2022屆優(yōu)質(zhì)校一模數(shù)學(xué)試卷匯編-立體幾何 答案版

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺--教育因你我而變好教育云平臺--教育因你我而變專題9專題9××立體幾何方法點(diǎn)撥方法點(diǎn)撥1．求解幾何體的表面積及體積的技巧（1）求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．（2）求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體易于求解．2．判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法（1）借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷．（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行判斷．3．利用空間向量證明空間垂直、平行的步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系，建系時要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系．（2）建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素．（3）通過空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系．（4）根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．4．三種空間角與空間向量的關(guān)系（1）線線角：設(shè)分別為異面直線的方向向量，則兩異面直線所成的角滿足．（2）線面角：設(shè)是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角滿足．（3）二面角①如圖(Ⅰ)，，是二面角的兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大??；②如圖(Ⅱ)(Ⅲ)，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足．5．利用空間向量求解探索性問題的策略（1）假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論．（2）在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．若由此推導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．6．求空間多面體的外接球半徑的常用方法：（1）補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解．（2）利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑．（3）定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可．試題匯編試題匯編一、選擇題．1．（四川省成都市2021-2022學(xué)年高三一模）在△ABC中，已知AB⊥BC，AB=BC=2．現(xiàn)將△ABC繞邊AC旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是（）A．2π B． C． D．【答案】D【解析】由題知該幾何體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，其中圓錐母線長，圓錐底面半徑，，故選D．2．（安徽省池州市2021屆高三一模）某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形，俯視圖是邊長為2的正方形，則該幾何體的體積等于（）A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，該幾何體是從棱長為2的正方體中截得的，如圖所示，底面是等腰直角三角形的三棱錐，所以該幾何體的體積為，故選D．3．（廣東省佛山市順德區(qū)2022屆高三一模）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．不確定【答案】A【解析】由題可知，正方體的棱長為1，則平面，又，在線段上運(yùn)動，平面，點(diǎn)到直線的距離不變，由正方體的性質(zhì)可知平面，則，而，，故的面積為，又由正方體可知，，，且，平面，則平面，設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，點(diǎn)到平面的距離為，，故選A．4．（多選）（福建省福州市2021屆高三3月份一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB平面MNP的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，由圖可知，，故根據(jù)面面平行的判定定理可知，平面平面，又因平面，所以直線AB平面MNP，故A正確；對于選項(xiàng)B，根據(jù)題意易得，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，可知直線AB平面MNP，故B正確；對于選項(xiàng)C，由題意可知，平面內(nèi)不存在任意一條直線于直線平行，故直線與平面不平行，因此C錯；對于選項(xiàng)D，由圖可知，，故根據(jù)面面平行的判定定理可知，平面平面，又因平面，所以直線AB平面MNP，故D正確，故選ABD．5．（吉林省長春市2022屆高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測（一））給出下列命題：①若的三條邊所在直線分別交平面于三點(diǎn)，則三點(diǎn)共線；②若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線是異面直線；③若三條直線兩兩平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面；④對于三條直線，若，，則．其中所有真命題的序號是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】B【解析】對于①中，若的三條邊所在直線分別交平面于三點(diǎn)，可得且平面，所以三點(diǎn)必在兩平面的交線上，所以三點(diǎn)共線，所以①正確；對于②中，若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線可能相交，平行或異面直線，所以②錯誤；對于③中，若三條直線兩兩平行且分別交直線于三點(diǎn)，由公理3可得這四條直線共面，所以③正確；對于④中，例如：若是過長方體一頂點(diǎn)的三條棱，則滿足若，，此時與相交，所以④錯誤，其中所有真命題的序號是①③，故選B．6．（陜西省渭南市臨渭區(qū)2021屆高三一模）已知是兩條異面直線，直線與都垂直，則下列說法正確的是（）A．若平面，則 B．若平面，則C．存在平面，使得 D．存在平面，使得【答案】C【解析】由a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，知：在A中，若c?平面α，則a與α相交、平行或a?α，故A錯誤；在B中，若c⊥平面α，則a，b與平面α平行或a，b在平面α內(nèi)，故B錯誤；在C中，由線面垂直的性質(zhì)得：存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥α，故C正確；在D中，若存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α，則a∥b，與已知a，b是兩條異面直線矛盾，故D錯誤，故選C．7．（西南名校聯(lián)盟2022屆“333”高考備考診斷性聯(lián)考卷（一））已知是兩個不同平面，是兩條不同直線，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】B【解析】對于①，若，由面面垂直的判定知，①是真命題；對于②，因，令，在平面存在一直線與直線平行，令此直線為，顯然滿足，此時，，即不成立，②是假命題；對于③，當(dāng)與相交時，令，若平面內(nèi)直線滿足，必有，如圖，顯然不成立，③是假命題；對于④，因，過直線的一平面與平面相交，令交線為，如圖，則有，而，必有，于是得，④是真命題，所以，所給的4個命題中正確命題的個數(shù)是2，故選B．8．（吉林省長春市2022屆高三一模）長方體中，，，，則異面直線與成角余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，，四邊形為平行四邊形，，則即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，，故選D．9．（福建省泉州市2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，交于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)E，則，異面直線與所成角即直線與所成角，在中，，，，則，故異面直線與所成角的余弦值為，故選A．10．（四川省成都市2021-2022學(xué)年高三一模）如圖，已知三棱錐A-BCD的截面MNPQ平行于對棱AC，BD，且，其中．有下列命題：①對于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四邊形；②當(dāng)AC⊥BD時，對任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形；③當(dāng)時，截面MNPQ的周長與n無關(guān)；④當(dāng)AC⊥BD，且時，截面MNPQ的面積的最大值為1．其中假命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①因?yàn)榻孛鍹NPQ，平面平面MNPQ平面，所以，同理，所以，同理，所以對于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四邊形，所以該命題正確；②當(dāng)AC⊥BD時，則，所以截面MNPQ是矩形，當(dāng)時，，如果，所以當(dāng)時，，此時對任意的m，都存在，使得截面MNPQ是正方形，所以該命題正確；③當(dāng)m=1時，設(shè)所以，所以截面的周長為，所以截面MNPQ的周長與n無關(guān)，所以該命題正確；④當(dāng)AC⊥BD，且AC=BD=2時，，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以截面MNPQ的面積的最大值為1，所以該命題正確，故選A．11．（多選）（廣東省佛山市順德區(qū)2022屆高三一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)E，F(xiàn)，的平面為，則下列說法正確的是（）A．為等邊三角形B．平面交正方體的截面為五邊形C．在正方體中，存在棱與平面平行D．在正方體中，不存在棱與平面垂直【答案】BD【解析】對A，設(shè)正方體棱長為2，則易得，故不是等邊三角形，故A錯誤；對B，如圖，取中點(diǎn)，易得，取中點(diǎn)，連接，則易得，再取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以是平面與正方體底面的交線，延長，與的延長線交于，連接，交于，則可得五邊形即為平面交正方體的截面，故B正確；對C，因?yàn)椋远疾慌c平行，又，所以都不與平行，因?yàn)?，所以都不與平行，故不存在棱與平面平行，故C錯誤；對D，顯然與不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；所以不存在棱與平面垂直，故D正確，故選BD．12．（山西省懷仁市第一中學(xué)校2021屆高三一模）在矩形ABCD中，BC＝4，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM和△DCM分別沿AM，DM翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P，若∠APD＝150°，則三棱錐M－PAD的外接球的表面積為（）A．12π B．34π C．68π D．126π【答案】C【解析】由題意可知，MP⊥PA，MP⊥PD，且PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，所以MP⊥平面PAD．設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得＝2r，即＝2r，所以r＝4．設(shè)三棱錐M－PAD的外接球的半徑為R，則，即，所以，所以外接球的表面積為，故選C．13．（江西省贛州市2021屆高三3月一模）在三棱錐中，平面，，，．若P，Q分別是，的中點(diǎn)，則平面被三棱錐的外接球所截得的截面面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，知球心O為中點(diǎn)，故球O的直徑，因?yàn)槠矫?，設(shè)球心O到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，由題設(shè)球心O到平面的距離等于點(diǎn)S到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，在三棱錐中，由等體積法得，所以，故截面面積為，故選A．二、填空題．14．（福建省龍巖市2021屆高三一模）正方體的棱長為a，P是正方體表面上的動點(diǎn)，若，則動點(diǎn)P的軌跡長度為________．【答案】【解析】動點(diǎn)P的軌跡是以A為球心，半徑為的球與平面，平面，平面的交線，這三條弧長之和為，故答案為．15．（貴州省遵義市2021屆高三一模）如圖，正方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起形成四棱錐，則下列命題中為真命題的是______．①設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，若，則在折起過程中，四點(diǎn)可能共面；②設(shè)與交于點(diǎn)，則在折起過程中與可能垂直；③四棱錐體積的最大值為．【答案】③【解析】平面即為平面，又，故為異面直線，從而不可能在同一平面內(nèi)，故①錯誤；若與垂直，因?yàn)?，，則平面，而平面，故，而為的中點(diǎn)，故，但，矛盾，故②錯誤；當(dāng)平面平面時，四棱錐體積取得最大，此時過作，交于，設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，故平面，故四棱錐的高為．故在，由，可得，故，故③正確，故答案為③．16．（陜西省2019年渭南市高三一模）已知四面體四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若平面ABC，，且，，則球O的表面積為______．【答案】【解析】由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得圖中四個直角三角形，且PC為△PBC，△PAC的公共斜邊，故球心O為PC的中點(diǎn)，由AC＝1，AB＝PB＝2，PC＝3，∴球O的半徑為，其表面積為9π，故答案為9π．17．（山西省晉中市2021屆高三一模）在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點(diǎn)為球心作一個半徑為的球，則平面截該球的截面面積為________．【答案】【解析】由正棱錐性質(zhì)知：平面，取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，平面，平面，，分別為中點(diǎn)，，又，，平面，，平面，又平面，，又，平面，，平面，則由球的性質(zhì)可知：為平面截球所得截面圓的圓心，設(shè)為該截面圓與的一個交點(diǎn)，連接，，，，，，又，，，，即截面圓的半徑，截面圓的面積，故答案為．18．（安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三一模）在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為_______．【答案】【解析】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，圓柱的外接球半徑為，取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每個點(diǎn)的距離都等于，則為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得．本題中，平面，設(shè)的外接圓為圓，可將三棱錐內(nèi)接于圓柱，如下圖所示：設(shè)的外接圓直徑為，，該三棱錐的外接球直徑為，則．如下圖所示：設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，由，可得，，所以，的最大值為，由正弦定理得，即的最小值為，因此，，所以，三棱錐外接球的表面積為，故三棱錐外接球的表面積的最小值為，故答案為．19．（安徽省池州市2021屆高三一模）如圖，在平面四邊形中，，，，，將沿著折起，使得二面角為直二面角，當(dāng)三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為___________．【答案】【解析】∵二面角為直二面角，且，∴平面，∴當(dāng)三棱錐體積最大時，的面積最大，此時點(diǎn)到的距離取得最大值，此時是等腰三角形，∵，∴，∵，，∴，，∴的外接圓半徑，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，∴，且平面，設(shè)點(diǎn)是的外心，則點(diǎn)在的延長線上，且，∵是等腰三角形，∴，則平面，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為的外心，且，設(shè)三棱錐的外接球的球心為點(diǎn)，連接，連接，∴平面，∴，由，得平面，又平面，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴三棱錐的外接球的半徑，∴該外接球的表面積，故答案為．20．（焦作市2021高三一模）如圖，在棱長均為2的正三棱柱中，點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是側(cè)面、底面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為________．【答案】【解析】是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，∴點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)與平面平行的平面與側(cè)面的交線，即：連接側(cè)棱，中點(diǎn)的線段，是底面內(nèi)的動點(diǎn)，面，∴的軌跡是過與平面垂直的平面與面相交的線段，過作交于，連接，若交面于，連接，易知共面，且面，即∠EDQ為M-BC-A的平面角，如上圖，∴，而，而到的距離，可知，故，∵，即，而，∴，即所在線段過的重心且與平行，由正三棱柱中棱長均為2，故線段的長為，故答案為．三、解答題．21．（四川省成都市2021-2022學(xué)年高三一模）如圖甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC=4，AB=8，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．將沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，且⊥BD，連接，，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點(diǎn)． 圖甲圖乙（1）證明：平面⊥平面DBCE；（2）過B，C，M三點(diǎn)的平面與線段相交于點(diǎn)N，從下列三個條件中選擇一個作為已知條件，求三棱錐的體積．①BM=BE；②直線EM與BC所成角的大小為45°；③三棱錐的體積是三棱錐體積的．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析；（2）條件選擇見解析，．【解析】（1）∵D，E分別為，的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．∵，平面，平面，，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）選①：∵，，∴，∴，∴M為的中點(diǎn)，選②：∵，∴直線與所成角為．又直線與所成角的大小為，∴．∵，∴，∴M為的中點(diǎn)．選③：∵，，，又，即，∴，∴M為的中點(diǎn)．∵過B，C，M三點(diǎn)的平面與線段相交于點(diǎn)N，，平面，∴平面，又平面平面，∴，∴N為的中點(diǎn)．∵，又平面，∴，易知平面，∴，∴三棱錐的體積為．22．（四川省南充市2021-2022學(xué)年高三一模）如圖1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點(diǎn)，將沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中平面平面ABCE．（1）設(shè)F為的中點(diǎn)，若M為線段AB上的一點(diǎn)，滿足．求證：平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖所示：取的中點(diǎn)N，連AN、NF，則，，∵，當(dāng)時，，，是且，所以AMFN是平行四邊形，則．又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示：取AE的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)Q，連接EF，．易知，．因?yàn)?，，所以，平面平面，平面平面AECB，平面，所以平面AECB．設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d，在中，，，所以．在中，因?yàn)?，，所以．由，得，即，解得?3．（福建省龍巖市2021屆高三一模）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等腰直角三角形，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，二面角的大小為120°，設(shè)平面與平面的交線為l．（1）在線段上是否存在點(diǎn)E，使平面?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由；（2）若點(diǎn)Q在l上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．【答案】（1）在線段上存在點(diǎn)E滿足題意，且E為中點(diǎn)；（2）．【解析】（1）在線段上存在點(diǎn)E滿足題意，且E為中點(diǎn)，連接，，，底面為矩形，，又E，F(xiàn)分別是，中點(diǎn)，，，又側(cè)面為等腰直角三角形，，，平面．因?yàn)?，面，面，所以面，又因?yàn)槊妫婷?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以在線段上存在點(diǎn)E滿足平面，且E為中點(diǎn)．（2）以E為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸，EF方向?yàn)閥軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，為二面角的一個平面角，所以，因?yàn)閭?cè)面為等腰直角三角形，，所以，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，得，所以，又因?yàn)?，所以?4．（四川省樂山市高中2022屆三模）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”．在如圖所示的“陽馬”中，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面與平面所成的二面角為，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）設(shè)，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為，，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，于是，即，又已知，而，所以平面．（2）由平面，所以是平面的一個法向量，由（1）知，平面，所以是平面的一個法向量．若面與面所成二面角的大小為，則，解得，所以，故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，．25．（安徽省池州市2021屆高三一模）如圖，在平面上的投影為點(diǎn)，，，、分別為線段、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上的一個點(diǎn)．（1）若平面，求的值；（2）若，，求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)椤⒎謩e為線段、的中點(diǎn)，所以和的交點(diǎn)為的重心，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，所以．?）設(shè)，則，，，由題意可知平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，可得，因?yàn)?，則，因此，二面角的正弦值為．26．（2020屆浙江省寧波市高三一模）已知三棱柱中，、分別是與的中點(diǎn)，為等邊三角形，，．（1）求證：平面；（2）（i）求證：平面；（ii）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）見解析；（ii）．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接MP，則，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以平面，因?yàn)镹、P分別的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故平面，因?yàn)椋矫鍼MN，平面PMN，于是平面平面，又平面PMN，所以平面．（2）（i）不妨設(shè)，則．依題意，故為等腰底邊上的中線，則，于是，因?yàn)椋?，同理，則，又，平面，平面，所以平面．（ii）方法一：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)闉榈冗吶切吻覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫鍭MN，故平面平面．設(shè)，則為平面與平面的交線，過作于點(diǎn)，則平面．又過作于點(diǎn)，則平面，即為二面角的平面角．在中，，，則，在中，，所以，即二面角的正弦值是．方法二：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量，平面的法向量，由，可??；由，可取，于是，所以二面角的正弦值是．27．（福建省泉州市2021屆高三一模）如圖，在四棱錐中，二面角是直二面角，為等腰直角三角形的斜邊，，，，為線段上的動點(diǎn)．（1）當(dāng)時，證明：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接交于，連接，因?yàn)?，，所以為的垂直平分線，則，又因?yàn)?，所以為的中位線，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以?/p>