯角相等即可解答.

【詳解】解：???/1+/3=180。,/1=140。

Z3=180°-Zl=l80°-140°=40°

a//b

.\Z2=Z3=40°.

故答案為B.

1

3

__________________2Zb

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行、內(nèi)錯角相等“是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖,AB是。。的弦，點C是優(yōu)弧AB上的動點（C不與A、B重合），C"_LA6,垂足為H,點M是的

中點.若。。的半徑是3,則長的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊中線定理,斜邊上的中線等于斜邊的一半可知MH=!BC,當(dāng)BC為直徑時長度最大，即可

求解.

【詳解】解：?.?CH_LA3

ZBHC=90°

???在RtABHC中，點M是8C的中點

.\MH=—BC

2

：BC為。。的弦

當(dāng)BC為直徑時,MH最大

,/Q0的半徑是3

/.MH最大為3.

故選:A.

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線定理，數(shù)形結(jié)合是結(jié)題關(guān)鍵.

8.如圖，點D是UOABC內(nèi)一點,cr）與X軸平行,BD與y軸平行,BD=0,ZADB=135°,S^D=2.若

k

反比例函數(shù)y=-x>o）的圖像經(jīng)過A、。兩點，則A的值是（）

X

A.2>/2B.4C.3近D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

作交BD的延長線于點E,作軸于點F,計算出AE長度，證明尸，得出AF

長度,設(shè)出點A的坐標(biāo)，表示出點D的坐標(biāo)，使用xDyD=5力，可計算出k值.

【詳解】作AE_L3￡>交BD的延長線于點E,作AF軸于點F

ZADB=135°

???ZADE=45°

；?△?1￡）￡為等腰直角三角形

BD=y[2,SABD=2

S^ABD=TBD,A.E=2,即AE-2V2

DE=AE=2&

*/BC=AO,且BC//AO,CD//OF

；?ZBCD^ZAOF

△BCD三△AOE

AF=BD=五

?'?%=30

設(shè)點A（加,&）,。（m—2加,3&）

.??"http://=（祖-2揚

解得：m=3>/2

k-35/2xV2=6

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，利用點A和點D表示出k的計算是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共10小題,每小題2分，共20分.不需寫出解答過程,請把答案直接填寫在

答題卡相應(yīng)位置上）

9.計算：2|+（兀-1）°=一.

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值和0次基的性質(zhì)求解即可.

【詳解】原式=2+1=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了絕對值和0次幕的性質(zhì).

10.若代數(shù)式」一有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

x-1

【答案】X/1

【解析】

【分析】

分式有意義時，分母X-1#）,據(jù)此求得X的取值范圍.

【詳解】解：依題意得：X-1/0,

解得X/1,

故答案為:xg.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件.(1)分式有意義的條件是分母不等于零.(2)分式無意義的條件

是分母等于零.

11.地球半徑大約是6400km，將6400用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】6.4x103

【解析】

【分析】

對于一個絕對值較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法寫成ax10"的形式，其中14同<10,"是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù).

【詳解】6400=6.4x1()3.

故答案為：6.4xl03"

【點睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中以為整數(shù),

表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.分解因式：%3—x=.

【答案】x(x+1)(x-1)

【解析】

解：原式=城4-即:=臧京;#峰;-二時

13.若一次函數(shù)y=履+2的函數(shù)值y隨自變量x增大而增大,則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】k>0

【解析】

分析】

直角利用一次函數(shù)增減性與系數(shù)的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：；一次函數(shù)丁=區(qū)+2的函數(shù)值y隨自變量x增大而增大

.\k>0.

故答案為k>0.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)增減性與系數(shù)的關(guān)系,當(dāng)一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于零時，一次函數(shù)的函數(shù)

值隨著自變量x的增大而增大.

14.若關(guān)于x的方程x1+ax-2=0有一個根是L則a=.

【答案】1

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次方程的解的定義，把X=1代入方程得到關(guān)于a的一次方程，然后解此一次方程即可.

【詳解】解：把x=l代入方程/+6_2=。得l+a-2=0,

解得a=l.

故答案是：1.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

15.如圖，在AAHC中,8C的垂直平分線分別交8C、AB于點E、F.若△AFC是等邊三角形，則

NB=°.

【答案】30

【解析】

【分析】

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到/B=NBCF,再利用等邊三角形的性質(zhì)得到NAFC=60。,從而可得NB.

【詳解】解：：EF垂直平分BC,

BF=CF,

/.ZB=ZBCF,

???△ACF為等邊三角形，

ZAFC=60°,

.*.ZB=ZBCF=30°.

故答案為：30.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)

得至U/B=NBCF.

16.數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長補(bǔ)短.在

菱形ABC。中,AB=2,ZDAB=120°.如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使得邊A3在x軸正半軸上，點D

在y軸正半軸上，則點C的坐標(biāo)是.

y

O

【答案】（2,百）

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AD=AB=CD=2,/OAD=60。,由三角函數(shù)即可求出線段0D的長度，即可得到答案.

【詳解】解：：四邊形ABC。為菱形,AB=2

AD=AB=CD=2,AB//CD

ZQ4B=120°

在RtADOA中,Sin60°=—=—

AD2

.-.OD=V3

二點C的坐標(biāo)是（2,6）.

故答案為：（2,6）.

【點睛】本題考查了平面直接坐標(biāo)系中直角三角形的計算問題，以及菱形的性質(zhì),熟練掌握特殊三角函數(shù)值是

解題關(guān)鍵.

17.如圖，點C在線段上，且AC=23C,分別以AC、為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、

8CFG,連接EC、EG,則tanNCEG=

【解析】

【分析】

設(shè)BC=a，則AC=2a,然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長、NGCD=ECD=45。,進(jìn)而說明仆ECG為直角三

角形，最后運用正切的定義即可解答.

【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a

???正方形4CDE

???EC=+(2”=2缶,ZECD=|ZACD=45°

同理:CG=ypia，/GCD=；/BCD=45

CG缶1

tanZCEG

CE~2y/2a~2

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解答本題的

關(guān)鍵.

18.如圖，在AABC中,=45°,AB=6人Q、E分別是AB.AC的中點，連接DE,在直線DE和直線BC

上分別取點F、G,連接8尸、DG.若8b=37X7,且直線8F與直線DG互相垂直，則8G的長為?

【答案】4或2

【解析】

【分析】

分當(dāng)點F在點D右側(cè)時，當(dāng)點F在點D左側(cè)時，兩種情況，分別畫出圖形,結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理以及平行四邊

形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點F在點D右側(cè)時，

過點F作FM〃DQ交直線BC于點M,過點B作BNLDE,交直線DE于點N,

VD,E分別是AB和AC中點,AB=60,

.?.DE〃BC,BD=AD=3VLNFBM=/BFD,

???四邊形DGMF為平行四邊形，

貝I]DG=FM,

VDG±BF,BF=3DG,

ZBFM=90°,

,FM1

..tanZFBM=------=—=tanZBFD,

BF3

,BN

,?麗Y，

VZABC=45°=ZBDN,

...△BDN為等腰直角三角形，

BD.

；.BN=DN=g=3,

FN=3BN=9,DF=GM=6,

BF=y]BN2+NF2=3y/10,

.,.FM=-5F=VW,

3

BM=yjBF2+FM2=10'

BG=10-6=4；

A

當(dāng)點F在點D左側(cè)時，過點B作BNLDE,交直線DE于N,過點B作BM〃DG交直線DE于M,延長FB和

DG1交點為H,

可知：NH=NFBM=90。,四邊形BMDG為平行四邊形,

???BG=MD,BM=DG,

,:BF=3DG

/BMDHBN1

..tanZBFD==------==—,

BFFHFN3

同理可得：△BDN為等腰直角三角形,BN=DN=3,

AFN=3BN=9,

；.BF=j92+32=3亞，

設(shè)MN=x，則MD=3-x,FM=9+x,

在RtABFM和RtABMN中，

有-BF2=MN2+BN2,

即(9+4_(3廂『2+32,

解得:x=l,即MN=1,

；.BG=MD=ND-MN=2.

綜上：BG的值為4或2.

故答案為：4或2.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，難度較大,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分清情況.

三、解答題(本大題共10小題，共84分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,如無特殊說明，解答應(yīng)寫

出文字說明、演算步驟或推理過程)

19.先化簡,再求值：。+1)2-4工+1),其中工=2.

【答案】x+1；3

【解析】

【分析】

先利用完全平方公式和單項式乘多項式化簡，再代入求值即可.

【詳解】解：（X+1）2-X（X+1）

=Y+1+2x——X

=尤+1

將x=2代入，

原式=3

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算,解題的關(guān)鍵是正確的化簡.

20.解方程和不等式組：

2%-6<0,

（2）<

-3%,,6.

【答案】（1）x=0；（2）-2<x<3

【解析】

【分析】

（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的方法部分即可.

x2

【詳解】解：（1）——+——=2

x一11—x

去分母得：X—2=2x—2

解得x=0,

經(jīng)檢驗x=0是分式方程的解；

2x-6<0,①

（2）</

1-3%,6,②

由①得：x<3

由②得：X>-2

則不等式組的解集為-2Wx<3.

【點睛】本題考查了解分式方程與解不等式組，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程求解.解一元一次不等式組要注意不等號的變化.

21.為了解某校學(xué)生對球類運動的喜愛情況，調(diào)查小組就打排球、打乒乓球、打籃球、踢足球四項球類運動對

該校學(xué)生進(jìn)行了“你最喜愛的球類運動”的抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖.

人物

(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)該校共有2000名學(xué)生，請你估計該校最喜愛“打籃球”的學(xué)生人數(shù).

【答案】(I)100；(2)見解析；(3)300人.

【解析】

【分析】

(1)用條形統(tǒng)計圖中最喜愛打排球的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中最喜愛打排球的人數(shù)所占百分比即可求出本次

抽樣調(diào)查的樣本容量；

(2)用總?cè)藬?shù)乘以最喜愛打乒乓球的人數(shù)所占百分比即可求出最喜愛打乒乓球的人數(shù),用總?cè)藬?shù)減去最喜愛

其它三項運動的人數(shù)即得最喜愛踢足球的人數(shù)，進(jìn)而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)用最喜愛打籃球的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以2000即可求出結(jié)果.

【詳解】解：(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是25+25%=100；

故答案為：100;

(2)打乒乓球的人數(shù)為100x35%=35人，踢足球的人數(shù)為100-25-35-15=25人;

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

人數(shù)A

100

答：估計該校最喜愛"打籃球''的學(xué)生有300人.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、樣本容量以及利用樣本估計總體等知識，屬于基本題型，熟練

掌握上述基本知識是解題關(guān)鍵.

22.在3張相同的小紙條上分別標(biāo)上1、2、3這3個號碼，做成3支簽,放在一個不透明的盒子中.

（1）攪勻后從中隨機(jī)抽出1支簽，抽到1號簽的概率是;

（2）攪勻后先從中隨機(jī)抽出1支簽（不放回），再從余下的2支簽中隨機(jī)抽出1支簽，求抽到的2支簽上簽

號的和為奇數(shù)的概率.

12

【答案】（1）—；（2）—

33

【解析】

【分析】

（1）由概率公式即可得出答案；

（2）畫出樹狀圖，得到所有等可能的情況,再利用概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）???共有3個號碼，

抽到1號簽的概率是g,

故答案為：—;

（2）畫樹狀圖如下:

開始

所有等可能的情況有6種，其中抽到的2支簽上簽號的和為奇數(shù)的有4種，

42

抽到的2支簽上簽號的和為奇數(shù)的概率為：一=一.

63

【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.己知：如圖，點A、B、C、。在一條直線上,￡4〃尸氏E4=在氏AB=CD.

(1)求證：ZE=ZF；

(2)若NA=40。,ZD=80°,求NE的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)60°

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件證明△ACE絲ABDE即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ND=/ACE=80。,再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.

【詳解】解：⑴VAE/7BF,

ZA=ZDBF,

VAB=CD,

；.AB+BC=CD+BC,即AC=BD,

又：AE=BF,

.,.△ACE^ABDF(SAS),

ZE=ZF；

(2)'.?△ACE絲△BDF,

ZD=ZACE=80°,

ZA=40°,

ZE=180°-ZA-ZACE=60°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是找出三角形全等的條件.

24.某水果店銷售蘋果和梨，購買1千克蘋果和3千克梨共需26元，購買2千克蘋果和1千克梨共需22元.

(1)求每千克蘋果和每千克梨的售價；

(2)如果購買蘋果和梨共15千克,且總價不超過100元，那么最多購買多少千克蘋果？

【答案】(1)每千克蘋果售價8元，每千克梨6千克；(2)最多購買5千克蘋果

【解析】

【分析】

(1)設(shè)每千克蘋果售價x元，每千克梨y千克，由題意列出x、y的方程組，解之即可；

(2)設(shè)購買蘋果a千克，則購買梨(15-a)千克，由題意列出a的不等式，解之即可解答.

【詳解】(1)設(shè)每千克蘋果售價x元，每千克梨y千克，由題意，

得：Lx+3y■=2”6，

2x+y=22

解得：\x=8,

7=6

答：每千克蘋果售價8元，每千克梨6千克，

(2)設(shè)購買蘋果a千克，則購買梨(15-a)千克，由題意，

得：8a+6(15-a)<100,

解得：aW5,

，a最大值為5,

答：最多購買5千克蘋果.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析相關(guān)信息,

正確列出方程組和不等式.

o

25.如圖，正比例函數(shù)y=質(zhì)的圖像與反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖像交于點Am4).點B為x軸正半軸上

一點，過8作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點C,交正比例函數(shù)的圖像于點D.

(1)求4的值及正比例函數(shù)y=質(zhì)的表達(dá)式；

(2)若60=10,求八48的面積.

63

【答案】(1)a=2；y=2x；(2)y

【解析】

【分析】

(1)已知反比例函數(shù)解析式，點A在反比例函數(shù)圖象上，故a可求；求出點A的坐標(biāo)后，點A同時在正比例函

數(shù)圖象上，將點A坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中，故正比例函數(shù)的解析式可求.

(2)根據(jù)題意以及第一問的求解結(jié)果，我們可設(shè)B點坐標(biāo)為(b,0),則D點坐標(biāo)為(b,2b),根據(jù)BD=10,可求b值,

然后確認(rèn)三角形的底和高，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解.

Q

【詳解】(1)已知反比例函數(shù)解析式為y=一，點A(a,4)在反比例函數(shù)圖象上，將點A坐標(biāo)代入，解得a=2,故A

x

點坐標(biāo)為(2,4),又???A點也在正比例函數(shù)圖象上,設(shè)正比例函數(shù)解析為y=kx,將點A(2,4)代入正比例函數(shù)解析

式中，解得k=2,則正比例函數(shù)解析式為y=2x.

故a=2；y=2x.

Q

(2)根據(jù)第一問的求解結(jié)果，以及BD垂直x軸，我們可以設(shè)B點坐標(biāo)為(b,0),則C點坐標(biāo)為(b,—)、D點坐標(biāo)

b

Q

為(b,2b),根據(jù)BD=10,則2b=10,解得b=5,故點B的坐標(biāo)為(5,0),D點坐標(biāo)為(5,10),C點坐標(biāo)為(5,《)，則在AACD

中，%CD=gx(l喂卜(5—2)卷.

63

故^ACD的面積為.

【點睛】(1)本題主要考查求解正比例函數(shù)及反比例函數(shù)解析式,掌握求解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式

的方法是解答本題的關(guān)鍵.

(2)本題根據(jù)第一問求解的結(jié)果以及BD垂直x軸,利用待定系數(shù)法，設(shè)B、C、D三點坐標(biāo)，求出B、C、D

三點坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵，同時掌握三角形面積公式，即可求解.

26.如圖1,點B在線段CE上,RsABC^RIACEF,ZABC=ZCEF=90°,ABAC=30°,8C=1.

（圖1）（圖2）

（1）點F到直線CA的距離是；

（2）固定△43。,將仆CE尸繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30。,使得與C4重合,并停止旋轉(zhuǎn).

①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段EF■經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要

求寫畫法）該圖形的面積為；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CF與AB交于點。，當(dāng)OE=OB時，求OF的長.

n

【答案】（1）1；（2）—；（3）OF——

123

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得/ACF=/Eb=30。,即CF是/ACB的平分線,然后根

據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點尸到直線C4的距離即為EF的長，于是可得答案；

（2）①易知E點和F點的運動軌跡是分別以CF和CE為半徑、圓心角為30。的圓弧，據(jù)此即可畫出旋轉(zhuǎn)后

的平面圖形；在圖3中冼解RtACEF求出CF和CE的長，然后根據(jù)5腿=（心四+S用柩ACF）—（SAXCG+SA

…）即可求出陰影面積；

②作EHA.CF于點”，如圖4,先解RtAEF”求出FH和EH的長，進(jìn)而可得CH的長，設(shè)OH=x,則CO和00

都可以用含x的代數(shù)式表示，然后在RS80c中根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值,

進(jìn)一步即可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）,/ABAC=30°,ZABC=90°，,ZACB=60°,

,：RtAABCRtACEF,

：.NECF=/BAC=30°,EF=BC=l,

：.ZACF=30°,：.N4CF=NEC尸=30°,

...CF是/AC8的平分線，

點F到直線CA的距離=EF=1；

故答案為：1;

（2）①線段所經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示:

c

圖3

在RtACEF中，；NECF=30°,,EF=1,

:.CF=2,CE=4i,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CF=C4=2CE=CG=6,NACG=/ECF=30。,

（§△ACG+S扇形CEG）=S闞形4CF-S鬼形CEG=304x230；TX（G）_￡

??S陰影=（SACEF+S螞彩ACF）一

360360-12

故答案為：—；

12

②作E乩LCF于點H,如圖4,

在RtAEFH中,；ZF=60°,￡F=l,

FH=L,EH=旦,

22

.c?3

??CH—2=一,

22

3、（a

2222

設(shè)OH=x,則。。=二一x,Ob?=E/-I+OH=—2+x=-+x,

2IJ4

,3,

,ZOB=OE,：.OB'=-+x2,

4

33

Y*+^+1-f尤丫

在RtABOC中,；OB2+BC2=0（

412J

解得：x=—,

6

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)作圖、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、扇形面積公式、勾股

定理和解直角三角形等知識，涉及的知識點多，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用整體思想和方程思想

是解題的關(guān)鍵.

27.如圖1,。/與直線。相離，過圓心/作直線”的垂線，垂足為”，且交。/于P、。兩點（。在P、〃之間）.我

們把點P稱為。/關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點”，把PQ-PH的值稱為。/關(guān)于直線a的“特征數(shù)”.

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點E的坐標(biāo)為（0,4）,半徑為1的。。與兩坐標(biāo)軸交于點A、B、C、

D.

①過點E畫垂直于）軸的直線機(jī)，則。。關(guān)于直線機(jī)的“遠(yuǎn)點”是點（填“4”、“8”、"C域“￡）”），。。

關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為；

②若直線〃的函數(shù)表達(dá)式為＞=JIr+4,求。。關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；

（2）在平面直角坐標(biāo)系X0V中,直線/經(jīng)過點加（1,4）,點尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以尸為圓心,0為半徑作

OF.若OF與直線l相離，點N(—1,0)是。尸關(guān)于直線I的“遠(yuǎn)點”，且。尸關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是4A/5，求直

線/的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(1)①D：10；②。。關(guān)于直線”的“特征數(shù)”為6；(2)直線/的解析式為丫=令+7或丫=?+?

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)題干中“遠(yuǎn)點”及"特征數(shù)''的定義直接作答即可；②過圓心O作OH,直線n,垂足為點H,交。。

于點P、Q,首先判斷直線n也經(jīng)過點E(0,4)，在R3EOF中，利用三角函數(shù)求出NEFO=60。,進(jìn)而求出PH的

長，再根據(jù)“特征數(shù)”的定義計算即可;

4=%+力］①

(2)連接NF并延長，設(shè)直線/的解析式為丫=1?+1)1,用待定系數(shù)法得到＜…，再根據(jù)兩條直線互

n=mk+bx②

相垂直，兩個一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線NF的解析式為y=-gx+b2,用待定系數(shù)法

K

0=—+④〃一4=mk-k

k2

同理可得〈，消去bi和b2,得到關(guān)于m、n的方程組＜1m;根據(jù)。/關(guān)于直線/

m-n=-I—

n=----+瓦⑤kk

k

k2-4k-\

m=-------------

k2+1

的“特征數(shù)”是475，得出NA=回，再利用兩點之間的距離公式列出方程(m+1)2+/=10,把＜

4一2攵

n=-----

公+1

代入，求出k的值,便得到m、n的值即點A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線/的函數(shù)表達(dá)式.注意有兩種情

況，不要遺漏.

【詳解】解：(D①。。關(guān)于直線機(jī)的“遠(yuǎn)點”是點D,

?0關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為DBDE=2x5=10；

②如下圖：過圓心O作OHL直線n,垂足為點H,交。。于點P、Q,

4A/3

當(dāng)x=0時,y=4；當(dāng)y=0時,x=........-

3

4G

???直線〃經(jīng)過點E(0,4)點F(一-2,0),

3

FO

在RtAEOF中，?.,tanNFEO=-----

EO

：.NFEO=30。，

ZEFO=60°,

一/HO

RtAHOF中,Ysin/HFO=——，

FO

.\HO=sinZHFOFO=2,

APH=HO+OP=3,

???PQPH=2x3=6,

：.QO關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；

(2)如下圖,???點F是圓心，點N(—l,0)是“遠(yuǎn)點”，

???連接NF并延長，則直線NFJ_直線1,設(shè)NF與直線1的交點為點A(m,n),

設(shè)直線/的解析式為y=kx+b(k/0),

將點Af(1,4)與A(m,n)代入y=kx+bi中，

’4=%+偽①

<

n=mk+/?)②

②-①得：n-4=mk-k,③

又???直線NFJ_直線/,

設(shè)直線NF的解析式為y=x+bz(?0),

將點N(-1,O)與A(m,n)代入y=-5x+b2中,

k

0」+4④

<k

m.有

n=----+4@

、k

ryi

④?⑤得：-n二—?---，⑥

kk

聯(lián)立方程③與方程⑥，得：

〃-4=mk-k

\1m

Ikk

爐-4%-1

tn=-------------

解得：1,￡+1,

4—2k

n-

k2+\

,上.-,,k~—4k-14—2k

?.點A的坐標(biāo)L為(——------——)；

k2+\興+i

又?；OF關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是475,?F的半徑為V2,

.".NB-NA=4V5,

即20-NA=4A/5,

解得：NA=V10,

[m-(-1)]2+(n-0)2=(710尸，

即(m+l)2+n2=10,

m=----------

把《“廿十+1代入，解得卜=-3或1＜二1一；

4一2攵3

n--；---

公+i

當(dāng)k=-3時,m=2,n=l,

???點A的坐標(biāo)為(2,1),

把點A(2,1)與點”(1,4)代入y=kx+bi中，解得直線/的解析式為y=-3x+7；

當(dāng)k=一時,m=-2,n=3,

3

二點A的坐標(biāo)為(-2,3),

把點A(-2,3)與點/(1,4)代入y=kx+bi中，解得直線/的解析式為y=gx+￡.

,直線I的解析式為y—3x+7或y=gx+g.

【點睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角

形等，理解“遠(yuǎn)點”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點之間距離公式、兩條直線互相垂

直的兩個一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，二次函數(shù)y=f+治+3的圖像與y軸交于點A,過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B,拋物線

過點且頂點為2連接AC、BC、BD、CD.

(1)填空：h=；

(2)點P是拋物線上一點，點P的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線于點Q.若NCQO=NACB,求點尸

的坐標(biāo)；

(3)點E在直線AC上，點E關(guān)于直線3。對稱的點為尸,點尸關(guān)于直線8C對稱的點為G,連接4G.當(dāng)點

F在x軸上時，直接寫出AG的長.

58

【答案】(1)-4；(2)(3,0)或(一,一)；(3)回

39

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)分點Q在CD上方和點Q在CD下方時，兩種情況,結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理等知識求解；

(3)設(shè)點C關(guān)于BD的對稱點為C;BD中點為點R,直線AC與直線BD交于N，,設(shè)C(p,q),利用點R到點

C和點C的距離相等以及點N，到點C和點C，的距離相等,求出點C的坐標(biāo)，從而得到CN，直線的解析式，從而

求出點F坐標(biāo)，再利用點F和點G關(guān)于直線BC對稱，結(jié)合BC的表達(dá)式可求出點G坐標(biāo)，最后得到AG的長.

【詳解】解：(1):拋物線過點C(1.0),

...將C(1,0)代入y=V+云+3得0=l+b+3,

解得b=4

故答案為：-4；

(2)由(1)可得拋物線解析式為：y=f-4%+3,

當(dāng)x=0時,y=3,

；.A的坐標(biāo)為(0,3),

當(dāng)y=3時得3=x?-4X+3,

解得X|=0,X2=4,

點B的坐標(biāo)為（4,3）,

**'y=x2—4x+3=(x-2)'—1,

頂點D的坐標(biāo)為(2,-1),

設(shè)BD與x軸的交點為M,作CH1AB于H,DG_LCM于G,

根據(jù)勾股定理可得BC=3五,CD=V2,BD=275，

ABD=7BC2+CD2

ZBCD=90°,

tanZCBD=—,

3

???ZACH=ZCBM,

；ZHCB=ZBCM=45°,

JZACH+ZHCB=ZCBM+ZMCB,

即NACB=NCMD,

Q在CD上方時：若NCQD=NAC3,