定弦定角（隱圓壓軸四）（原卷版）-2023-2024學年九年級數(shù)學上冊《重難點題型-高分突破》（人教版）

專題4.7定弦定角解題技巧：構(gòu)造隱圓定弦定角解決問題的步驟：（1）讓動點動一下，觀察另一個動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡為一段弧。（2）找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角），（這個補角一般為、）（3）找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓，確定圓心位置（4）計算隱形圓的半徑（5）圓心與所求線段上定點的距離可以求出來（6）最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑【典例1】如圖，已知矩形ABCD．（1）如圖①，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝45°的點P的軌跡；（2）如圖②，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝90°的點P的軌跡；（3）如圖③，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝120°的點P的軌跡．【變式1-1】（秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4【變式1-2】如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為．【變式1-3】（廣西模擬）如圖，AC為邊長為的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60°，點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，連接AM和BN，求△APB面積的最大值是（）A． B． C． D．【變式1-4】（宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個動點，D為PB上的一個動點，連接AD，當∠CBP＝∠BAD時，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【變式1-5】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為（）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，點P在射線AM上運動，連BP交△APC的外接圓于D，則AD的最小值為（）A．1 B．2 C． D．4﹣3【變式2-1】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為．【變式2-1】如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【變式2-2】（柳南區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為的等邊△ABC中，動點D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點P，則CP的最小值為．【變式2-3】【問題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對的圓心角∠BOC＝90°，點A在優(yōu)弧BC上運動（點A不與點B、C重合），連結(jié)AB、AC．（1）在點A運動過程中，∠A的度數(shù)是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【問題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點，則線段MN的最大值為．【變式2-4】（灌南縣校級月考）我們在學習圓的知識時，常常碰到題目中明明沒有圓，但解決問題時要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：下面讓我們一起嘗試去解決：（1）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為．（2）如圖，在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動．若AD＝2，則線段CP的最小值是．（3）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為多少？【變式2-5】（2022秋?定海區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D為△ABC內(nèi)一動點，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點，交BC于E點，，則AD的最小值為．【典例3】如圖，⊙O半徑為6，弦AB＝6，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（）A．6 B．9 C．6 D．9【變式3-1】如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（）A． B． C． D．【變式3-2】如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．【變式3-3】問題提出（1）如圖①，已知△ABC為邊長為2的等邊三角形，則△ABC的面積為；問題探究（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面積；問題解決（3）如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角∠AMB＝45°，請你通過所學知識進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．【變式3-4】（1）如圖1，線段AB的長為4，請你作出一個以AB為斜邊且面積最大的直角三角形ABC．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，請你求出四邊形ABCD的面積．問題解決：（3）小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這種材料板的形狀如圖3所示，并且滿足在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，DB＝4，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．【變式3-5】已知直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸下點B（0，b），且a