南昌市2021-2022學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知正方體ABC。-4&G。的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在線段上，且B/=2PC,平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,P，G，則正方

2.已知函數(shù)/(x)=lnx,若尸(x)=/(x)-3日2有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

3.數(shù)列｛??｝滿足：4=(，4-4+1=，則數(shù)列｛《4M｝前1()項(xiàng)的和為

UUUU1UUL1---------------------------------

5.在AABC中，點(diǎn)。是線段8c上任意一點(diǎn)，2AM=A￡>，BM=AAB+^iAC,貝!1兀+〃=（）

11,

A.----B?-2C.-D.2

22

6.給出50個(gè)數(shù)1,2,4,7,11,其規(guī)律是：第1個(gè)數(shù)是1,第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)

大2,第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3,以此類推，要計(jì)算這50個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問(wèn)題算法的程序框圖如圖，請(qǐng)?jiān)趫D

中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語(yǔ)句，使之能完成該題算法功能（）

A.i<50；P=P+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；p=p+lD.i<50；P=P+1

7.已知過(guò)點(diǎn)尸（草）且與曲線），=丁相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

22

8.已知雙曲線二一與=1（〃〉0,。>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為⑸，B,若四邊

a~b~2

形444打的內(nèi)切圓面積為18萬(wàn)，則雙曲線焦距的最小值為（）

A.8B.16C.6點(diǎn)D.12-72

9.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，S“為其前〃項(xiàng)和，4+。3-%=3,則S產(chǎn)（）

A.42B.21C.7D.3

10.某高中高三（1）班為了沖刺高考，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書(shū)法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小王，小董,

小李各寫(xiě)了一幅書(shū)法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰(shuí)

寫(xiě)的，班主任對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話，得到回復(fù)如下：

小王說(shuō)：“入班即靜”是我寫(xiě)的；

小董說(shuō)：“天道酬勤”不是小王寫(xiě)的，就是我寫(xiě)的；

小李說(shuō)：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫(xiě)的.

若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的，貝心入班即靜”的書(shū)寫(xiě)者是（）

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

11.（2'—1）（2—2'丫的展開(kāi)式中8,的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.120B.80C.60D.40

12.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具

體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座，每

藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)安排的概率為（）

71131

A.—B.-C.—D.一

606604

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（x）="—er—l,則關(guān)于x的不等式/（2幻+/*+1）＞—2的解集為.

14.在AA5C中，AB=2,B=—,C=-,點(diǎn)P是邊8C的中點(diǎn)，則AC=,APBC=.

46

15.已知（x+1）”的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則及=.

16.設(shè)5"為數(shù)列｛a”｝的前〃項(xiàng)和，若a”〉。，ai=l,且2s”=小（“"+/）,"GN*,則Sio=..

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步躲。

17.（12分）如圖，四棱錐P—A3C。的底面為直角梯形AB〃OC,ZABC=90°,AB=BC=1,CD=2,PCX.

底面ABC。，且PC=BE為C。的中點(diǎn).

（1）證明：BE1.AP；

（2）設(shè)點(diǎn)M是線段即上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AM與直線OP所成的角最小時(shí)，求三棱錐P-COM的體積.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(W-2)-2cos2^+lGy>0)，直線y=6與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為

366

27r.

(I)求①的值；

(H)在AABC中，角A良。所對(duì)的邊分別是“,4c,若點(diǎn)是函數(shù)y=/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且b=5,

求AABC面積的最大值.

19.(12分)某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過(guò)每

天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走

步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,

步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶，得到如下列聯(lián)表：

運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)

男3560

女26

總計(jì)100

(1)(0將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

(?)據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？

(2)將頻率視作概率，從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期

望.

附：

網(wǎng)片“0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

n^ad-bcy

(a+/?)(c+d)(Q+c)(/?+d)

x=m~

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線。的參數(shù)方程為一(團(tuán)為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸正半軸

y=2m

為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin。一夕cos8+1=0.

(I)求直線/的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程;

（D）已知點(diǎn)p（2,l）,設(shè)直線/與曲線c相交于M,N兩點(diǎn)，求血+血的值.

21.（12分）橢圓W：4+4=1（。>人>0）的左、右焦點(diǎn)分別是匕，F(xiàn)2,離心率為且，左、右頂點(diǎn)分別為A，

a~b~2

B.過(guò)工且垂直于x軸的直線被橢圓W截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1,O）的直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C、D（不與點(diǎn)A、8重合），直線CB與直線尤=4相交于

氤M,求證：A、。、加三點(diǎn)共線.

22

22.（10分）已知橢圓C：=+與=1（fl>/>>0）過(guò)點(diǎn)（0,、回），且滿足。+。=30.

ab~

（1）求橢圓。的方程；

（2）若斜率為‘的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)4,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1）,設(shè)直線MA與M3的斜率分別為依，

2

ki,試問(wèn)公+依是否為定值？并說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.

【詳解】

如圖所示：

AP，G確定一個(gè)平面a,

因?yàn)槠矫鍭AtDDi//平面BBg,

所以AQ//PC-同理AP//QG，

所以四邊形APG。是平行四邊形.

即正方體被平面截的截面.

因?yàn)锽F=2PC,

所以GB|=2PC,

即PC=PB=1

所以AP=PC1=y/5,AC,=26

由余弦定理得：cosZAPg=_

所以sinNAPG=平

所以S四母瓶APQG=2xgAPxP&xsinZAPQ=2娓

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于

中檔題.

2.C

【解析】

InY

4,F(x)=f(x)-3kx2=0,可得Z=,要使得產(chǎn)(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即y=z和gQ)=聲有兩個(gè)交點(diǎn)'結(jié)

合已知，即可求得答案.

【詳解】

令F(x)—f(x)-3kx2=0,

-r但1lnX

可得y,

Inx

要使得尸(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即y=%和g(x)=—有兩個(gè)交點(diǎn),

，/、l-21nx

令l-21nx=0,

可得x=Ve,

當(dāng)xe(0,6)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,&')上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(加,+oo)時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(右,+oo)上單調(diào)遞減.

；?當(dāng)X=加時(shí)，g(X)max=g，

6e

二若直線y=女和g(x)="有兩個(gè)交點(diǎn)，貝!)％e[

3xI6eJ

,實(shí)數(shù)k的取值范圍是

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

11c1

分析：通過(guò)對(duì)an-an+i=2ana?+i變形可知--------=2,進(jìn)而可知a?=--,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

%+142n-\

11c

2

詳解：a?-a?+i=2anan+］，,--=,

%+1

1

又；-=5

>92（n-3）=21,即“e，

lz.1f11>

.,?數(shù)列｛a,4+i｝前10項(xiàng)的和為++==￥

故選A.

點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：⑴/WA--M?（2）于4―r=:（屈仄一?）;（3）

n[n+k）k（〃n+kj>Jn+k+V?k''

]_U_j_______]=i島一西島；此外'需注意裂項(xiàng)

（2n-l）（2n+l）2n+\J；⑷n（n+l）（n+2）~2

之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

4.A

【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入，排除掉C,D；再由/（-3<1判斷A選項(xiàng)正確.

【詳解】

/ID=Z^<o,排除掉c,D；

=\[eIny/2'

,.Tn&<ln&=LJe<2>

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題，代入特殊點(diǎn)，采用排除法求解是解決這類問(wèn)題的一種常用方法,

屬于中檔題.

5.A

【解析】

設(shè)阮=k阮,用而，才仁表示出的，求出4〃的值即可得出答案.

【詳解】

設(shè)Bb=kB(j=kA(j—kAa

UULUIUUU

由2AM=AD

.■.BM^-（BA+BD）^--AB+^AC--AB

2V7222

X+〃=—-.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

要計(jì)算這50個(gè)數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語(yǔ)句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語(yǔ)句②.

【詳解】

因?yàn)橛?jì)算這50個(gè)數(shù)的和，循環(huán)變量i的初值為1,所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1,故判斷語(yǔ)句①應(yīng)為i=i+l,第1個(gè)數(shù)是1,第2

個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2,第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3,這樣可以確定語(yǔ)句②為O=P+i,故本題

選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為(x0,yo),則yo=x03,由于直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x。處

的切線斜率，建立關(guān)于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

若直線與曲線切于點(diǎn)(Xo,y0)(x0h0),則k==Xo+x()+1,

Xo—1x0-l

又Ty'=3x?,y[x=Xo=3x02,ax。？一X。一1=0,解得Xo=1,

過(guò)點(diǎn)P(U)與曲線C:y=x;相切的直線方程為3x—y-2=()或3x-4y+l=0,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形A44當(dāng)面積關(guān)系求得C與出;等量

關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得，的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，畫(huà)出幾何關(guān)系如下圖所示：

設(shè)四邊形人用為々的內(nèi)切圓半徑為廣，雙曲線半焦距為c,

所以|42周=A//+廬=c,

四邊形444冬的內(nèi)切圓面積為18萬(wàn),

則18乃=7cr~9解得|0C|=r=3拒，

則四邊形=萬(wàn),

sABM|AA2|-|B1B2|=4X1.|4B,|-|OC|,

即一.2。.2b=4x工?c?3^/2

22

a2+h2

故由基本不等式可得c：abc?,即cz6近，

~342~342~6^2

當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號(hào)成立.

故焦距的最小值為12企.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9.B

【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出明的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出邑的值.

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得。6+%-。5=。4+%-。5=3,

7(4+/)7x2a

F=L-^-A=7x3=21.

722

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)題意，分別假設(shè)一個(gè)正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由題意知，若只有小王的說(shuō)法正確，則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，

而否定小董說(shuō)法后得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；

若只有小董的說(shuō)法正確，則小董對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，

否定小李的說(shuō)法后得出：小李對(duì)應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”，

所以剩下小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，但與小王的錯(cuò)誤的說(shuō)法矛盾；

若小李的說(shuō)法正確，貝!1"細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的，

則否定小董的說(shuō)法得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，

所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.

所以“入班即靜”的書(shū)寫(xiě)者是：小李.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.

11.A

【解析】

化簡(jiǎn)得到（21）（2—2'丫=2A-（2-2'）5-（2-2V）\再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.

【詳解】

（2V-1）（2-2*『=2*?（2-2'）5-（2-2V7

展開(kāi)式中8'的項(xiàng)為2'C；23（—2,）2-C；22（―2'丫=120x8'.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

12.C

【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)的事件個(gè)數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有4種，

進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有4種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有A；種情況，由間接法得到滿足條件

的情況有寓-

當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有3種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有A；種，

由間接法得到滿足條件的情況有8-

共有：8-+&-C：隹A；種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有父種，

6—c；&6+6—CA；A；=13

故滿足條件的事件的概率為:

戊60

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】

解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解

排列組合問(wèn)題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13./（--1,+oo、）

【解析】

判斷g（x）=/（x）+l的奇偶性和單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為g（2x）>3（x>）=g（-x-），運(yùn)用單調(diào)性，可得到所

求解集.

【詳解】

令g（x）=〃x）+l,易知函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，

/（2x）+/（x+l）>-2<=>y（2x）+l+/（x+l）+l>0,

即g（2x）+g（x+l）>0,

???g（2x）>T（x#）=g（r-）

:.2x>—x—l,即x>--

3

故答案為：,+°°^

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.2722

【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出AC,利用三角形的邊表示向量AP，然后利用向量的數(shù)量積求解AP-BC即可.

【詳解】

T[7T

?.?△ABC中，AB=2,B=-,C=±,

46

ACAB

sinBsinC'

可得4c=20

因?yàn)辄c(diǎn)/,是邊BC的中點(diǎn)，

所以/反=1(而+語(yǔ)?配=2(初+碼?(正—而)=,/2_,通2

2222

=-x(272)2--x22=2

22

故答案為：20；2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.10

【解析】

根據(jù)(x+1)”的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，得到C：=C：,再利用組合數(shù)公式求解.

【詳解】

因?yàn)?x+1)”的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

所以c：=C，

n!_n!

即4!(A-4)!6!(z?-6)!

所以(z?-4)-5)=6x5,

即772-9/7-10=0，

解得“=10.

故答案為：10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.55

【解析】

由2q=2S]=4(4+f)求出/=1.由2s“=4(4+1),可得2s兩式相減，可得數(shù)列｛4｝是以1

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即求5°.

【詳解】

由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，=25]=4(4+，)，

?/4=1,「?2=1+1,:.t=1

當(dāng)〃22時(shí)，由2s〃=4(47+1),

可得2sl=a,i(a〃T+l)，

兩式相減，可得2%=an(%+1)-(??.1+1),

整理得(q,+??_))(??-a,-T)=。,

???“”+%>0,a“-%-1=0,

即

二數(shù)列｛q｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

Sl0=10x1+1^x1=55.

故答案為：55.

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列的前〃項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)見(jiàn)解析；(2)述.

9

【解析】

(1)要證明8ELAP,只需證明BE1平面P4c即可；

(2)以C為原點(diǎn)，分別以C/5,C反。戶的方向?yàn)閤軸、)'軸、二軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求

cos<AM,DP>,并求其最大值從而確定出BM=18戶使問(wèn)題得到解決.

【詳解】

(1)連結(jié)AC、AE,由已知，四邊形45CE為正方形，則AC_LBE①，因?yàn)镻C_L底面

ABCD,則②，由①②知8E1平面PAC，所以BELAP.

(2)以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,1,O),8(0,1,0),D(2,0,0),

P（0,0,5/2）,所以麗=（一1,0,0）,麗=（0「1后,。戶=（—2,0,四），設(shè)的=2所,

AMDP

（O<A<1）,則磁=通+麗=（一1,一包"I）,所以cos<AA/,Z）戶

>~\AM\\DP\

V1+3A2-763Vl+322V1+32-丁3廠-6f+4

I1LI1234_

-

M_6+3l(2_3)2+3?所以當(dāng)7=5，即，=§時(shí)，cos<AM,。戶〉取最大值，

zYt241

從而<A而,。戶〉取最小值，即直線AM與直線DP所成的角最小，此時(shí)/l=f-l=g,

則8貶=18戶，因?yàn)?C_LC。，BCLCP,則3CL平面POC,從而M到平面POC的

3

距離力=QBC=—,所以Vp_sw=XW-PC?=-x—x2x^x—=.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的

內(nèi)容較多，計(jì)算量較大，解決此類問(wèn)題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.

18.(I)3；(H)至g

12

【解析】

（1）函數(shù)/（外=5皿華—9）一2以#4+1,利用和差公式和倍角公式，化簡(jiǎn)即可求得；

366

（11）由（1）知函數(shù)/（月=6411。-。），根據(jù)點(diǎn)（段,0）是函數(shù)y=/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，代人可得8,利用余

弦定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

.QX乃、r251

(IT)v/(x)=sin(—-——)-2cos—+1

366

icox

1+cos—

.CDX71COX.7T3

=sin——cos----cos——sin-----2------------+1

36362

V3.cox3coxrza)x兀

=——sin--------cos——=v3sin(———)

232333

???fM的最大值為區(qū)；.f(x)最小正周期為2乃

69=3

(II)由題意及(I)知/(x)=gsin(x—?)，?.?65由(5-()=0=8=示

a2+c2-b2a2+c2-251

,/cosB一,

2ac2ac2

25

—cic—/+/—2522QC—25,cicW—

3

=Lsin八3Y筌

故SgBC

2412

故MBC的面積的最大值為空叵.

12

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查理解辨析能

力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔基礎(chǔ)題.

19.(1)(0填表見(jiàn)解析5)沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)⑴由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，(ii)計(jì)算出K?后可得；

(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為g,4的取值為0,1,2,3,由二項(xiàng)分布

概率公式計(jì)算出各概率得分布列，由期望公式計(jì)算期望.

【詳解】

解⑴(0

非運(yùn)動(dòng)達(dá)

運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)

人

男352560

女142640

總計(jì)4951100

(?)由2x2列聯(lián)表得左=l0°x。5x26-14x25)*?5.229<6.635

60x40x49x51

所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”

2

(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為.

易知…(引―)=。同圖為=0,123

所以自的分布列為

0123

125150408

P

343343343343

~c125,150c40c86

=0x---F1x---F2x---F3x-=--?

3433433433437

【點(diǎn)睛】

2

本題考查列聯(lián)表,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查隨機(jī)變量的概率分布列和期望.屬于中檔題.本題難點(diǎn)在于認(rèn)識(shí)到&-.

4

20.(I)直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y-l=0；曲線C的普通方程為：/=4x；(II)

【解析】

(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；

(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程，可得乙+馬=2&"人=-14,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知

_L+-L=，+-1=匐+咽」4一'2|=]&+幻—4%，代入即可解決.

1PM\PN\|z,|\t2\聞團(tuán)MM

【詳解】

(I)由x=pcos0,y=psin0,

可得直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y-l=0.

由曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)私

可得曲線c的普通方程為/=4%.

x=2+巴

----2----1

(n)易知點(diǎn)p(2』)在直線/上，直線/的參數(shù)方程為＜:(/為參數(shù)).

y=l+旦

2

將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，并整理得產(chǎn)-2萬(wàn)-14=0.

設(shè)，],，2是方程廠—2—14=0的兩根，貝!I有：+，2==—14.

,1,1j,1/|+|胃MT&+力一如

網(wǎng)一WET雨一而一H

J(2何+4x14彳

-14"7

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.

21.(1)—+/=1,(2)見(jiàn)解析

4

【解析】

2h2

(1)根據(jù)已知可得式-=1,結(jié)合離心率和a/,c關(guān)系，即可求出橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程;

a

(2)CD斜率不為零，設(shè)CO的方程為彳=加＞+1,與橢圓方程聯(lián)立，消去x,得到C,?？v坐標(biāo)關(guān)系，求出8c方

程，令x=4求出M坐標(biāo)，要證A、。、"三點(diǎn)共線，只需證*妝-砥M=。，將心分子用C。縱坐標(biāo)表示,

即可證明結(jié)論.

【詳解】

22

(1)由于02=儲(chǔ)一從，將X=-C代入橢圓方程=+[=],

a2b2

得y=±以，由題意知竺?=],即。=2/.

aa

又e=：=B,所以a=2,b=\.

a2

2

所以橢圓卬的方程為三+產(chǎn)=1.

4

(2)解法一:

依題意直線CD斜率不為0,設(shè)8的方程為x=my+1,

x=my+\

聯(lián)立方程X22,消去工得("/+4)j2+2my-3=0,

一+y=1

14-

由題意，得/>0恒成立，設(shè)C(芭，X),。(々,必)，

b,,2m3

所以X+%=——1二，乂％=——f—7

m+4m+4

直線CB的方程為y=」7(%-2).令x=4,得M(4,-幺、).

七一2Xj-2

又因?yàn)锳(—2,0),。(%，必)，

則直線AQ,AM的斜率分別為原「言‘腦二卷.

所以如一端=在)13y2(XI-2)-y,(x2+2)

3(%-2)3(4一2)(々+2)

3

上式中的分子3%(為一2)-y(x2+