小學(xué)五年級奧數(shù)試題行程問題(北大奧數(shù)卷)

小學(xué)五年級奧數(shù)試題：行程問題（北大奧數(shù)卷）在人們的生活中離不開“行”，“行”中有三個重要的量：路程、速度、時間。研究這三個量的典型應(yīng)用題叫做行程問題。這三個量之間的關(guān)系可以用下面的公式來表示：路程=速度×?xí)r間速度=路程÷時間時間=路程÷速度相遇問題和追及問題是行程問題的兩個重要的類型。相遇問題是指兩個物體在行進過程中相向而行，然后在途中某點相遇的行程問題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：總路程=速度和×相遇時間追及問題是指兩個物體在行進過程中同向而行，快行者從后面追上慢行者的行程問題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：路程差=速度差×追及時間例1姐姐放學(xué)回家，以每分鐘80米的速度步行回家，12分鐘后妹妹騎車以每分鐘240米的速度從學(xué)校往家中騎，經(jīng)過幾分鐘妹妹可以追上姐姐？分析：經(jīng)過12分鐘，姐姐到達A地，妹妹騎車回家。如下圖所示：從圖中可以看出妹妹從出發(fā)到追上姐姐這段時間里，妹妹要比姐姐多行的路程就是姐姐12分鐘所走的路程，也就是妹妹與姐姐的路程差。有了路程差，再求出速度差，根據(jù)追及問題的數(shù)量關(guān)系式追及時間=路程差÷速度差就可求出妹妹追上姐姐的時間。解答：妹妹與姐姐的路程差80×12=960（千米）妹妹與姐姐的速度差240-80=160（千米）妹妹追上姐姐的時間960÷160=6（分）答：經(jīng)過6分鐘妹妹追上姐姐。例2一輛公共汽車和一輛小轎車同時從相距360千米的兩地相向而行，公共汽車每小時行35千米，小轎車每小時行55千米，幾小時后兩車相距90千米？分析：兩車從相距360千米的兩地同時出發(fā)相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時刻兩車相距90千米。如下圖這時兩車共行的路程為360－90=270（千米）值得注意的是，當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時刻，兩車再一次相距90千米。如下圖所示從圖中可知，這時兩車共行的路程為360+90=450（千米）根據(jù)相遇問題的數(shù)量關(guān)系式相遇時間=總路程÷速度和所求的問題就可以解答。解答：相遇前（360－90）÷（35+55）=270÷90=3（時）相遇后（360+90）÷（35+55）=450÷90=5（時）答：兩車在出發(fā)后3小時相距90千米，在出發(fā)后5小時再一次相距90千米。說明：本題中兩車沒有相遇，從表面上看雖然不是相遇問題，但是兩車所有的時間是相同的，因此可以當(dāng)做相遇問題來解答。例3兄弟兩人騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)回家。哥哥每小時行15千米，弟弟每小時行10千米。出發(fā)半個小時后哥哥因事返回學(xué)校，到學(xué)校后又耽擱了1小時，然后動身去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時，距學(xué)校多少千米？分析：本題可以分段考慮，從開始一步步分析。出發(fā)半個小時后，哥哥因事返回學(xué)校，在這個過程中哥哥和弟弟各行了1小時，到學(xué)校后哥哥又耽擱了1小時，這時弟弟又行了1小時。因此可以看作當(dāng)哥哥準(zhǔn)備從學(xué)校追弟弟時，弟弟共行了2小時，弟弟2小時所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差，由此可求出追及時間。解答：哥哥從學(xué)校開始追弟弟的路程差10×（0.5×2+1）=20（千米）哥哥追上弟弟的時間20÷（15－10）=4（時）哥哥在追上弟弟時離學(xué)校的距離15×4=60（千米）答：哥哥在追上弟弟時離學(xué)校60千米。例4小張、小明兩人同時從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達對方出發(fā)點后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫圖如下從圖中可知，小張、小明兩人第一次相遇時，共行的路程即是甲、乙兩地之間的距離，這時，小張行了40米。當(dāng)他們第二次相遇時，小張行了甲、乙間距離還多15米，小明行了兩個甲、乙間距離少15米，合起來兩個人共行了甲、乙間距離的3倍。因此小張從出發(fā)到第二次相遇所行的路程應(yīng)是他從出發(fā)到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他從出發(fā)到第二次相遇所行的路程。又知這段路程比甲、乙間距離多15米，甲、乙間距離就可求出了。解答：小張從出發(fā)到第二次相遇所行的路程40×3=120（米）甲、乙間距離120－15=105（米）答：甲、乙兩地相距105米。例5在周長為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車同時同向出發(fā)（順時針）沿圓周行駛，經(jīng)過多長時間，甲第二次追上乙？開始兩車相距多遠，客車在超過貨車前2分鐘，兩車相距的路程是不變的。本題還要注意單位的互化。5．甲乙兩人騎車同時從南北兩地相向而行，甲每小時行23千米，乙每小時行18千米，兩人在距兩地中點10千米處相遇，南北兩地相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫圖如下從圖中可以看出，甲走了南北距離的一半多10千米，乙走了南北距離的一半少10千米。從出發(fā)到相遇，甲比乙多走了兩個10千米。又已知甲每小時比乙多行23－18=5（千米）多少小時后甲就比乙多行20千米？這個時間就是甲乙相遇時間，有了相遇時間，南北兩地的距離就可求出了。解答：甲乙相遇時間10×2÷（23－18）=20÷5=4（時）南北全程（23+18）×4=41×4=164（千米）答：南北兩地相距164千米。說明：本題表面現(xiàn)象是相遇，實質(zhì)上有追及的特點。因此可以按照追及問題來解答。在做題過程中要抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度和，還是考慮速度差，要針對題目中的條件認真思考。千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”。6．小紅和小藍練習(xí)跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒就可追上小藍。若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅6秒鐘追上小藍，小紅、小藍的速度各是多少？分析：小紅讓小藍先跑20米，則20米就是小紅、小藍的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍，5秒就是追及時間，由此可求出他們的速度差。若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅6秒鐘追上小藍，在這個過程中，6秒為追及時間。根據(jù)上一個條件，由速度差和追及時間可求出在這個過程中的路程差。這個路程差即是小藍4秒鐘所行的路程，因此可求出小藍的速度。解答：兩人的速度差20÷5=4（米）小藍的速度6×4÷4=6（米）小紅的速度6+4=10（米）答：小紅每秒跑10米，小藍每秒跑6米。7．甲乙兩站相距360千米，客車與貨車同時從甲站開往乙站?？蛙嚸啃r行60千米，貨車每小時行40千米，客車到達乙站后停留半小時，又以原速返回甲站，兩車相遇的地點離乙站多少千米？分析：由于客車在乙站停留時，貨車仍然行駛，因此可以分段考慮。解答：客車到達乙地的時間360÷60=6（時）客車返回時，貨車已行的路程40×（6+0.5）=260（千米）貨車這時距乙地的路程360－260=100（千米）客車返回與貨車相遇時所用的時間100÷（40+60）=1（時）相遇點離乙地的距離60×1=60（千米）答：相遇時距乙地60千米。8．甲、乙兩人同時從東、西兩地分別出發(fā)，如果兩人同向而行，甲28分鐘追上乙；如果兩人相向而行，8分鐘相遇。已知乙每分鐘行50米，東西兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫圖如下從圖中可以看出甲28－8=20（分）內(nèi)所走的路程與乙28+8=36（分）內(nèi)所走的路程是相同的，又已知乙的速度，因此可求出甲的速度，東西兩地的全程就可求。解答：甲的速度50×（28+8）÷（28－8）=50×36÷20=1800÷20=90（米）東西兩地間距離（90+60）×8=150×8=1200（米）答：東西兩地相距1200米。9．甲乙兩人從相距50千米的兩地同時出發(fā)，相向而行。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，甲帶著一只狗，狗每小時跑12千米，這只狗同甲一道出發(fā)，；碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊跑，碰到甲時又往乙那邊跑，直到兩人相遇，這只狗一共跑了多少千米？分析：對于這道題，讀完以后覺得很復(fù)雜：要求狗一共跑的路程，就要把狗與乙相遇跑的路程，與甲相遇跑的路程，再與乙相遇跑的路程…都求出來，然后再相加，算出結(jié)果。但是，仔細想一想，狗在甲乙兩人之間要跑多少個來回，每次來回所用的時間是多少，這些量求起來很繁瑣。再認真審題，換個角度思考，不難發(fā)現(xiàn)，狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑時間。無論狗在甲、乙兩人之間要跑多少個來回，狗跑的路程所用的總時間等于甲、乙兩人相遇所用的時間。所以要求狗跑的時間，也就是求出甲、乙兩人的相遇時間。因此原問題就轉(zhuǎn)化成求甲、乙兩人相遇時間的問題。解答：甲乙兩人的相遇時間是50÷（4＋6）=5（時）由于甲、乙兩人相遇的時間就是狗來回跑所用的時間，所以狗一共跑的路程為12×5=60（千米）答：這只狗一共跑了60千米。說明：有時在解題過程中會被題目中的情節(jié)或條件所迷惑，因此這時再換個角度思考就會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的感覺。10．甲乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩人在離A地90米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達對方出發(fā)點后立即沿原路返回，途中兩人在距B地70米處第二次相遇。兩人從第一次相遇到第二次相遇恰好經(jīng)過了5分鐘，甲、乙兩人的速度是多少？分析：根據(jù)本講例4分析，先求出A、B間距離，再根據(jù)所給的時間就可求出兩人的速度。解答：A、B間距離90×3－70=270－70=200（米）甲的速度90÷（5÷2）=90÷2.5=36（米）乙的速