2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何微專題進階課7立體幾何中的動態(tài)問題學(xué)案含解析新人教A版20230519163

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何微專題進階課7立體幾何中的動態(tài)問題學(xué)案含解析新人教A版20230519163 第7章立體幾何立體幾何中的動態(tài)問題立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求軌跡長度及動角的范圍及涉及的知識點，多年來是復(fù)習(xí)的難點．求動點的軌跡(長度)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E為棱CC1的中點，點M在正方形BCC1B1內(nèi)運動，且直線AM∥平面A1DE，則動點M的軌跡長度為()A．eq\f(π,4)B．eq\r(2)C．2D．πB解析：以D為原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，則平面A1DE的一個法向量為n＝(2,1，－2)．設(shè)M(x,2，z)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－2,2，z)．由eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0?x－z＝1，故點M的軌跡為以BC，BB1的中點為端點的線段，長為eq\r(12＋12)＝eq\r(2).故選B.已知邊長為1的正方形ABCD與CDEF所在的平面互相垂直，點P，Q分別是線段BC，DE上的動點(包括端點)PQ＝eq\r(2).設(shè)線段PQ的中點的軌跡為s，則s的長度為()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(\r(2),2)D．2A解析：如圖，以DA，DC，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設(shè)P(m,1,0)(0≤m≤1)，Q(0,0，n)(0≤n≤1)，M(x，y，z)．由中點坐標公式易知x＝eq\f(m,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(n,2)，即m＝2x，n＝2z.①因為|PQ|＝eq\r(m2＋n2＋1)＝eq\r(2)，所以m2＋n2＝1，②把①代入②得，4x2＋4z2＝1.即x2＋z2＝eq\f(1,4).因為0≤m≤1,0≤n≤1，所以0≤x≤eq\f(1,2)，0≤z≤eq\f(1,2).所以PQ中點M的軌跡方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋z2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,2)，0≤z≤\f(1,2)))，,y＝\f(1,2).))軌跡s為在垂直于y軸的平面內(nèi)，半徑為eq\f(1,2)的四分之一圓周．所以s的長度為eq\f(1,4)×2π×eq\f(1,2)＝eq\f(π,4).故選A．求線段的范圍問題在空間直角坐標系Oxyz中，正四面體P-ABC的頂點A，B分別在x軸、y軸上移動．若該正四面體的棱長是2，則|OP|的取值范圍是()A．[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1] B．[1,3]C．[eq\r(3)－1,2] D．[1，eq\r(3)＋1]A解析：如圖所示，若固定正四面體P-ABC的位置，則原點O在以AB為直徑的球面上運動．設(shè)AB的中點為M，則PM＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以原點O到點P的最近距離等于PM減去球M的半徑，最大距離是PM加上球M的半徑，所以eq\r(3)－1≤|OP|≤eq\r(3)＋1，即|OP|的取值范圍是[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]．故選A．設(shè)點M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點，點P在平面BCC1B1所在的平面內(nèi)．若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點P與點C1的最短距離是()A．eq\f(2\r(5),5)B．eq\f(\r(2),2)C．1D．eq\f(\r(6),3)A解析：設(shè)P在平面ABCD上的射影為P′，M在平面BB1C1C上的射影為M′，平面D1PM與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角分別為α，β，則cosα＝eq\f(S△DP′M,Seq\s\do3(△D1PM))，cosβ＝eq\f(Seq\s\do3(△PM′C1),Seq\s\do3(△D1PM)).因為cosα＝cosβ，所以S△DP′M＝Seq\s\do3(△PM′C1)設(shè)P到C1M′距離為d，則eq\f(1,2)×eq\r(5)×d＝eq\f(1,2)×1×2，d＝eq\f(2\r(5),5)，即點P到C1的最短距離為eq\f(2\r(5),5).求角的最值問題如圖，平面ACD⊥α，B為AC的中點，|AC|＝2，∠CBD＝60°，P為α內(nèi)的動點，且點P到直線BD的距離為eq\r(3)，則∠APC的最大值為()A．30°B．60°C．90°D．120°B解析：因為點P到直線BD的距離為eq\r(3)，所以空間中到直線BD的距離為eq\r(3)的點構(gòu)成一個圓柱面，它和平面α相交得一橢圓，即點P在α內(nèi)的軌跡為一個橢圓，B為橢圓的中心，b＝eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2，則c＝1，所以A，C為橢圓的焦點．因為橢圓上的點關(guān)于兩焦點的張角在短軸的端點取得最大值，所以∠APC的最大值為60°.故選B.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，且BM∥平面ACD1，則tan∠DMD1的最大值為()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．2D．eq\r(2)D解析：因為當M在直線A1C1上時，都滿足BM∥平面ACD1，所以tan∠DMD1＝eq\f(DD1,MD1)＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)是最大值．故選D． 立體幾何七多選題命題熱點之立體幾何立體幾何問題中的多選題、主要集中在平面公理、定理、性質(zhì)，涉及位置有關(guān)系的判斷，特別是平行與垂直的處理，以及體積、表面積、夾角等數(shù)量關(guān)系的計算．位置關(guān)系的判斷(多選題)下列命題錯誤的是()A．若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行B．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行ABD解析：選項A中，若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線可能平行、相交或為異面直線，故A選項錯誤；選項B中，若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行、相交或異面，故B選項錯誤；選項C正確；選項D中，若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行或相交，選項D錯誤．熟記平面相關(guān)公理、定理，借助簡單幾何體判斷空間中的位置關(guān)系．(多選題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCDACD解析：在選項A中，取PB的中點O，連接AO，CO.因為四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.因為AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC．因為AC?平面AOC，所以PB⊥AC，故選項A成立．在選項B中，點D位置不確定．故選項B不一定成立．在選項C中，由選項A知，AC⊥PB.因為AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD．因為PD?平面PBD，所以AC⊥PD．故選項C成立．在選項D中，因為AC⊥平面PBD，AC?平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD．故選項D成立．空間中數(shù)量關(guān)系的運算(多選題)三棱錐P-ABC的各頂點都在同一球面上，PC⊥底面ABC．若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，則下列說法正確的是()A．△PAB是鈍角三角形B．此球的表面積等于5πC．BC⊥平面PACD．三棱錐A-PBC的體積為eq\f(\r(3),2)BC解析：在底面△ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，利用余弦定理可得BC＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，又PC⊥底面ABC，則PC⊥AC，PC⊥BC．把三棱錐P-ABC放入長寬高分別為eq\r(3)，1,1的長方體中，如圖所示．所以PA＝eq\r(2)，PB＝AB＝2，所以△PAB是等腰三角形，且頂角小于底角，是銳角三角形．選項A錯誤．三棱錐的外接球也是長方體的外接球，且外接球的直徑是長方體的體對角線，即2R＝eq\r(12＋\r(3)2＋12)＝eq\r(5)，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝5π.選項B正確．又BC⊥AC，BC⊥PC，且AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC．選項C正確．三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),6).選項D錯誤．熟記體積、表面積公式，借助規(guī)則幾何體進行數(shù)量關(guān)系的運算．(多選題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個命題正確的是()A．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于eq\f(π,4)B．點C到平面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),2)C．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,4)D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半徑為eq\f(\r(3),2)ABD解析：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，對于選項A，直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1＝eq\f(π,4).故選項A正確．對于選項B，點C到平面ABC1D1的距離為B1C長度的一半，即h＝eq\f(\r(2),2).故選項B正確．對于選項C，兩條異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,3).故選項C錯誤．對于選項D，三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半徑r＝eq\f(\r(12＋12＋12),2)＝eq\f(\r(3),2).故選項D正確．以立體幾何為背景的向量運算(多選題)在四面體P-ABC中，以下說法中正確的有()A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q為△ABC的重心，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面體P-ABC各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1ABC解析：對于選項A，因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，所以2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).故選項A正確．對于選項B，若Q為△ABC的重心，則eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，所以3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，所以3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→)).故選項B正確．對于選項C，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0.故選項C正確．對于選項D，因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))|.因為|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|＋2|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝22＋22＋22－2×2×2×eq\f(1,2)－2×2×2×eq\f(1,2)＋2×2×2×eq\f(1,2)＝8，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－Peq