圓中垂徑定理綜合應(yīng)用（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《重難點(diǎn)題型-高分突破》（人教版）

專題4.1圓中垂徑定理綜合應(yīng)用（3大類題型）【題型1直接運(yùn)用勾股定理求線段】【題型2勾股定理與方程綜合求線段】【題型3垂徑定理在實(shí)際中應(yīng)用】【題型1直接運(yùn)用勾股定理求線段】1．（2023春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故選：C．2．（2023?安徽模擬）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點(diǎn)E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，則OE的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H點(diǎn)，OF⊥CD于F點(diǎn)，連接OB、OC，如圖，則DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四邊形OHEF為正方形，∴OE＝EH＝2．故選：A．3．（2022秋?泉港區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦心距OC＝3，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解答】解：連接OA，∵OC為弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故選：D．4．（2021秋?澄城縣期末）如圖，⊙O中，OD⊥弦AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，OB＝13，AB＝24，則OC的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故選：B．5．（2021秋?新昌縣校級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為4，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點(diǎn)，則BC＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由題意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四邊形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故選：A．6．（2021秋?嘉興期末）如圖，⊙O的直徑AB＝12，弦CD垂直AB于點(diǎn)P．若BP＝2，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】C【解答】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故選：C．7．（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過(guò)M、N，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【答案】D【解答】解：過(guò)A作AB⊥NM于B，連接AM，∵AB過(guò)A，∴MB＝NB，∵半徑為5的⊙A與y軸相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣6），故選：D．【題型2勾股定理與方程綜合求線段】8．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點(diǎn)E．若BE＝10，CD＝8，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【答案】C【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB過(guò)圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半徑長(zhǎng)是5.8，故選：C．9．（2021秋?瑤海區(qū)期末）如圖，在⊙O中，OE⊥弦AB于點(diǎn)E，EO的延長(zhǎng)線交弦AB所對(duì)的優(yōu)弧于點(diǎn)F，若AB＝FE＝8，則⊙O的半徑為（）A．5 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：連接OA，如圖所示：設(shè)⊙O半徑為r，則由題意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于點(diǎn)E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為5．故選：A．10．（2022秋?宜春期末）已知：如圖，⊙O的直徑AC與弦BD（不是直徑）交于點(diǎn)E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】AB的長(zhǎng)．【解答】解：連接OB，OD，則：，∵DE＝EB＝2，即E為BD中點(diǎn)，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，則AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的長(zhǎng)．11．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長(zhǎng)交劣弧AB于點(diǎn)D，連接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面積．【答案】．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，OC過(guò)圓心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面積＝OD?BC＝××2＝．【題型3垂徑定理在實(shí)際中應(yīng)用】12．（2022秋?信都區(qū)校級(jí)期末）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【答案】D【解答】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是米，故選：D．13．（2022秋?龍亭區(qū)校級(jí)期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5，水面寬AB＝8，則截面圓心O到水面的距離OC是（）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC過(guò)圓心O點(diǎn)，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故選：A．14．（2023?武義縣一模）如圖，一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，設(shè)OC是x米，則OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故選：B．15．（2023?浦東新區(qū)模擬）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知EF＝CD＝8cm，則球的半徑長(zhǎng)是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：設(shè)圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，交CB于點(diǎn)M，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，設(shè)OF＝xcm，則OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故選：B．16．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB，點(diǎn)O是弧AB的圓心，C為弧AB上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D．已知AB＝60m，CD＝10m，求這段彎路的半徑．【答案】這段彎路的半徑為50m．【解答】解：連接OB，∵OC⊥AB，∴，設(shè)半徑為r，則OD＝r﹣10，在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，即（r﹣10）2+302＝r2，解得r＝50m，答：這段彎路的半徑為50m．17．（2022秋?郾城區(qū)期中）如圖是一根圓形下水管道的橫截面，管內(nèi)有少量的污水，此時(shí)的水面寬AB為0.6米，污水的最大深度為0.1米．（1）求此下水管橫截面的半徑；（2）隨著污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此時(shí)水面的寬度增加了多少？【答案】（1）下水管半徑為0.5米；（2）水位又被抬升0.7米，水面的寬度增加了0.2米．【解答】解：（1）作半徑OD⊥AB于C，連接OB，則CD＝0.1米，由垂徑定理得：BC＝AB＝0.3米，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴OB2＝（OB﹣0.1）2+0.09，∴BO＝0.5，即下水管半徑為0.5米；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN于H，∴NH＝MH，∵水位又被抬升0.7米，∴OH＝0.1+0.7﹣0.5＝0.3米，∴NH＝＝＝0.4米，∴MN＝0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的寬度增加了0.2米．18．（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于C，延長(zhǎng)DC經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，則BC＝AB＝1.6（米），設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過(guò)O作OH⊥FE于H，則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撐桿EF的高度為0.4米．19．如圖，有一拱橋是圓弧形，它的跨度（所對(duì)弦長(zhǎng)）為60m，拱高18m，當(dāng)水面漲至其跨度只有30m時(shí)，就要采取緊急措施．某次洪水來(lái)到時(shí)，拱頂離水面只有4m，問(wèn)是否需要采取緊急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB＝60米，MP＝18米，OP⊥AB，∴AM＝AB＝30（米），OM＝OP﹣MP＝（x﹣18）米，在Rt△OAM中，由勾股定理得OA2＝AM2+OM2，∴x2＝302+（x﹣18）2，∴x＝34（米）．當(dāng)PN＝4時(shí)，∵PN＝4，OP＝x，∴ON＝34﹣4＝30（米），設(shè)A′N＝y(tǒng)米，在Rt△OA′N中，∵OA′＝34，A′N＝y(tǒng)，ON＝30，∴342＝y(tǒng)2+302，∴y＝16或y＝﹣16（舍去），∴A′N＝16，∴A′B′＝16×2＝32（米）＞30米，∴不需要采取緊急措施．20．如圖，殘缺輪片上弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此殘缺輪片所在圓的圓心（寫(xiě)出找到圓心的方法）；（2）求此圓的半徑．【答案】（1）圓的圓心如圖所示；（2）13．【解答】解：（1）連接AC，作線段AC的垂直平分線交直線CD為O，則點(diǎn)O為此殘缺輪片所在圓的圓心；（2）連接OA，設(shè)此圓的半徑為rcm，則OD＝（r﹣8）cm，∵CD是弦AB的垂直平分線，AB＝24cm，∴AD＝12cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得：r＝13．21．某地有一座圓弧形拱橋，所在圓的圓心為點(diǎn)O，橋下水面寬度AB為7.2m，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交圓弧于點(diǎn)C，CD＝2.4m（如圖）．現(xiàn)有一艘寬3m、船艙頂部高出水面AB2m的貨船要經(jīng)過(guò)這座拱橋，此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋？【答案】此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．【解答】解：如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝rm，則OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船艙頂部為正方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．22．我國(guó)古算書(shū)《九章算術(shù)》中有“圓材埋壁”一題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑（直徑）幾何？”（注：如圖，⊙O表示圓材截面，CE是⊙O的直徑，AB表示“鋸道”，CD表示“鋸深”，1尺＝10寸，求圓材的直徑長(zhǎng)就是求CE的長(zhǎng)．）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：連接OA，如圖所示：∵AB⊥CE，∴AD＝BD，∵AB＝10，∴AD＝5，在Rt△AOE中，∵OA2＝OD2+AD2，∴OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，∴CD＝2A0＝26；即直徑為26寸．23．如圖，半圓拱橋的圓心為O，圓的半徑為5m，一只8m寬的船裝載一集裝箱，箱頂寬6m，離水面AB高3.8m，這條船能過(guò)橋洞嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F，則EF＝DF＝DE，假設(shè)DE＝6m，則DF＝3m，∵圓的半徑為5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴這條船能過(guò)橋洞．24．（2022秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖是一個(gè)半圓形橋洞截面示意