5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】(2020·上海靜安·高一期末)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).(1)求的值；(2)求這段時間水深(單位：)的最大值.【答案】(1)；(2)這段時間水深的最大值是.【解析】(1)圖知：，因為，所以，解得：.(2).所以，這段時間水深的最大值是.【舉一反三】1．(2020·浙江高一課時練習(xí))設(shè)是某港口水的深度(米)關(guān)于時間(時)的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至?xí)r記錄的時間與水深的關(guān)系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()A．B．C．D．【答案】A【解析】在給定的四個選項中，我們不妨代入及，容易看出最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是選項A，故選A.2．(2020·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)高一月考)海水具有周期現(xiàn)象，某海濱浴場內(nèi)水位y(單位：m)是時間t(，單位：h)的函數(shù)，記作，下面是某天水深的數(shù)據(jù)：t03691215182124y21.511.521.511.52經(jīng)長期觀察，的曲線可近似的滿足函數(shù).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)一個近似表達式；(2)一般情況下，水深超過1.25米該海濱浴場方可開放，另外，當(dāng)水深超過1.75米時，由于安全原因，會被關(guān)閉，那么該海濱浴場在一天內(nèi)的上午7:00到晚上19:00，有多長時間可以開放?【答案】(1)；(2).【解析】(1)，∴，，，過點，∴，則，∴，∴的一個解析式可以為.(2)由題意得：即，，或，解得或，又，解得，又∵∴，所以開放時間共4h.考點二圓周運用【例2】(2020·浙江高一課時練習(xí))如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標系，設(shè)秒針尖位置.若初始位置為，當(dāng)秒針從(注此時)正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關(guān)系為A． B．C． D．【答案】C【解析】時刻，經(jīng)過的圓弧角度為，則以軸正方向為始邊，所在射線為終邊，對應(yīng)的角度為，則對應(yīng)的角度為，由可知在單位圓上，所以時刻的縱坐標，故選C【舉一反三】1．(2020·浙江高一課時練習(xí))一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長)，巨輪的半徑長為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時針旋轉(zhuǎn)且每12分鐘轉(zhuǎn)動一圈．若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】過點作地面平行線，過點作的垂線交于D點．點在上逆時針運動的角速度是，∴分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，設(shè)，當(dāng)時，，，當(dāng)時，上述關(guān)系式也適合．故．2．(2020·株洲市九方中學(xué)月考)隨著機動車數(shù)量的增加，對停車場所的需求越來越大.如圖，ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建一個邊落在BC和CD上的長方形停車場PQCR.(1)設(shè)，試寫出停車場PQCR的面積S與的函數(shù)關(guān)系式；(2)求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值(數(shù)據(jù)精確到個位).(注：當(dāng)時，)【答案】(1)(2)最大值是1322平方米，最小值是950平方米.【解析】(1)∵，延長RP交AB于M，則，，∴..故矩形PQCR的面積為：..(2)令，則.∴.故當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以長方形停車場PQCR面積的最大值是1322平方米，最小值是950平方米.3．(2020·河南宛城·南陽中學(xué)高一月考)如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，點在弧上(異于點)，過點做，垂足分別為，記，