湖南省婁底市2021年中考數(shù)學(xué)試卷試題真題(含答案解析)

湖南省婁底市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共12題；共24分）

1.2021的倒數(shù)是（）

A2021B.-2021C.表

2021

【答案】C

【考點】有理數(shù)的倒數(shù)

【解析】【解答】A：倒數(shù)是本身的數(shù)是1和-1,選項錯誤.

B：一2021是2021的相反數(shù)，選項錯誤.

C：2021x嘉=1,選項正確.

D：2021x（-^）=-l,選項錯誤.

故答案為：C

【分析】乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)，據(jù)此判斷即可.

2.下列式子正確的是（）

A.a3—a2=aB.（a2）3=a6C.a3-a2=a6D.(a2)3=a5

【答案】B

【考點】同底數(shù)基的乘法，合并同類項法則及應(yīng)用，基的乘方

【解析】【解答】A、a3-a2=a,因為￡和￡不屬于同類項，不能進(jìn)行加減合并，故A錯誤；

232x36

B、（a）=a=a，故B正確；

3235

C、a-a-__a+2=a,故C錯誤；

232x36

D、（a）=a=a,故D錯誤?

故答案為：B.

【分析】根據(jù)合并同類項、基的乘方、同底數(shù)基的乘法分別進(jìn)行計算，然后判斷即可.

3.2021年5月19日，第三屆阿里數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽順利結(jié)束，本屆大賽在全球范圍內(nèi)吸引了約5萬名數(shù)學(xué)

愛好者參加.阿里數(shù)學(xué)競賽旨在全球范圍內(nèi)引領(lǐng)開啟關(guān)注數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、助力數(shù)學(xué)的科學(xué)風(fēng)

尚.5萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.5X10sB.5X104C.50X104D.5X105

【答案】B

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：5萬=50000=5X104.

故答案為：B.

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)

變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；

當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)，據(jù)此解答即可.

4.一組數(shù)據(jù)17,10,5,8,5,15的中位數(shù)和眾數(shù)是（）

A.5,5B.8,5C.9,5D.10,5

【答案】C

【考點】中位數(shù)，眾數(shù)

【解析】【解答】這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：5,5,8,10,15,17,

因此中位數(shù)為：%心=9,眾數(shù)為：5,

故答案為：C.

【分析】中位數(shù)：先把數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┻M(jìn)行排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么最中間的

那個數(shù)據(jù)就是中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么最中間的那兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是中位數(shù)；眾數(shù)：

是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，據(jù)此解答即可.

5.如圖，點E.F在矩形ABCD的對角線BD所在的直線上，BE=DF,則四邊形AECF是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【考點】平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：由題意：

AD//BC,：.ZADB=/CBD,

???ZFDA=NEBC,

又?:AD=BC,BE=DF,

ADF=△CBE（SAS）,

???AF=EC,

???ZAFD=ZCEB,：.AF//EC,

四邊形AECF為平行四邊形，

故答案為：A.

【分析】證明△4DF=△CBE（SAS）,利用全等三角形的性質(zhì)得出AF=ECZAFD=/CEB

利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，可得AFIICE,根據(jù)一組對邊平行且相等可證四邊形AECF為平行四邊形.

6.如圖，AB//CD，點E.F在AC邊上，己知4ED=70°,ZBFC=130,則/B+/D的

度數(shù)為（）

D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【考點】平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角及其性質(zhì)

【解析】【解答】解：取ED.FB的交點為點G，過點G作平行于CD的線MN,如下圖:

根據(jù)題意：/CED=70°,ZBFC=130°,

???/EFG=50°，

???NEGF=180°-50°-70°=60°,

???MN//CD//AB,

???/B=/BGN,ND=/DGN,

:./B+/D=/BGN+/DGN=/BGD,

???ED.BF相交于點G,

???NEGF=/BGD=60°，

:./B+/D=6Q°，

故答案為：C.

【分析】取ED.FB的交點為點G,過點G作平行于CD的線MN,利用鄰補角定義及三角形內(nèi)

角和求出NEGF=60。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ND=NDGN,從而可得

/B+ND=/BGN+/DGN=/BGD,由對頂角相等可得4GF=NBGD=60°,繼而得出結(jié)

論.

7.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機(jī)抽取

一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為（）

113

AqB.-C,-D.1

【答案】B

【考點】軸對稱圖形，中心對稱及中心對稱圖形，概率公式

【解析】【解答】解：r分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，

其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是：矩形，圓；

現(xiàn)從中任意抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為1=1,

故答案為：B.

【分析】由四張形狀、大小相同的卡片中分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大

小相同的卡片中，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是：矩形，圓，然后利用概率公式計算即可.

8.25m是某三角形三邊的長，則7（m-3）2+V（m-7）2等于（）

A.2m—10B.10—2mC.10D.4

【答案】D

【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡，三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：:2,3,m是三角形的三邊，

5—2<m<5+2,

解得：3<m<7,

:.yj(m—3)2+—7)2=m—3+7—m=4,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得3<m<7,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可.

9.如圖，直線y=x+b和y=k%+4與x軸分別相交于點4(-4,0)，點8(2,0),則解

【答案】A

【考點】一次函數(shù)與不等式(組)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：..,直線y=x+b和y=kx+4與x軸分別相交于點4(—4,0)，點8(2,0),

觀察圖象可知或；[]1解集為一4<x<2,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)圖形可得當(dāng)x>-4時，直線y=x+b的圖象在x軸上方，當(dāng)x<2時，直線y=kx+4的圖

象在x軸上方，然后求出x的公共部分即可.

10.如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當(dāng)。A與直線l-.y=-^x只有一個公

共點時，點A的坐標(biāo)為()

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【答案】D

【考點】勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】如下圖所示，連接力B,過B點作BC//OA,

此時B點坐標(biāo)可表示為（x,力），

OC=^\x\,BC=|%|,

在Rt△OBC中，OB=VBC2+0C2=

又半徑為5,

AB=5,

BC“0A,

△AOBOBC，

則”=竺="

BOOCBC

045

???'

0A=13,

左右兩側(cè)都有相切的可能,

A點坐標(biāo)為（±13,0）,

故答案為：D.

【分析】連接AB,過B點作BC//0A,此時B點坐標(biāo)可表示為（/得x）,從而求出OC、BC、

OB,證明△A0B-A0BC,可得*=蕓=冊，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可求出OA,由于左右兩側(cè)都有相切的可

BuOCBC

能，據(jù)此求出點A坐標(biāo).

11.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)、聯(lián)系化學(xué)中的溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)的求法以及生活體驗等，判定下列有關(guān)函數(shù)y=

?（a為常數(shù)且a>0,x>0）的性質(zhì)表述中，正確的是（）

①y隨x的增大而增大；②y隨x的增大而減小；③0<y<1；④0<y<1

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【考點】反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)

Xx+a-aaa

【解析】【解答】解:-------=1--------_雋+1

y=ma+xa+x-

文:a>0,x>0,

??.隨著x的增大，a+x也會隨之增大，

.-.隨著x的增大而減小，

a+x

此時u-越來越小，則1-4-越來越大，

a+xa+x

故隨著X的增大y也越來越大.

因此①正確，②錯誤；

,/a>0,x>0,

/.0<-a-<1,

a+x

0<1----<1,

a+x

故。<y<1,

因此③正確，④錯誤；

綜上所述，A選項符合.

故答案為：A.

【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，將原函數(shù)進(jìn)行變形丁=1一慫,由于。>0*>0，可得隨著x的

增大,越來越小，貝I1一看越來越大，據(jù)此判斷①②；由于a>0,x>0,可得0<工<1,

a+xa+xa+x

即得0<1-*<1,據(jù)此判斷③④.

12.用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)y=x2+2的圖象與反比例函數(shù)y=：的圖象的交點的橫坐標(biāo)

Xo所在的范圍是（）

111133

A.0<x0<-B.-<x0<-C.-<x0<-D.-<x0<1

【答案】D

【考點】反比例函數(shù)的圖象，二次函數(shù)y=ax八2+bx+c的圖象

【解析】【解答】解：在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：

由圖知，顯然|<XO<1，

當(dāng)X。=：時，將其分別代入丫=/+2與丁=：計算得;

此時反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，

3

■--<x0<l

故答案為：D.

【分析】在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行判斷即可.

二、填空題（共6題；共7分）

13.函數(shù)y=五=！中自變量X的取值范圍是.

【答案】x>l

【考點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】根據(jù)題意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案為：X>1.

【分析】因為當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以x-120,解不等式可求x的范圍.

14.如圖所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,痂=40，貝ijC0=.

【答案】100

【考點】弧長的計算

【解析】【解答】解：設(shè)扇形圓心角度數(shù)為n。，

???OA=20,腦=40,

在扇形40B中，AB=2n-OA-,

解得：n=V'

???在扇形COD中，OC=04+40=20+30=50,

360

n

=27r,OC,=27rx50x=100

360360

故答案為：100.

【分析】先求出扇形圓心角度數(shù)料，再求出OC=OA+AC=50,利用弧長公式計算即可.

n

15.如圖，AABC中，AB=AC=2fP是BC上任意一點，PE上AB于點E,PFLAC于點F,若

S"BC=1，則PE+PF=.

【答案】1

【考點】三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接AP，如下圖，

S&ABC=SMPC4-ShAPB=1

11

S“PC+S&APB=2AC.PE

vAB=AC=2，

S△力pc+S“PB=PF+PE=1?

:.PE+PF=1,

故答案是：1.

【分析】連接AP，EIHSAXPC+ShAPB=^AC-PF+^AB-PE^l,KP

16.已知t2-3t+l=0,貝ijt+1=.

【答案】3

【考點】代數(shù)式求值

【解析】【解答】解：1+△=《+[=巴1,

tttt

丈:t2-3t+1=0,

t2+1=3t,

則t+5=±Ll一七=3,

tt-t

故答案為：3.

【分析】先求出t2+l=3t,由t+：,然后代入計算即可.

17.高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行.如

圖，用平行四邊形ABCD表示一個"魚骨"，AB平行于車輛前行方向，BE1AB,ZCBE=a，過B作

AD的垂線，垂足為A'（A點的視覺錯覺點），若sina=0.05,48=300mm，則44'=

mm,

gg

口

【答案】15

【考點】平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示，

「ABLAD且四邊形ABCD為平行四邊形，

A,BLBC-NA'BC=ZABC+'84=90°，

又；BELAB,

/ABE=/ABC+4=90

NABA=>

sinz^/1BA=sina==-0.05>

AB

又；AB=300mm,

AA=AB-sin^ABA=300x0.05=15mm.

故答案為：15.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求出NZBA=/a）由于sin-4BA=sina="—=0,05

AB

即可求出結(jié)論.

18.弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作

lrad.已知a=lrad,￡=60°，貝ija與0的大小關(guān)系是a0.

【答案】<

【考點】角的概念

【解析】【解答】解：根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作

1rad,

當(dāng)0=60°時，易知三角形為等邊三角形，弦長等于半徑，

圓心角所對的弧長比半徑大，

：.a<p，

故答案是：<.

【分析】當(dāng)夕=60°時，易知三角形為等邊三角形，弦長等于半徑，從而求出圓心角所對的弧長比半

徑大，據(jù)此判斷即可.

三、解答題(共8題；共68分)

19.計算：(近百一兀)°+磊+(；)-1-28545°.

【答案】解：(V^I—QO+^+epi-ZcosdS。

=1+,巴%—+2-2X—

(后1)(e-1)2

=1+V2-1+2-V2

=2.

【考點】0指數(shù)幕的運算性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)，分母有理化，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)幕、分母有理化、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可.

20.先化簡，再求值：一若)，其中x是1,2,3中的一個合適的數(shù).

x-1x2-9

【答案】解：一與當(dāng))

x-1xz-9

_%—3「％?—92x-10-1

x-1%+3)(4-3)(X+3)(X-3)J

=-x-3?--X-2---2-X-+-1

x-1(x+3)(x-3)

_x-3(4—1)2

x-1(x+3)(x-3)

_x-1

x+3

％H1,%H+3,

x=2,

原式="?

【考點】利用分式運算化簡求值

【解析】【分析】將括號內(nèi)通分并利用同分母分式減法法則計算，再進(jìn)行乘法運算即可化簡，最后選取一

個使分式有意義的值代入計算即可.

21."讀書，點亮未來"，廣泛的課外閱讀是同學(xué)們搜集和汲取知識的一條重要途徑.學(xué)校圖書館計劃購進(jìn)一

批學(xué)生喜歡的圖書，為了了解學(xué)生們對"A文史類、B科普類、C生活類、D其它”的喜歡程度，隨機(jī)抽取了

部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每個學(xué)生只選其中一類)，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分類統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖

表，請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

統(tǒng)計表:

條形統(tǒng)計圖

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共人；

（2）m=,n=

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

【答案】（1）200

（2）0.25；40

（3）解：補全直方圖如圖所示：

1-

【考點】頻數(shù)（率）分布表，條形統(tǒng)計圖

【解析】【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生有：90^-0.45=200（名），

故答案是：200；

(2)m=50v200=0.25,n=200x0.2=40；

【分析】（1）利用B類頻數(shù)除以其頻率，即得調(diào)查學(xué)生的總數(shù)；

（2）利用A類頻數(shù)除以調(diào)查總?cè)藬?shù)，即得m值；利用調(diào)查總?cè)藬?shù)乘以0.20,即得n值；

（3）利用（2）結(jié)論，直接補圖即可.

22.我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心.當(dāng)天舟二號從地面到達(dá)點A

處時，在P處測得A點的仰角ZDPA為30°且A與P兩點的距離為6千米，它沿鉛垂線上升75秒后

到達(dá)B處，此時在P處測得B點的仰角ZDPB為45°,求天舟二號從A處到B處的平均速度.（結(jié)果

精確到％/s，取遮=1.732,72=1,414）

【答案】解：根據(jù)在P處測得A點的仰角NDP4為30°且A與P兩點的距離為6千米知；

在RtzMDP中，AP=6,ZDPA=30°,

：.AD=^AP=3（千米），

DP=yjAP2-AD2=3V3?3x1.732=5.196，

又由在P處測得B點的仰角/DPB為45°,

???Rt△BDP為等腰直角三角形，

BD=DP,

：.AB=BD-AD=2.196（千米），

???天舟二號從A處到B處的平均速度為：v=^=?29m/s,

答：天舟二號從A處到B處的平均速度為29mls.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【解析】【分析】利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出力。=：力。=3（千米），由勾股定理求出DP的長，

求出△BDP為等腰直角三角形，可得BD=DP,由AB=BD-AD可求出AB的長，由路程+時間=平均速度計

算即得結(jié)論.

23.為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某校舉行“禮贊百年，奮斗有我"演講比賽，準(zhǔn)備購買甲、乙兩種

紀(jì)念品獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生.已知購買1個甲種紀(jì)念品和2個乙種紀(jì)念品共需20元，購買2個甲

種紀(jì)念品和5個乙種紀(jì)念品共需45元.

（1）求購買一個甲種紀(jì)念品和一個乙種紀(jì)念品各需多少元；

（2）若要購買這兩種紀(jì)念品共100個，投入資金不少于766元又不多于800元，問有多少種購買方案？

并求出所花資金的最小值.

【答案】（1）解：設(shè)購進(jìn)甲種紀(jì)念品每個需要x元，乙種紀(jì)念品每個需要y元，

根據(jù)題意得：

解得：。工。；

答：購進(jìn)甲種紀(jì)念品每個需要10元，乙種紀(jì)念品每個需要5元；

（2）解：設(shè)購進(jìn)甲種紀(jì)念品m個，則購進(jìn)乙種紀(jì)念品（100-m）個，所花資金為w元，

w=10m+5（100-Tn）=5m+500,

根據(jù)題意得Y黑黑/柒

解得：53.2<m<60.

■■■m為整數(shù)，

m=54,55、56、57、58、59或60.

，共有7種進(jìn)貨方案；

5>0,

w隨m的增大而增大，

..m=54時,w有最小值，最小值為770元.

【考點】一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用-和差倍分問題

【解析】【分析】（1）設(shè)購進(jìn)甲種紀(jì)念品每個需要X元，乙種紀(jì)念品每個需要y元，根據(jù)"購買1個甲

種紀(jì)念品和2個乙種紀(jì)念品共需20元，購買2個甲種紀(jì)念品和5個乙種紀(jì)念品共需45〃列出方程組，求

解即可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種紀(jì)念品m個，則購進(jìn)乙種紀(jì)念品（100-m）個，所花資金為w元，利用利潤=單件利

潤x數(shù)量，列出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“投入資金不少于766元又不多于800元"求出m的范圍，

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

24.如圖，點A在以BC為直徑的。。上，ZABC的角平分線與AC相交于點E,與。0相交于點

D,延長CA至M,連結(jié)BM，使得MB=ME,過點A作BM的平行線與CD的延長線交于點N.

（1）求證：與。。相切；

（2）試給出AC,AD,CN之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

【答案】（1）證明：如圖所示，

MB=ME,BD是ZABC的角平分線,

/MBE=NMEB，ZABE=NEBC,

又丁BC為直徑，

???ZBAC=90°,

NABE+NMEB=90°

???NEBC+NMBE=90°

即8M與。。相切.

（2）解：:ZABE=ZEBC,

AD=CD,

?'.AD=CD,

??.ZDAC=NDCA,

???2ADC為等腰三角形，

又;NBDC=90°，

???NBDN=90°,

NNJNGD=90°,

又「NNGD=NBGF,且由（1）可得NMBC=90°，NF||BM,

???NNFB=90°,

即NN=NEBC=NABE=NDCA,

???&NAC為等腰三角形，

在△ADC和ANAC中，

/N=ZDAC^ZDCA,

△ADCs△NAC,

ADDCAC

NAACNC

AC2=DC-NC,

又AD=CD,

故：AC2=AD-NC.

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定

義

【解析】【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)，得出"BE="EB,ZABE=

ZEBC，由BC為直徑得出NBAC=90。，利用直角三角形兩銳角互余可得4BE+4EB=90°,從

而可得NEBC+/MBE=90°="BC，根據(jù)切線的判定定理即證；

(2)由4BE=NEBC可得腦=6從而求出4。=CD,繼而可求出△ADC、△NAC為等腰三角形，

證明△/We-AM4c,可得*煞，從而求出AC?=DC-NC,繼而得出結(jié)論.

NAACNC

25.如圖①，從F是等腰RtaZBC的斜邊BC上的兩動點，NEAF=45°,CD1BC且CD=

BE.

圖①圖②

(1)求證：XABE三△4CD；

(2)求證：EF2=BE2+CF2；

(3)如圖②，作AH1BC,垂足為H,設(shè)/EAH=a,ZFAH=/?,不妨設(shè)AB=近，請利用(2)

的結(jié)論證明：當(dāng)a+0=45°時，tan(a+0)=含二:需成立.

【答案】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，

AB=AC,ZBAC=90",

ZABC=ZACB=45",

CD±BC,

ZDCB=90",

ZDCA=900-ZACB=90°-45°=45°=ZABE,

在^ABE和^ACD中，

AB=AC

{ZABE=ZACD,

BE=CD

??.△ABE2△ACD(SAS),

(2)證明：:△ABEM△ACD,

ZBAE=ZCAD,AE=AD,

???ZEAF=45°,

??.ZBAE+ZFAC=90°-ZEAF=90°-45o=45°,

ZFAD=ZFAC+ZCAD=ZFAC+ZBAE=45°=ZEAF,

在4AEF和4ADF中，

AE=AD

{ZEAF=ZDAF，

AF=AF

AEF號△ADF(SAS),

EF=DF,

在RtZkCDF中，根據(jù)勾股定理，

DF2=CD2+CF2,

即EF2=BE2+CF2；

(3)解：將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90。到AACD,連結(jié)FD,

ZBAE=ZCAD,BE=CD,AE=AD,

???△ABC為等腰直角三角形，

ZACB=ZB=ZACD=45°,ZDCF=ZDCA+ZACF=45°+45°=90°,

,-,AB=&,

???AC=AB=五，

在RtAABC中由勾股定理BC=yjAB2+AC2=J(V2)2+(V2)2=2

AH±BC,

BH=CH=AH=-BC=1,

2

EF=EH+FH=AHtana+AHtanP=tana+tan[J,BE=BH-EH=l-tana,CF=CH-HF=l-tan(J,

ZEAF=45°,

ZBAE+ZCAF=90°-ZEAF=45°,

/.ZDAF=ZDAC+ZCAF=ZBAE+ZCAF=45°=ZEAF,

在4AEF和^ADF中，

AE=AD

{ZEAF=ZDAF，

AF=AF

/.△AE碎△ADF(SAS),

EF=DF,

在RtACDF中，DF2=CD2+CF2即EF2=BE2+CF2,

(tana+tan^?)2=(1—tana)2+(1—tan/?)2，

整理得2tana-tan/?=1—2tana+1—2tan￡,

即tana-tan/?=1—tana—tan0,

tana_1_tanjS=1—tana?tan￡，

tana+ta叩

=1-tan45=tan(a+0),

1-tanatan/?

tan%嘰普攝

【考點】勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形，三角形全等的判定(SAS)

【解析】【分析】(1)由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC,NBAC=90。，NABC=NACB=45。，根

據(jù)垂直的定義可得nDCB=90。，從而可求NDCA=900-zACB=45。，根據(jù)SAS可證△ABE^△ACD；

(2)證明△AEF空△ADF(SAS),可得EF=DF,在RtACDF中，根據(jù)勾股定理=CD2+Cp2,據(jù)此

即得結(jié)論；

(3)將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90。到AACD,連結(jié)FD,利用等腰直角三角形及解直角三角形，可求

f±|EF=EH+FH=AHtana+AHtanp=tana+tanp,BE=BH-EH=1-tana,CF=CH-HF=1-tanp,證明

△AEF2△ADF(SAS),