復(fù)變函數(shù)課件6-2分式線性映射

復(fù)變函數(shù)課件6-2分式線性映射目錄contents分式線性映射的定義和性質(zhì)分式線性映射的導(dǎo)數(shù)和積分分式線性映射的應(yīng)用分式線性映射的擴(kuò)展和推廣分式線性映射的習(xí)題和解答分式線性映射的定義和性質(zhì)01分式線性映射是復(fù)平面上的一個(gè)變換，由一個(gè)復(fù)數(shù)域上的非零復(fù)數(shù)和復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)通過特定的運(yùn)算規(guī)則構(gòu)成。分式線性映射由形如$f(z)=frac{az+b}{cz+d}$的函數(shù)表示，其中$a,b,c,d$是復(fù)數(shù)，并且$ad-bcneq0$。分式線性映射的定義運(yùn)算規(guī)則定義分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射滿足線性性質(zhì)，即對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)$z_1,z_2$和任意實(shí)數(shù)$k$，有$f(kz_1+z_2)=kf(z_1)+f(z_2)$。連續(xù)性和可微性分式線性映射在復(fù)平面上通常是連續(xù)的，并且在除去有限個(gè)點(diǎn)之外是可微的。保角性分式線性映射保持角度不變，即如果$z_1$和$z_2$之間的角度為$theta$，那么$f(z_1)$和$f(z_2)$之間的角度也為$theta$。線性性質(zhì)平移將復(fù)平面上的點(diǎn)$z$向左或向右平移一個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的分式線性映射為$f(z)=z+1$或$f(z)=z-1$。旋轉(zhuǎn)將復(fù)平面上的點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$theta$角度，對(duì)應(yīng)的分式線性映射為$f(z)=e^{itheta}z$。分式線性映射的例子分式線性映射的導(dǎo)數(shù)和積分02計(jì)算方法分式線性映射的導(dǎo)數(shù)可以通過求極限的方法計(jì)算，具體計(jì)算過程涉及到復(fù)平面上的點(diǎn)、向量、極限等概念。應(yīng)用分式線性映射的導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線和曲面的幾何形狀等方面有重要應(yīng)用。定義分式線性映射的導(dǎo)數(shù)是指在復(fù)平面上的每一點(diǎn)處，該映射對(duì)復(fù)平面上任意一點(diǎn)的變化率。分式線性映射的導(dǎo)數(shù)

分式線性映射的積分定義分式線性映射的積分是指在復(fù)平面上的一條曲線上的積分，表示該映射在曲線上的累積效果。計(jì)算方法分式線性映射的積分可以通過定積分的方法計(jì)算，具體計(jì)算過程涉及到復(fù)平面上的曲線、定積分等概念。應(yīng)用分式線性映射的積分在研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線和曲面的幾何形狀等方面有重要應(yīng)用。分式線性映射的導(dǎo)數(shù)和積分的例子例子1考慮函數(shù)$f(z)=frac{z^2}{z-1}$，求其在點(diǎn)$z=1$處的導(dǎo)數(shù)。例子2考慮函數(shù)$f(z)=frac{1}{z}$，求其在曲線$|z|=1$上的積分。分式線性映射的應(yīng)用03分式線性映射在幾何學(xué)中的應(yīng)用分式線性映射可以用于研究幾何圖形之間的變換關(guān)系，例如平面上的相似變換、仿射變換等。分式線性映射可以幫助理解幾何學(xué)中的一些基本概念，如距離、角度、面積等在變換下的表現(xiàn)形式。在量子力學(xué)中，波函數(shù)通常通過分式線性變換進(jìn)行描述，分式線性映射可以用于理解波函數(shù)的性質(zhì)和行為。在光學(xué)中，分式線性映射可以用于描述光在不同介質(zhì)之間的傳播和變換，例如折射和反射等現(xiàn)象。分式線性映射在物理學(xué)中的應(yīng)用分式線性映射在工程學(xué)中的應(yīng)用在電路分析中，分式線性映射可以用于描述電路中電壓和電流的分布和變化，幫助工程師理解和設(shè)計(jì)電路。在圖像處理中，分式線性映射可以用于圖像的縮放、旋轉(zhuǎn)和平移等操作，實(shí)現(xiàn)圖像的變換和編輯。分式線性映射的擴(kuò)展和推廣0403參數(shù)的擴(kuò)展引入更多的參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的分式線性映射，并提高映射的靈活性和適用性。01定義域的擴(kuò)展將分式線性映射的定義域從有限區(qū)域擴(kuò)展到無限區(qū)域，使其能夠處理更廣泛的函數(shù)。02值的擴(kuò)展將分式線性映射的值域從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，從而能夠處理復(fù)數(shù)函數(shù)的變換。分式線性映射的擴(kuò)展將分式線性映射從二維平面推廣到更高維的空間，以處理更復(fù)雜的幾何變換和函數(shù)變換。推廣到高維空間將分式線性映射的非線性特性進(jìn)一步發(fā)揮，以實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的非線性變換。推廣到非線性映射將分式線性映射離散化，以處理離散數(shù)據(jù)和數(shù)字信號(hào)的變換。推廣到離散化形式分式線性映射的推廣通過擴(kuò)展和推廣分式線性映射，可以實(shí)現(xiàn)圖像的縮放、旋轉(zhuǎn)和平移等幾何變換，以及圖像增強(qiáng)和去噪等處理。分式線性映射在圖像處理中的應(yīng)用在信號(hào)處理中，分式線性映射可以用于實(shí)現(xiàn)信號(hào)的濾波、頻域變換和調(diào)制解調(diào)等處理，以提高信號(hào)的質(zhì)量和傳輸效率。分式線性映射在信號(hào)處理中的應(yīng)用分式線性映射擴(kuò)展和推廣的例子分式線性映射的習(xí)題和解答05題目1設(shè)$f(z)=frac{z^2-1}{z(z-1)}$，求$f(z)$在$z=1$和$z=0$的留數(shù)。題目2設(shè)$f(z)=frac{1}{z^2-4z+3}$，求$f(z)$在$z=2+i$和$z=2-i$的留數(shù)。題目3設(shè)$f(z)=frac{1}{z^2-2z+2}$，求$f(z)$在$z=1+i$和$z=1-i$的留數(shù)。分式線性映射的習(xí)題030201010203解答1對(duì)于題目1，首先化簡(jiǎn)$f(z)=frac{z^2-1}{z(z-1)}=frac{(z+1)(z-1)}{z(z-1)}=frac{z+1}{z}$，然后根據(jù)留數(shù)的定義，得到在$z=1$和$z=0$的留數(shù)分別為0和-1。解答2對(duì)于題目2，首先化簡(jiǎn)$f(z)=frac{1}{z^2-4z+3}=frac{1}{(z-1)(z-3)}=frac{1}{2}left(frac{1}{z-1}-frac{1}{z-3}right)$，然后根據(jù)留數(shù)的定義，得到在$z=2+i$和$z=2-i$的留數(shù)分別為$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$。解答3對(duì)于題目3，首先化簡(jiǎn)$f(z)=frac{1}{z^2-2z+2}=frac{1}{(z-1)^2+1}=frac{1}{2}left(frac{1}{z-1}-frac{1}{z-1+i}right)$，然后根據(jù)留數(shù)的定義，得到在$z=1+i$和$z=1-i$的留數(shù)分別為$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$。分式線性映射的解答VS設(shè)$f(z)=frac{sinz}{z^3}$，求$f(z)$在原點(diǎn)處的留數(shù)。分析首先化簡(jiǎn)$f(z)