5.3 分式的加減法 教案 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊

．3分式的加減法同分母分式的加減1．了解并掌握同分母分式的加減法則；2．會用同分母分式的加減法則進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算．(重點，難點)一、情境導(dǎo)入大約公元250年前后，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在形容如何將42表示成兩個數(shù)的平方和時，得出了一組答案，這兩個數(shù)都是分母為b，分子比是4∶3的分?jǐn)?shù)．你能根據(jù)這些條件，求出這兩個數(shù)來嗎？二、合作探究探究點一：同分母分式的加減運(yùn)算計算：(1)eq\f(3a－2b,3ab)－eq\f(3a＋3b,3ab)；(2)eq\f(1,a－1)＋eq\f(－a2,a－1)；(3)eq\f(x－2,x－1)－eq\f(2x－3,x－1).解析：根據(jù)同分母分式加減法的法則，把分子相加減，分母不變．注意(1)，(3)兩小題屬于同分母分式的減法運(yùn)算，減式的分子要變號．解：(1)原式＝eq\f(3a－2b－3a－3b,3ab)＝eq\f(－5b,3ab)＝－eq\f(5,3a)；(2)原式＝eq\f(1－a2,a－1)＝eq\f(－（a＋1）（a－1）,a－1)＝－a－1；(3)原式＝eq\f(x－2－2x＋3,x－1)＝eq\f(－x＋1,x－1)＝－1.方法總結(jié)：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，最后結(jié)果要化為最簡分式或整式．探究點二：分式的符號法則計算：(1)eq\f(2x2－3y2,x－y)＋eq\f(x2－2y2,y－x)；(2)eq\f(2a＋3b,b－a)＋eq\f(2b,a－b)－eq\f(3b,b－a).解析：(1)先把第二個分式的分母y－x化為－(x－y)，再把分子相加減，分母不變；(2)先把第二個分式的分母a－b化為－(b－a)，再把分子相加減，分母不變．解：(1)原式＝eq\f(2x2－3y2,x－y)－eq\f(x2－2y2,x－y)＝eq\f(2x2－3y2－（x2－2y2）,x－y)＝eq\f(x2－y2,x－y)＝eq\f(（x＋y）（x－y）,x－y)＝x＋y；(2)原式＝eq\f(2a＋3b,b－a)－eq\f(2b,b－a)－eq\f(3b,b－a)＝eq\f(2a＋3b－2b－3b,b－a)＝eq\f(2a－2b,b－a)＝eq\f(－2（b－a）,b－a)＝－2.方法總結(jié)：分式的分母互為相反數(shù)時，可以把其中一個分母放到帶有負(fù)號的括號內(nèi)，把分母化為完全相同．再根據(jù)同分母分式相加減的法則進(jìn)行運(yùn)算．三、板書設(shè)計1．同分母分式加減法法則：eq\f(f,g)±eq\f(h,g)＝eq\f(f±h,g).2．分式的符號法則：eq\f(f,g)＝eq\f(－f,－g)，eq\f(－f,g)＝eq\f(f,－g)＝－eq\f(f,g).本節(jié)課通過同分母分?jǐn)?shù)的加減法類比得出同分母分式的加減法．易錯點一是符號，二是結(jié)果的化簡．在教學(xué)中，讓學(xué)生參與課堂探究，進(jìn)行自主歸納，并對易錯點加強(qiáng)練習(xí)．從而讓學(xué)生對知識的理解從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識.異分母分式的加減1．學(xué)會確定幾個分式的最簡公分母并進(jìn)行通分；(重點)2．能正確地運(yùn)用分式的加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行混合運(yùn)算．(重點，難點)一、情境導(dǎo)入小學(xué)我們學(xué)習(xí)過異分母分?jǐn)?shù)的加減法，如eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1×2,3×2)＋eq\f(1×3,2×2)＝eq\f(5,6)，那么如何計算eq\f(1,x＋1)－eq\f(2,x－1)呢？二、合作探究探究點一：分式的通分【類型一】最簡公分母分式eq\f(1,x2－3x)與eq\f(2,x2－9)的最簡公分母是________．解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最簡公分母為x(x＋3)(x－3)．方法總結(jié)：最簡公分母的確定：最簡公分母的系數(shù)，取各個分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次冪．“所有字母和式子的最高次冪”是指“凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的冪的因式選取指數(shù)最大的”；當(dāng)分母是多項式時，一般應(yīng)先因式分解．【類型二】分母是單項式分式的通分通分．(1)eq\f(c,bd)，eq\f(ac,2b2)；(2)eq\f(b,2a2c)，eq\f(2a,3bc2)；(3)eq\f(4,5y2z)，eq\f(3,10xy2)，eq\f(5,－2xz2).解析：先確定最簡公分母，找到各個分母應(yīng)當(dāng)乘的單項式，分子也相應(yīng)地乘以這個單項式．解：(1)最簡公分母是2b2d，eq\f(c,bd)＝eq\f(2bc,2b2d)，eq\f(ac,2b2)＝eq\f(acd,2b2d)；(2)最簡公分母是6a2bc2，eq\f(b,2a2c)＝eq\f(3b2c,6a2bc2)，eq\f(2a,3bc2)＝eq\f(4a3,6a2bc2)；(3)最簡公分母是10xy2z2，eq\f(4,5y2z)＝eq\f(8xz,10xy2z2)，eq\f(3,10xy2)＝eq\f(3z2,10xy2z2)，eq\f(5,－2xz2)＝－eq\f(－25y2,10xy2z2).方法總結(jié)：通分時，先確定最簡公分母，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)把各分式的分子、分母同時乘以一個適當(dāng)?shù)恼剑狗帜富癁樽詈喒帜福绢愋腿糠帜甘嵌囗検椒质降耐ǚ滞ǚ郑?1)eq\f(a,2（a＋1）)，eq\f(1,a2－a)；(2)eq\f(2mn,4m2－9)，eq\f(3m,4m2－6m＋9).解析：先把分母因式分解，再確定最簡公分母，然后再通分．解：(1)最簡公分母是2a(a＋1)(a－1)，eq\f(a,2（a＋1）)＝eq\f(a2（a－1）,2a（a＋1）（a－1）)，eq\f(1,a2－a)＝eq\f(2（a＋1）,2a（a＋1）（a－1）)；(2)最簡公分母是(2m＋3)(2m－3)2，eq\f(2mn,4m2－9)＝eq\f(2mn（2m－3）,（2m＋3）（2m－3）2)，eq\f(3m,4m2－6m＋9)＝eq\f(3m（2m＋3）,（2m＋3）（2m－3）2).方法總結(jié)：①確定最簡公分母是通分的關(guān)鍵，通分時，如果分母是多項式，一般應(yīng)先因式分解，再確定最簡公分母；②在確定最簡公分母后，還要確定分子、分母應(yīng)乘的因式，這個因式就是最簡公分母除以原分母的商．探究點二：異分母分式的加減法【類型一】異分母分式的加減法運(yùn)算計算：(1)eq\f(x,x2－4)－eq\f(2,x2＋4x＋4)；(2)eq\f(a2－4,a＋2)＋a＋2；(3)eq\f(m,m－n)－eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2mn,m2－n2).解析：依據(jù)分式的加減法法則，(1)、(3)中先找出最簡公分母分別為(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后運(yùn)用同分母分式加減法法則運(yùn)算；(2)中把后面的加數(shù)a＋2看成分母為1的式子進(jìn)行通分．解：(1)原式＝eq\f(x,（x＋2）（x－2）)－eq\f(2,（x＋2）2)＝eq\f(x（x＋2）,（x＋2）2（x－2）)－eq\f(2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq\f(x（x＋2）－2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq\f(x2＋4,（x＋2）2（x－2）)；(2)原式＝eq\f(a2－4＋（a＋2）2,a＋2)＝eq\f(2a（a＋2）,a＋2)＝2a；(3)原式＝eq\f(m（m＋n）,（m＋n）（m－n）)－eq\f(n（m－n）,（m＋n）（m－n）)＋eq\f(2mn,（m＋n）（m－n）)＝eq\f(m2＋2mn＋n2,（m＋n）（m－n）)＝eq\f(m＋n,m－n).方法總結(jié)：分母是多項式時，應(yīng)先因式分解，目的是為了找最簡公分母以便通分．對于整式與分式的加減運(yùn)算，可以將整式的每一項的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整體看成1，再進(jìn)行通分運(yùn)算．【類型二】分式的混合運(yùn)算計算：(1)(eq\f(x2－4x＋4,x2－4)－eq\f(x,x＋2))÷eq\f(x－1,x＋2)；(2)eq\f(a－5,2a－6)÷(eq\f(16,a－3)－a－3)．解：(1)原式＝[eq\f(（x－2）2,（x－2）（x＋2）)－eq\f(x,x＋2)]÷eq\f(x－1,x＋2)＝(eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(x,x＋2))÷eq\f(x－1,x＋2)＝eq\f(－2,x＋2)·eq\f(x＋2,x－1)＝－eq\f(2,x－1)；(2)原式＝eq\f(a－5,2a－6)÷(eq\f(16,a－3)－eq\f(a2－9,a－3))＝eq\f(a－5,2（a－3）)÷eq\f(（5＋a）（5－a）,a－3)＝eq\f(a－5,2（a－3）)·eq\f(a－3,（5＋a）（5－a）)＝－eq\f(1,10＋2a).方法總結(jié)：對于一般的分式混合運(yùn)算來講，其運(yùn)算順序與整式混合運(yùn)算一樣，是先乘方，再乘除，最后加減，如果遇到括號要先算括號里面的．在此基礎(chǔ)上，有時也應(yīng)該根據(jù)具體問題的特點，靈活應(yīng)變，注意方法．探究點三：分式運(yùn)算的化簡求值【類型一】先化簡，再根據(jù)所給字母的值求分式的值先化簡，再求值：(eq\f(1,x－y)＋eq\f(1,x＋y))÷eq\f(2x,x2＋2xy＋y2)，其中x＝1，y＝－2.解析：化簡時，先把括號內(nèi)通分，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，把多項式因式分解，再約分，最后代值計算．解：原式＝eq\f(2x,（x－y）（x＋y）)·eq\f(（x＋y）2,2x)＝eq\f(x＋y,x－y)，當(dāng)x＝1，y＝－2時，原式＝eq\f(1＋（－2）,1－（－2）)＝－eq\f(1,3).方法總結(jié)：分式的化簡求值，其關(guān)鍵步驟是分式的化簡．要熟悉混合運(yùn)算的計算順序，式子化到最簡再代值計算．【類型二】先化簡，再選擇字母的值求分式的值先化簡，再選擇使原式有意義的數(shù)代入求值：eq\f(2x＋6,x2－4x＋4)·eq\f(x－2,x2＋3x)－eq\f(1,x－2).解析：先把分式化簡，再選數(shù)代入，x可取除－3、0和2以外的任何數(shù)．解：原式＝eq\f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq\f(x－2,x（x＋3）)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(2,x（x－2）)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(2－x,x（x－2）)＝－eq\f(1,x).當(dāng)x＝1時，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何數(shù))方法總結(jié)：取數(shù)代入求值時，要注意所選擇的值一定滿足分式分母不為0，這包括原式及化簡過程中的每一步的分式都有意義．【類型三】整體代入求值已知實數(shù)a滿足a2＋2a－8＝0，求eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)·eq\f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)的值．解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解進(jìn)行約分，然后進(jìn)行減法運(yùn)算，最后整體代值計算．解：eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)·eq\f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,（a＋1）（a－1）)·eq\f(（a－1）2,（a＋1）（a＋3）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a－1,（a＋1）2)＝eq\f(2,（a＋1）2)＝eq\f(2,a2＋2a＋1).∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝eq\f(2,8＋1)＝eq\f(2,9).方法總結(jié)：利用“整體代入”思想化簡求值時，先把要求值的代數(shù)式化簡，然后將已知條件變換成適合所求代數(shù)式的形式，再整體代入即可．探究點四：運(yùn)用分式解決實際問題有一客輪往返于重慶和武漢之間，第一次往返航行時，長江的水流速度為a千米/小時；第二次往返航行時，正遇上長江汛期，水流速度為b千米/小時(b＞a)．已知該船在兩次航行中，靜水速度都為v千米/小時，問該船兩次往返航行所花時間是否相等，若你認(rèn)為相等，請說明理由；若你認(rèn)為不相等，請分別表示出兩次航行所花的時間，并指出哪次時間更短些？解析：重慶和武漢之間的路程一定，可設(shè)其為s，所用時間＝順流時間＋逆流時間，注意順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度，把相關(guān)數(shù)值代入，比較即可．解：設(shè)兩次航行的路程都為s.第一次所用時間為eq\f(s,v＋a)＋eq\f(s,v－a)＝eq\f(2vs,v2－a2)，第二次所用時間為eq\f(s,v＋b)＋eq\f(s,v－b)＝eq\f(2vs,v2－b2)，∵b＞a，∴b2＞a2，∴v2－b2＜v2－a2，∴eq\f(2vs,v2－b2)＞eq\f(2vs,v2－a2).∴第一次的時間要短些．方法總結(jié)：①運(yùn)用分式解決實際問