矩形、菱形、正方形（講練）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測（浙江專用）

2023耳中考裁君總象引一齡濟(jì)體例（新江專用，

專題22推形、菱形,正方形（鈣位）

矩形的性質(zhì)

矩形的判定

菱形的性質(zhì)

菱形的判定

正方形的性質(zhì)與判定

1.掌握矩形、菱形及正方形的概念，理解矩形、菱形及正方形的性質(zhì)，理解矩形、菱形及正方形邊、角、對

角線的特征；

2.掌握矩形、菱形及正方形的判定方法，理解矩形、菱形、正方形、平行四邊形之間的關(guān)系；

3.會根據(jù)矩形、菱形及正方形的性質(zhì)將特殊四邊形的問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形的問題解決.

一.選擇題（共5小題）

1.（2020?臺州）下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對角線相等；②它是一個(gè)正方形；③它是一個(gè)

矩形.下列推理過程正確的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

【分析】根據(jù)對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形即可判斷.

【解答】解：對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形，

故①一②，①一③錯(cuò)誤，

故選項(xiàng)3,C,。錯(cuò)誤，

故選：A.

2.（2020?湖州）七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，流行于世界各地.由邊長為2的正方形可以制作一副

中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四邊形或矩形,

則這兩個(gè)圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)分別是（）

D.2和2

【分析】根據(jù)要求拼平行四邊形矩形即可.

【解答】解：中國七巧板和II本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)都是2,如圖所示:

用中國的七巧板拼曰本七巧板的拼法

故選：D.

3.（2021?紹興）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形縱向排列放置，可得

到更多的菱形.如圖2,用2個(gè)相同的菱形放置，得到3個(gè)菱形.下面說法正確的是（）

圖1圖2

A.用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到6個(gè)菱形

B.用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形

C.用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到27個(gè)菱形

D.用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到41個(gè)菱形

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，從圖形中找到出現(xiàn)的菱形的個(gè)數(shù)即可.

【解答】解：如圖所示,

用2個(gè)相同的菱形放置,最多能得到3個(gè)菱形;

用3個(gè)相同的菱形放置,最多能得到8個(gè)菱形,

用4個(gè)相同的菱形放置,最多能得到16個(gè)菱形,

用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到47個(gè)菱形.

故選:B.

4.（2022?紹興）如圖，在平行四邊形ABC。中，AO=2AB=2,NABC=60°,E,尸是對角線BO上的動

點(diǎn)，且B￡=QF,M,N分別是邊AO,邊8c上的動點(diǎn).下列四種說法:

①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF；

②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF；

③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；

④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF.

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可.

【解答】解：連接AC,MN,且令A(yù)C,MN,BQ相交于點(diǎn)。，

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

：.OE=OF,

只要0M=0N,那么四邊形例ENF就是平行四邊形，

:點(diǎn)E,F是8Q上的動點(diǎn)，

...存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF,故①正確；

只要MN=EF,0M=0N,則四邊形MENF是矩形，

;點(diǎn)E,尸是8。上的動點(diǎn)，

...存在無數(shù)個(gè)矩形MENF,故②正確；

只要0M=0N,則四邊形MENF是菱形，

,:點(diǎn)E,尸是8。上的動點(diǎn)，

...存在無數(shù)個(gè)菱形MENF,故③正確；

只要MN=EF,MNLEF,0M=0N,則四邊形MEN尸是正方形,

而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；

故選：C.

AZ

5.（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形A8CO

內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFGH的面積

C.尸的面積D.△AEH的面積

【分析】根據(jù)題意設(shè)GH=y,則根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得AP

=x+?先用面積差表示圖中陰影部分的面積，并化簡，再用字母分別表示出圖形四個(gè)選項(xiàng)的面積，可得

出正確的選項(xiàng).

【解答】解；設(shè)PO=x,GH=y,則

.矩形紙片和正方形紙片的周長相等，

J.2AP+2(x-y)=4x,

：.AP=x+y,

:圖中陰影部分的面積=5矩彩ABCO-2AADH-2S"EB

=(2x+y)(2x-y)-2xA?(x-y)(2x+y)-2X_l?(2r-

22

=47-y2-(2x1+xy-2xy-/)-(2X2-xy)

=4--y2-2/+盯+y2-2^+xy

=2xy,

A、正方形紙片的面積=/,故A不符合題意；

B、四邊形EFG”的面積=/，故8不符合題意；

C、△8EF的面積=工,所”。=工1)，，故C符合題意；

22

。、△AEH的面積(x-y)=Axy-Av2,故。不符合題意；

2222

故選：C.

二.解答題(共4小題)

6.(2022?舟山)小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,2。交于點(diǎn)O,ACLBD,OB=

OD.求證：四邊形A8C。是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流.

小惠：小潔：

證明：???ACLB。，OB=OD,這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能

.二AC垂直平分BZ).證明.

：.AB=AD,CB=CD,

四邊形ABC。是菱形.

若贊同小惠的證法，請?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明.

【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進(jìn)行分析推理.

【解答】解：贊成小潔的說法，補(bǔ)充條件：OA=OC,證明如下：

'：OA=OC,OB=OD,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

又：ACJ_8。，

平行四邊形ABC。是菱形.

7.(2019?杭州)如圖，已知正方形ABC。的邊長為1,正方形CEFG的面積為Si,點(diǎn)E在OC邊上，點(diǎn)G

在BC的延長線上，設(shè)以線段4。和。E為鄰邊的矩形的面積為S2,且S=S2.

(1)求線段CE的長；

(2)若點(diǎn)H為2C邊的中點(diǎn)，連接求證：HD=HG.

D

E

BHCG

【分析】(1)設(shè)出正方形CEFG的邊長，然后根據(jù)Si=S2,即可求得線段CE的長；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果可以題目中的條件，可以分別計(jì)算出“。和"G的長，即可證明結(jié)論成立.

【解答】解：(1)設(shè)正方形CEFG的邊長為a,

:正方形ABC。的邊長為1,

：.DE=\-a,

'：S}=S2,

.?.a2=lX(1-a),

解得，aL二叵」(舍去)，a。二叵一工，

al22a222

即線段CE的長是恒」；

22

(2)證明：..?點(diǎn)”為BC邊的中點(diǎn)，8c=1,

：.CH=0.5,

二DW=712+0.52=^y-'

"：CH=0.5,CG=^」，

_22

.?.4G=運(yùn)，

2

：.HD=HG.

8.(2019?寧波)如圖，矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上，頂點(diǎn)F,H在菱形

ABCD的對角線BD上.

(1)求證：BG=DE；

(2)若E為4。中點(diǎn)，F(xiàn)H=2,求菱形ABC。的周長.

D

'H

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到￡77=FG,EH//FG,得到NGFH=NE”F,求得NBFG=NDHE,根

據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO〃8C,得到NG8F=NEQ"，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)連接EG,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO=8C,AD//BC,求得AE=8G,AE//BG,得到四邊形48GE是

平行四邊形，得到A8=EG,于是得到結(jié)論.

【解答】解：(1)???四邊形EFG〃是矩形，

:?EH=FG,EH//FG,

???ZGFH=NEHF,

VZBFG=180°-NGFH,ZDHE=\S00-/EHF,

:?/BFG=ZDHE,

???四邊形A8CD是菱形，

:.AD〃BC,

:"GBF=/EDH,

:./XBGFQ叢DEH(A4S),

:?BG=DE；

(2)連接EG,

???四邊形A8CO是菱形，

:?AD=BC,AD//BC,

???E為40中點(diǎn)，

：.AE=ED,

?:BG=DE,

：.AE=BG,AE//BG,

???四邊形ABGE是平行四邊形，

：?AB=EG,

?：EG=FH=2,

：.AB=2,

9.（2019^紹興）有一塊形狀如圖的五邊形余料ABCDE,4B=AE=6,BC=5,ZA=ZB=90°,NC=135°,

Z￡>90°,要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一條邊在AE上，并使所截矩形材料的面積盡可能

大.

（1）若所截矩形材料的一條邊是8c或AE,求矩形材料的面積.

（2）能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，

說明理由.

【分析】（1）①若所截矩形材料的一條邊是8C,過點(diǎn)C作CELAE于凡得出Si=A8?BC=6X5=30；

②若所截矩形材料的一條邊是4E,過點(diǎn)E作E尸〃A8交CO于尸，尸G_LA8于G,過點(diǎn)C作CHLFG于

H,則四邊形4EFG為矩形，四邊形8C77G為矩形，證出尸為等腰三角形，得出AE=FG=6,HG

=BC=5,BG=CH=FH,求出BG=CH=FH=FG-HG=1,AG=AB-BG=5,得出S2=AE?AG=6X

5=30；

（2）在CD上取點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作FM1AB于M,FNLAE于N,過點(diǎn)C作CG_LFM于G,則四邊形

ANFM為矩形，四邊形8CGM為矩形，證出ACGF為等腰三角形，得出MG=8C=5,BM=CG,FG=

CG,設(shè)4M=x,貝I8M=6-x,FM=GM+FG^GM+CG^BC+BM^11-x,得出S=AMXfM=x（11-

x）=-/+llx,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一條邊是BC,如圖1所示:

過點(diǎn)C作CF_L4E于F,Si=A8?5C=6X5=30；

②若所截矩形材料的一條邊是AE,如圖2所示：

過點(diǎn)石作石尸〃48交CD于R/G_L48于G,過點(diǎn)C作C”J_/G于"，

則四邊形4EFG為矩形，四邊形8CHG為矩形，

VZC=135°,

：.ZFCH=45°,

???△?！?為等腰直角三角形，

:.AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,

：.BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1,

：.AG=AB-BG=6-1=5,

???S2=AE?AG=6X5=30；

(2)能；理由如下：

在CO上取點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作/MJ_A8于M,F7V_L4￡于M過點(diǎn)C作CGJ_EW于G,

則四邊形ANFM為矩形，四邊形6CGM為矩形，

VZC=135°,

：.ZFCG=45°,

???△CGb為等腰直角三角形，

：.MG=BC=5,BM=CG,FG=CG,

設(shè)則8M=67,

???FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,

.\S=AMXFM=x(11-x)=-/+llx=-(x-5.5)2+30.25,

???當(dāng)x=5.5時(shí),BP：AM=5.5時(shí)，尸M=11-5.5=55S的最大值為30.25.

圖3

D

定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

矩形是一個(gè)軸對稱圖形，它至少有恒條對稱軸

對稱性

性質(zhì)

矩形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)

定理(1)矩形的四個(gè)角都是直角

(2)矩形的對角線互相平分且相等

(1)定義法

(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

判定(3)對角線相等的平行四邊形是矩形

(4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

2.菱形:

定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸

對稱性

性質(zhì)

菱形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)

定理(1)菱形的四條邊都相等

(2)菱形的對角線互桓至直，并且每條對角線平分一組對角

(1)定義法

(2)四條邊相等的四邊形是菱形

判定(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

(4)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形菱形面積(4)對角線相

等且互相平分的四邊形是矩形

(1)因?yàn)榱庑问翘厥獾钠叫兴倪呅危粤庑蔚拿娣e=底又高

(2)因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直平分，所以其對角線將菱形分成

菱形面積4_個(gè)全等的直角三角形，所以菱形的面積等于兩條對角線乘積

的一半

3.正方形:

定義有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

(1)正方形的對邊平行且相等

(2)正方形的四條邊都相等

(3)正方形的四個(gè)角都是直角

性質(zhì)(4)正方形的對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線

平分一組對角

(5)正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有

4條,對稱中心是對角線的交點(diǎn)

(1)定義法

(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形

(3)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

判定(4)對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

(5)對角線互相垂直的矩形是正方形

(6)對角線相等的菱形是正方形

(7)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

4.四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系:

+三個(gè)角是直角

+一個(gè)角是直角“矩形+一組鄰邊

+一組對邊士什旦粕T

+兩組對邊分別平行+對角線相等

(或相等)盆形/+一藉邊

四邊形+兩組對角分J乙正方形

別相等

+對.角線,

+對角線互相平分

互相至支I+一個(gè)角是直角

+四條邊都相等

考點(diǎn)一、舜形的植質(zhì)

例7(2022?游仙區(qū)校級二模)在矩形ABCQ中，AB=8,AC=10,點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,

C重合），連接BP,過點(diǎn)P作PEJ_PB交線段0c于點(diǎn)E,設(shè)PC=”AC.

（1）如圖①，求tanNPE。的值（用含〃的代數(shù)式表示）.

（2）如圖②，連接8E,當(dāng)PE平分時(shí)，求”的值.

圖①圖②

【分析】（1）過點(diǎn)尸作8c于點(diǎn)例，所以△CPA/s/\c4B,由四邊形內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角可得NPE/）=

NPBC,即可解答；

（2）易得點(diǎn)尸、E、C、8四點(diǎn)共圓，取8E的中點(diǎn)為圓心0,因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等，所以/PEB

=NPCB,又因?yàn)镻E平分N8ED,所以NPEB=NPED,即NPEO=NPC8,所以tan/PE￡）=tanNPC8

=M=1=1,再結(jié)合（1）可得一/=_1,即可解答.

BC633-3n3

【解答】解：（I）如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M,

:四邊形ABC。為矩形，PE1PB,

/.ZPEC+ZPBC=180o,

又；ZPEC+ZPED=\SO,

:.NPED=NPBC,

；4B=8,AC=10,

BC=6,

'：PM//AB,

:.MCPMs/xCAB,

.PM_CM_CPnCA?PnPMCM

ABCBCACA86

；?PM=8〃,CM=6n,

：.BM=BC-CM=6-6nf

，tanNPED=tanN尸8。=理=-？2-=—

BM6-6n3-3n

（2）如圖，取BE的中點(diǎn)O,連接。尸、OC,

■:NBPE=NBCE=9Q°,

,0C=OB=OE=OP=LBE,

2

點(diǎn)尸、E、C、B四點(diǎn)在。。上，

:./PEB=NPCB,

,:PE氣?分4BED,

二ZPEB=APED,

：.4PED=4PCB,

tanNPE￡）=tan/尸＜78=坐=&=■1,由（1）可得..，=生

BC633-3n3

解得〃=」，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解.

22

故〃的值是上.

2

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?順平縣校級模擬）如圖，關(guān)于四邊形A8CD的4個(gè)結(jié)論正確的是（）

①它兩組對邊分別相等；

②它是矩形；

③它是平行四邊形；

④它有一個(gè)角是直角.

Al------------------------------------\D

-------------------------------'C

A.由①推出③，由③和④推出②

B.由④推出②，由②推出①，由①推出③

C.由②推出④，由④推出①

D.由③推出④，由①和④推出②

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：4、由兩組對邊分別相等可以推出四邊形A8CO是平行四邊形；由四邊形A8CO是平行四

邊形，且四邊形A8C。有一個(gè)角是直角可以推出四邊形A8CQ是矩形，即由①推出③，由③和④推出②，

故此選項(xiàng)符合題意；

B、由四邊形48CO有一個(gè)角是直角推不出其兩組對邊分別相等，由四邊形A8CO能推出其兩組對邊分

別相等，由四邊形A8C。兩組對邊相等可以推出其是平行四邊形，由④推不出②，由②推出①，由①推

出③故此選項(xiàng)不符合題意；

C、由四邊形4BCO是矩形，可以推出它有一個(gè)角是直角，由四邊形ABCO有一個(gè)角是直角不能推出它

的兩組對邊分別相等，即由②推出④，由④推不出①，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、由四邊形ABC。是平行四邊形不能推出它有一個(gè)角是直角，由四邊形ABCQ的兩組對邊分別相等和

它有一個(gè)直角可以推出它是矩形，即由③推不出④，由①和④推出②，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

2.（2022?都安縣校級一模）在矩形A8C。中，過AC的中點(diǎn)。作EFLAC,交BC于E,交AO于F,連接

AE、CF.若AB=M,ZDCF=30°,則Ef的長為（）

AFD

BEC

A.2B.3C.2V3D.V3

【分析】求出NACB=ND4C,然后利用“角角邊”證明△AO尸和△COE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊

相等可得OE=OF,再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形4EC尸是菱形，再求出NECF

=60°,然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF=CF,根據(jù)矩形的

對邊相等可得CO=A8,然后求出CF,從而得解.

【解答】解：?.?四邊形A8CD是矩形

.'.AD//BC,

，ZACB=ZDAC,

是AC的中點(diǎn)，

；.AO=CO,

在△a。f和△COE中，

VACB=ZDAC

<AO=CO，

ZAOF=ZCOE

.?.△40修△COE(ASA),

：.OE=OF,

又?；EF_LAC,

.??四邊形4ECF是菱形,

VZDCF=30°,

：.ZECF^90Q-30°=60°,

...△CEF是等邊三角形，

EF=CF,

VAB=V3,

:.CD=AB=冊,

VZDCF=30°,

CF~在.近=2,

2

：.EF=2.

故選：A.

3.（2022?南召縣四模）如圖，在矩形ABC。中，40=4,A8=2,在上取一點(diǎn)E,使AO=AE,過。作

OF_L4E于F,連接。E.下列結(jié)論不一定正確的是（)

A./\ADF^/\EABB.DE平分匕FDCC.ZAEC=150°D.Z)F=」AF

2

【分析】由"AAS”可證△AOF絲△E4B,可得AB=￡）F=C。，由“HL”可證RtZSOEF絲RtZXQEC,可

得NDEC=NDEF,由銳角三角函數(shù)可求NAEB=30°,可得NAEC=15（）°,即可求解.

【解答】解：???四邊形ABCQ是矩形，

：.AB^CD,AD//BC,ZB=90°,

ZDAE=NAEB,

,：DF1AE,

：.ZB=ZDFA=90°,

在△4。尸和△EAB中，

，ZDAE=ZAEB

-ZAFD=ZB=90°.

AD=AE

:.MADF色XEAB(AAS),

：.AB=DF^CD,

在RtADEF和RtADEC中,

(DE=DE

lDF=DC，

.,.RtADEF^RtADEC(HL),

:.NDEC=ZDEF,

：.DE平分NFQC,

sinZA￡B=-^,=2=2

AE42

NAE8=30°,

/.ZAEC=150°,

故選：D.

4.（2022?榆陽區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCQ邊40上一點(diǎn)，連接BE,CE,點(diǎn)F,G,”分別是BE,

BC,CE的中點(diǎn)，連接AF,GH,若AF=6,則G”的長為（）

E

A.3B.6C.9D.12

【分析】由三角形中位線定理可得由宜角三角形的性質(zhì)可得AF=』8E=GF,即可求解.

22

【解答】解：：G,”分別是8C,CE的中點(diǎn),

GH=^BE,

2

?.?四邊形A8CD是矩形，

：.ZBAD=90°,

:點(diǎn)尸是BE的中點(diǎn)，

：.AF=^BE,

2

:.GH=AF=6,

故選：B.

5.（2022?文登區(qū)一模）如圖，將矩形ABC。折疊，使點(diǎn)。落在AB上點(diǎn)?！?，折痕為AE；再次折疊，使

點(diǎn)C落在上點(diǎn)C'處，連接尸C'并延長交AE于點(diǎn)G.若AB=8,AO=5,則FG長為（）

D

A.5A/2B.V29C.”.D.4

3

【分析】過點(diǎn)G作NG_LAB,GHLED',垂足分別為W、H,由折疊的性質(zhì)可得C'E=5-4=l,在Rt

△EFC'中，設(shè)FC'=x,則所=3-x,由勾股定理得：『+（3-x）2=/,解得：尸區(qū),再證明△BC'

3

GH,設(shè)C'H=3m,則GH=4m,C'G=5m,則HD=NG=AG=4-3m,ND'=5-（4-3m）

=l+3m=GH—4m,可得到C'G=5m=5,從而解決問題

【解答】過點(diǎn)N作NGLAB,GH1ED,,垂足分別為GMH,

D

由折疊得：AO'EO是正方形，AD=DE=ED'=AD'=5,

BC=BC=5,4c=NBC'尸=90°,FC=FC,

：.D'B=EC=S-5=3,

在RtZ\C'B。'中,C1O'=4,

：.CE=5-4=l,

在RtZ\E/C‘中，設(shè)FC'=x,則"=3-x,由勾股定理得：

12+（3-x）2=/,

解得：x——,

3

VZBCD'+ZGCH=90°,ZGCH+ZC1GH=90°,

：.ZBCD=NC'DH,

又'：4GHC=ZBD'C=90°,

：./\BCD'^^CGH,

：.CH：GH-.CG=BD'：CO'：BC=3：4：5,

設(shè)CH=3m,則GH=4m,C1G=5m,

：.HD'=NG=AG=4-3m,ND'=5-（4-3w）=l+3m=NH=4m,

解得：，"=1,

：.CG=5,〃=5,

:.FG=21,

3

故選：C.

6.（2022?寧?？h校級模擬）將矩形ABC。和矩形CEFG分割成5塊圖形（如圖中①②③④⑤），并把這5

塊圖形重新組合，恰好拼成矩形BEHM若AM=1,DE=4,EF=3,那么矩形BEHN的面積為（）

【分析】先由M4=EF=3,AM=1求得C8=MN=4,則/B=C8=4,可以證明△B〃gZ\8CE,得〃=

CE,而/A=CE,則A8=4+CE,再證明根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出CE的長,

即可求出AB的長，再由S正%BEHN=SKKABCD+S地形CEFG求出矩形BEHN的面積即可.

【解答】解：,:NA=EF=3,4M=1,

CB=MN=NA+AM=4,

'：IB=DE=4,

：.1B=CB,

四邊形ABC。、四邊形四邊形CEFG都是矩形，

:.NEBN=NABC=9N,

4JBI=NEBC=90°-ZABE,

?:NBJJ=ZD=90°,/BCE=90°,

：.ZBIJ=ZBCE,

在和△3CE中，

，ZBIJ=ZBCE

-IB=CB，

Z.TBI=ZEBC

:.△BIJ絲/\BCE(ASA),

：.1J=CE,

'：IA=CE,

：.AB=IB+IA=4+CE,

'：IJ//AN,

:.叢BlJs^BAN,

"NAAB'

?CE=4

"~34KE'

；.CE=2或CE=-6(不符合題意，舍去)，

?"8=4+4=8,

.'.5矩形BEHN=S矩形A8co+S矩形CE尸G=8X3+3X2=30,

J矩形的面積為30,

故選：C.

7.(2023?市南區(qū)一模)己知：如圖，在矩形48。中，E是邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作對角線AC的平行線,

交48于凡交D4和DC的延長線于點(diǎn)G,H.

(1)求證：△AFG之△C7/E；

(2)若/G=NBAC,則四邊形ABC。是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)根據(jù)SAS可以證明兩三角形全等；

(2)先根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知可得/BAC=45°,所以△ABC是等腰直角三角形，所以AB=BC,可

得結(jié)論.

【解答】證明：(1)???四邊形A8CZ)是矩形，

：.AD//BC,AB//CD,ZBAD=ZBCD=90°

.?./GA8=NB=N8CH,

"：AD//BC,EF//AC,

四邊形AGEC是平行四邊形，

：.AG^EC,

,JAB//CD,EF//AC

???四邊形AFHC是平行四邊形，

：.AF=CH,

:.l\AFG沿XCHE(SAS).

(2)四邊形ABC。是正方形

理由：'：EF//AC,

：.ZG=ZCAD,

.\ZBAC=ZCAD,

"：ZBAD=90°,

.?.N3AC=45°,

,.?N8=90°,

：.ZBAC=ZACB=45<,,

：.BA^BC,

矩形ABC。是正方形.

8.(2022?香洲區(qū)校級三模)如圖，在矩形ABCD中，48=12,點(diǎn)E是A。邊上一點(diǎn)，ZBEC=90°,延長

CE至點(diǎn)F,使CF=CB,FG〃BE交AB于息G,連接CG,交BE于點(diǎn)H.

(1)求證：△BGH是等腰三角形；

(2)若點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，AD=2AB,求tan/BCG的值.

【分析】(1)證明Rt^CFG經(jīng)RtZXBCG(HL),可得NCGF=NCGB,進(jìn)而可以解決問題；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得8E=12&和CE=12&,設(shè)8G="，證明△(7尸Gs/\CE”，進(jìn)

而可以解決問題.

【解答】(1)證明："：FG//BE,/8EC=90°,

.,.ZGFC=900=ZGBC,NBHG=NCGF,

在RtACFG和RtZ\BCG中,

[CG=CG,

lCF=BC，

ARtACFG^RtABCG(HL),

：.ZCGF^ZCGB,

:.NCGB=NBHG,

是等腰三角形：

(2)解：...四邊形ABC。是矩形，且AB=12,

：.BC^AD=2AB=24,

；E為AD中點(diǎn)，

：.AE=DE=\2,

在中，根據(jù)勾股定理得：

"：BE1=AB2+AE1,

:.BE=\2近,

同理，CE=12點(diǎn),

設(shè)BG=a,

VRtACFG^RtA^CG,且△8G”是等腰三角形，

：.FG=BG=BH=afCF=BC=24,

:.EH=12?-a,

'：ZCFG=ZCEH,ZGFC=ZHEC,

:.ACFGSACEH,

：.CF：CE=GF：HE,

.??a=24&-24,

AtanZBCG=BG：BC=42'1.

考點(diǎn)二、舞形的利煲

州2(2022?東昌府區(qū)二模)如圖所示，在固4BC。中，E,尸分別為邊AB,DC的中點(diǎn)，連接E。，EC,EF,

作CG"DE,交EF的延長線于點(diǎn)G,連接。G.

(1)求證：四邊形DECG是平行四邊形；

(2)當(dāng)即平分NAOC時(shí)，求證：四邊形OECG是矩形.

【分析】(1)首先證明ADEFmACGF可得DE=CG,再加上條件CG〃DE,可以根據(jù)一組對邊平行且

相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形DECG是平行四邊形.

(2)首先證明/￡>EF=/EZ)F,NFEC=NECF,再證明/E￡>C+/OCE+NOEC=180°,從而得到2N

DEC=180°進(jìn)而得到/￡>EC=90°,再有條件四邊形OECG是平行四邊形，

可得四邊形DECG是矩形.

【解答】(1)證明：:尸是邊8的中點(diǎn)，

：.DF=CF.

,JCG//DE,

NDEF=NCGF.

又,：NDFE=4CFG,

：ADEF9叢CGF(A4S),

：.DE=CG,

又?：CGHDE,

：.四邊形DECG是平行四邊形.

(2)證明：：后八平分乙位)。，

ZADE^ZFDE.

■:E、尸分別為邊45、OC的中點(diǎn)，

J.EF//AD.

ZADE^ADEF.

：.NDEF=NEDF,

：.EF=DF=CF.

NFEC=ZECF,

：.ZEDC+ZDCE=ADEC.

VZ￡DC+ZDC￡+ZD￡C=180°,

A2ZDEC=180°.

/.Z￡)￡C=90°,

又?；四邊形DECG是平行四邊形,

四邊形OECG是矩形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?宜興市校級二模）添加下列一個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD成為矩形的是（）

A.AB=CDB.AC±BDC.ZBAD=90°D.AB^BC

【分析】由矩形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：???有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，

...當(dāng)N3AZ）=90°,平行四邊形A8CD是矩形，

故選：C.

2.（2022?路南區(qū)三模）問題背景：如圖，AO是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形.討論交流:

小明說：“若AB=AC,則四邊形ADCE是矩形

小強(qiáng)說：“若NBAC=90°,則四邊形AOCE是菱形

下列說法中正確的是（）

C.小明和小強(qiáng)都對D.小明和小強(qiáng)都不對

【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判斷.

【解答】解：若AB=AC,是△A8C的中線，

：.AD±BC,

，平行四邊形AQCE是矩形，

若/8AC=90。，AO是△ABC的中線，

：.AD=CD,

???平行四邊形是菱形，

故小明和小強(qiáng)的說法都對,

故選：C.

3.（2022?保定二模）如圖（1）EL4BC。的對角線交于點(diǎn)。，E尸過點(diǎn)。且分別交AD,BC于點(diǎn)E,F在BD

上找點(diǎn)G,H（點(diǎn)G在點(diǎn)//下方），使以點(diǎn)E,F,G,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.下面給出了兩種方案:

方案1：如圖（2）,以點(diǎn)。為圓心，0E長為半徑作圓，分別交。8、0。于點(diǎn)G、H；

方案2：如圖（3）分別過點(diǎn)EF作AC的平行線，分別交2。于點(diǎn)”、G.

關(guān)于這兩種方案，下列說法正確的是（）

圖⑴

A.方案1,2都正確B.方案1錯(cuò)誤，方案2正確

C.方案1正確，方案2錯(cuò)誤D.方案1,2都不正確

【分析】方案1：證明△AE。絲△CFO（AAS）,可得E0=F0,所以O(shè)E=OG=OH=OF,進(jìn)而可以進(jìn)行

判斷;

方案2：證明△Z/E0烏△GF。（AS4）,可得0H=0G,所以四邊形EGFH是平行四邊形，進(jìn)而可以進(jìn)行

判斷.

【解答】解：方案1：：以。為圓心，0E為半徑作圓，與8。交于G,H,

：.0E=0G=0H,

?..四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AO=CO,B0=D0,AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO,

在△AEO和△CFO中，

，ZAEO=ZCFO

-ZAOE=ZCOF)

AO=CO

AAAEO^ACFO(AAS),

：.EO=FO,

：.OE=OG=OH=OF,

，四邊形EGFH是矩形，故方案1正確；

方案2：分別過E,尸作AC的平行線，與8。交于G,H.

.".EH//GF,

：.ZHEO=ZGFO,

在和△GF。中，

rZHEO=ZGFO

,OE=OF，

ZHOE=ZGOF

:.△HEO坦AGFO（月SA）,

：.OH=OG,

：.四邊形EGFH是平行四邊形，故方案2錯(cuò)誤.

故選：C.

4.（2022?大武口區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形A8CQ中，E、F分別是邊AB、DC上的點(diǎn)，且AE=CF,Z

DEB=90°.

求證：（1）AADE^ACBF；

（2）四邊形OEB尸是矩形.

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)SAS即可證明.

（2）首先證明四邊形OE8廠是矩形，由NOE8=90°,即可推出四邊形OEBF是矩形.

【解答】證明：（1）?..四邊形ABCQ是平行四邊形，

：.AD=CB,/A=/C,

在△AQE和△CB尸中，

'AD=CB

<ZA=ZC-

AE=CF

：.4ADE冬ACBF（SAS）：

（2），?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

'：AE=CF,

：.BE=DF,

：.四邊形DEBF是平行四邊形，

VZDEB=90°,

...四邊形。EBF是矩形.

5.（2022?伊寧市模擬）如圖，在△ABC中，NB=NACB,AE是邊上的中線.

（1）求證：AEA.BC

（2）過點(diǎn)A作AO〃BC,且連接CO.求證：四邊形AECD是矩形.

AD

E

【分析】（1）先證AB=AC,再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）先證四邊形AECO是平行四邊形，再證NAEC=90°,然后由矩形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】證明：（1）VZACB,

：.AB=AC,

是BC邊上的中線，

.,.4E1BC；

（2）是BC邊上的中線，

:.BE=CE,AD//BC,且AD=BE,

：.AD//CE,AD^CE,

二四邊形AECD是平行四邊形，

由（1）可知，AE±BC,

.?./AEC=90°,

二平行四邊形AECO是矩形.

6.（2022?膠州市二模）如圖，在平行四邊形ABCQ中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,直線GH經(jīng)過點(diǎn)O,

分別與84、OC的延長線交于點(diǎn)G、H,與AZ）、CB交于點(diǎn)E、F.

（1）求證：ZX80G絲△OOH.

（2）連接A4、CG,若GH=GD,當(dāng)點(diǎn)C位于。”的什么位置時(shí)，四邊形A”CG是矩形？請說明理由.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)證出BO=OQ,AB//CD.由全等三角形的判定可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出AG=CH,證明四邊形AHCG是平行四邊形，由等腰三角形的性質(zhì)證出N

GCH=90°,則可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形A8CQ是平行四邊形，

：.BO=OD,AB//CD.

：.4G=4H.

在aBOG與△30,中，

，ZBOG=ZDOH

'NG=NH,

OB=OD

:.ABOG沿△DOH(AAS)；

(2)解：當(dāng)C為。，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形A”CG是矩形.

理由：＜△BOGQADOH,

：.BG=DH,

'：AB=CD,

：.AG=CH,

又,：AGHCH,

：.四邊形AHCG是平行四邊形,

,:GH=GD,C為。，的中點(diǎn)，

/?GCLCD,

NGC”=90°,

，四邊形AHCG是矩形.

7.(2022?祥云縣模擬)如圖，在平行四邊形A8C。中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別為08,

。。的中點(diǎn)，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：△ABEqACDF；

(2)當(dāng)AC=2AB時(shí)，四邊形EGCF是矩形.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出A8=CO,AB//CD,OB=OD,OA=OC,由平行線的性質(zhì)得出

NABE=NCDF,證HlBE=DF,由SAS證明△ABE絲△CDF即可；

(2)證出A8=0A,由等腰三角形的性質(zhì)得出4GLO8,NOEG=90°,同理：C凡LOD,得出EG〃CF,

由三角形中位線定理得出OE〃CG,EF//CG,得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)I?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB^CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,

/ABE=NCDF,

?.?點(diǎn)E,F分別為OB,0。的中點(diǎn)，

：.BE=^OB,DF^^OD,

22

：.BE=DF,

在△ABE和△CDF中，

'AB=CD

,NABE=NCDF，

BE=DF

AAABE^ACDF(SAS)；

(2)證明：TAC=20A,AC-2AS,

：.AB=OA,

是。8的中點(diǎn)，

：.AGA.OB,

：.ZOEG=90°,

同理：CF_LO。，

：.AG//CF,

：.EG//CF,

9

：EG=AEfOA=OC,

???OE是△ACG的中位線，

???OE//CG,

:.EF〃CG,

，四邊形EGCE是平行四邊形,

'."ZOEG=90°,

???四邊形EGC尸是矩形.

考點(diǎn)三、菱形的樵質(zhì)

例5（2022?濱江區(qū)二模）在①AD=BC,?AD//BC,③NBAD=NBCD這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)你認(rèn)

為合適的，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，在四邊形A8CQ中，對角線AC,BD交于點(diǎn)、O,OA=OC,若②（請?zhí)钚蛱枺?求證：

四邊形A8CZ）為平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可.

【解答】解：添加AD〃BC,

\'AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,

在△A。。與△C