人教版 八年級下冊數(shù)學(xué)18.1平行四邊形

18.1平行四邊形

一、選擇題

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O,E是BC的中

點，以下說法錯誤的是（）

A.0E=1DCB.0A=0C

C.ZB0E=Z0BAD.Z0BE=Z0CE

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，AO=5,AB=3,他平分交8c邊于點E,

則線段BE,EC的長度分別為（）

A.2和3B.3和2C.4和1D.1和4如圖

3.如圖，將口ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B，處.若N1=N2=44。,

則28為（）

A.66°B.104°C.114°D.124°

4.如圖，在ABCD中，將AADC沿AC折疊后，點D恰好落在DC的延長線

上的點E處.若NB=60。，AB=3,則aADE的周長為

5.如圖，QABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC+BD=16,CD=6,則

△ABO的周長是（）

A.10B.14C.20D.22

D

0

------------乂C

6.點A、B、C、。在同一平面內(nèi)，從①AB〃C￡>,②AB=CD,@BC//AD,

@BC=AD.這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABC。是平行四邊形的選法有

（）種

A.3B.4C.5D.6

7.在平行四邊形ABCO中，點兒、&、4、4和G、C2、C3、C4分別為鉆和C。的

五等分點，點4、為和。、。2分別是BC和D4的三等分點，已知四邊形A/2G2的

面積為1,則平行四邊形ABC。面積為（）

35

A.2B.-C.-D.15

53

8.如圖，D是4ABC內(nèi)一點，BD±CD,AD=7,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為

9.已知四邊形的四條邊長分別是a",c,d,其中a"為對邊，并且滿足

cr+kr+c2+d'=2ab+led

則這個四邊形是（）

A.任意四邊形B.平行四邊形

C.對角線相等的四邊形D.對角線垂直的四邊形

10.

（2020.臨沂）如圖，P是面積為S的A8CO內(nèi)任意一點，的面積為號

,APBC的面積為§2,則（）

D

AB

qq

A.S,+S2>-B.S,+S2<-

C.S,+S2=^-D.S1+S2的大小與p點位置有關(guān)

二、填空題

11.如圖，在平行四邊A8CO中，乙4=120。，則/￡）=

圖1

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，DB=DC,NA=65。，CE工BD于E,則NfiCE=

13.如圖所示，四邊形ABCD的對角線相交于點O,若AB〃CD,請?zhí)砑右粋€條

件（寫一個即可），使四邊形ABCD是平行四邊形.

14.（2020.涼山州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,

OE〃AB交AD于點E.若OA=1,aAOE的周長等于5,則平行四邊形ABCD

的周長等于.

A.ED

15.如圖，已知等邊三角形的邊長為10,尸是AABC內(nèi)一點，PD//AC,

PE//AB,PF//BC,點。，E,尸分另U在A8,8C,AC上，則/Y）+PE+PF=

4

D.

16.如圖，在QABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△ADE處,

AD'與CE交于點F,若/B=52。，NDAE=20°,則NFED，的大小為.

三、解答題

17.如圖，矩形ABC。中，E是AD的中點，延長CE,BA交于點F連接AC,

DF.

(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;

(2)當(dāng)CT平分N8CO時，寫出與C。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

18.(2020?淮安)如圖，在nABCD中，點E、F分別在BC、AD±,AC與EF

相交于點O,且AO=CO.(1)求證：△AOF^^COE；

(2)連接AE、CF,則四邊形AECF(填"是"或"不是")平行

四邊形.

19.如圖，在等腰AABC中，延長邊AB到點。，延長邊。到點E,連接￡>E,恰

有AD=BC=CE=DE.求證：ZfiAC=100°.

E

20.如圖，在AA8C中，A3=AC,A0_L5C于。，點P在8C上，PE上BC交BA

的延長線于E,交AC于Fo求證：2AD=PE^-PF；

21.如圖所示，在平行四邊形A8C。中，^ijEAC24-BD2=AB2+BC2+CD24-DA2.

人教版八年級數(shù)學(xué)18.1平行四邊形培優(yōu)訓(xùn)

練?答案

一、選擇題

1.【答案】D【解析】A、B、C均正確，因為08不一定等于0C,所以NQBE

不一定等于N0CE.

2.【答案】B

3.【答案】C【解析】設(shè)/AC。=x,ZB=y,則根據(jù)題意可列方程組

x+y+44°=180°

\'/、，解得y=U4。.

[180。一)一(44°-x)=44°'

4.【答案】C

【解析】由折疊可得，NACD=NACE=90。，.?.NBAC=90。，

又?.?NB=60。，.?.NACB=30。，；.BC=2AB=6,，AD=6,

由折疊可得，NE=ND=NB=60。，

.,.ZDAE=60°,.'.△ADE是等邊三角形，

AADE的周長為6x3=18,

故選C.

5.【答案】B【解析】?.,四邊形ABCO是平行四邊形，.?.QA=OC,OB=OD.

由AC+B￡)=16可得OA+OB=8,又,.泡8=。。=6,.'.△ABO的周長為QA+

03+43=8+6=14.

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

【解析】VBD±CD,BD=4,CD=3,

：?BC=4+于=5，

VE.F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，

.\EH=FG=-BC,EF=GH=-AD,

22

/.四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又；AD=7,

...四邊形EFGH的周長=7+5=12.故選A.

9.【答案】B

10.【答案】c

【解析】可以利用割補法對平行四邊形進(jìn)行分割，然后使分割后的圖形與APAO

的面積APBC的面積邑發(fā)生關(guān)聯(lián)，然后求出其數(shù)量關(guān)系，如下圖，過點P

作AD的平行線，分別交ABCD的邊于點M、N：

AMND

S1+S2=—=5(S+SMI>CN)=萬.

二、填空題

11.【答案】60°

12.［答案］25。

【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形

ZA=NDCB=65°

又,/DB=DC

：.NDBC=NDCB=65°,NCDB=50°

又?/CE1BD,：.ZECD=40°

ZBCE=65°-40°=25°.

13.【答案】AO45c(答案不唯一)【解析】根據(jù)平行四邊形的判定，在已有

AB〃DC的條件下，可再加另一組對邊平行即可證得它是平行四邊形，即加

“AD〃BC”.

14.【答案】16

【解析】?.,四邊形ABC。是平行四邊形，，OA=OC,AB=CD,AD=BC.V

OE//AB,是△ACO的中位線.：.AE=-AD,OE=-CD.\"OA=1,△

22

AOE的周長等于5,：.AE+OE=4.：.AD+CD=S.二平行四邊形ABC。的周

長=16.故答案為16.

15.【答案】10

16.【答案】360【解析】?.?在口ABCD中，ZD=ZB=52°,.*.ZAEF=ZDAE

+ZD=200+52°=72°,AZAED=180°-ZAEF=108°,由折疊的性質(zhì)得，Z

AEDZ=ZAED=108°,AZFED7=ZAED(-ZAEF=108°-72°=36°.

三、解答題

17.【答案】

解:⑴證明:???四邊形ABCD是矩形,

：.AB//CD,：.ZFAE=ZCDE,

TE是AO的中點，：.AE=DE,

又,?NFEA=ZCED,.*.△FAE^△CDE,：.CD=FA,

y.'：CD//AF,

...四邊形ACDF是平行四邊形.

(2)BC=2CD理由：

,：CF^ZBCD,：.ZDCE=45°,

,/NCDE=90。,

/.△CDE是等腰直角三角形，

:.CD=DE,

E是AO的中點，：.AD=2CD,

?：AD=BC,：.BC=2CD.

18.【答案】

(1)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD〃BC,

/.ZFAO=ZECO,

^△AOF和△COE中

NFAO=NECO

<AO=CO

ZAOF=4cOE

/.△AOFflACOE(ASA).

(2)由(1)AAOF^OACOE,

/.OF=OE,

XVOA=OC,

四邊形AEOF為平行四邊形.

19.【答案】

由4)=班，知4莊是等腰三角形，其底角ZE4D必為鈍角，所以等腰

AA8C中，N8AC必為鈍角，因此必為等腰AA8C的頂角，則AB、AC是

腰，即AB=4C.

過C作AD收平行線CF,與過。所作8c的平行線交于點F,則四邊形

BCFO為平行四邊形，故。B=CF,DF=BC,NFDB=NBCF.

從而，Z￡AD=Z.ACB+NABC=NACB+NFDB=NACB+ZBCF=NECF.

連斯，在MDE和XCEF中，

AD=CE,NEAD=NECF,

AE=CE-AC=AD-AB=DB=CF,

則&4OE/ACEF,于是ED=EF.

而。=8C=OF,即知AD￡F是等邊三角形，從而

NEDF=60°.

設(shè)ABAC=a,則

ZADF=ZABC=1（180°-tz）,

ZDAE=180°-a,

ZA￡>E=180°-2ZZM￡=180o-2（180o-a）=2a-180°.

由ZADF+ZADE=4EDF=60°,得

^（180o-a）+（2a-180°）=60°.解得a=100°,即N8AC=100°.

20.【答案］

分析：加倍中線構(gòu)造平行四邊形，然后再通過等量線段證明原式成立。

證明：延長AQ,使得AD=DH,連接延長FP交C”于點K。

AB=AC,ADYBC=>BD=CD

"：AD=DH

：.ABC4為平行四邊形

AB//CH,NBCH=ZABC=ZACB

'：FP±BC,CP為公共邊

\FCP學(xué)SKCP

:.FP=PK

'：AD±BC,PFLBCnAH〃EK

ABCH

???4旌為平行四邊形

:.AH=EK

，2AD=AH=EK=PE+PK=PE+PF

說明：倍長中線構(gòu)造平行四邊形是競賽中常用的技巧之一，競賽班的學(xué)生一定要

掌握。

而運用其性質(zhì)的一個典型例題。

21.【答案】

本題實質(zhì)是證明AC2+BD2=2（AB2+AD2）.

如圖所示，過點C作CE〃QB交A8的延長線于點￡,

因為CE〃/58,DC//BE,

故8ECD是平行四邊形，從而CE=OB,BE=DC.

作CH_LAE,〃是垂足，則：

AC2=AH2+CH2=(AB+BH)2+CH2=AB2+2ABxBH+BH2+CH2,

DB2=CE2=EH2+CH2=(BE-BHY+CH2+CH2-2ABx

BH+BH2+CH2,

故AC2+BD2=2AB2+2cH2+2BH°=2AB2+2BC2=2(A8?+AD2).

18.2特殊的平行四邊形

選擇題（共10小題）

1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

選D

2.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,CE/7BD,DE〃AC,若

AC=4,則四邊形OCED的周長為（）

解：?.?四邊形ABCD為矩形，

.?.OA=OC,OB=OD,且AC=BD,

.?.OA=OB=OC=OD=2,

?.?CE〃BD,DE〃AC,

四邊形DECO為平行四邊形，

VOD=OC,

四邊形DECO為菱形，

，OD=DE=EC=OC=2,

則四邊形OCED的周長為2+2+2+2=8,

故選B

3.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S2,則SI：S2等

解：設(shè)大正方形的邊長為X,根據(jù)圖形可得:

??EF.1

?-------..-，

AC3

._i

SADAC9

.Si_i

??'---,

S正方形ABCD18

/.S|=-^-S正方J6ABCD，

18

Si=-^-x2,

18

S

?-2=1

2AABC4

?S2_1

??1-,

S正方形ABCD8

.?.s2=ls正方形ABCD，

8

/.S?=—x2,

8

/.Si：S7=-^-x2：—X2=4：9；

188

4.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點B的坐標(biāo)為（3,4）,

D是OA的中點，點E在AB上,當(dāng)4CDE的周長最小時，點E的坐標(biāo)為（）

M.

A.(3,1)B.(3,A)C.(3,1)D.(3,2)

33

解：如圖，作點D關(guān)于直線AB的對稱點H,連接CH與AB的交點為E,此時

△CDE的周長最小.

VD泣，0),A(3,0),

2

AH(X0),

2

直線CH解析式為y=-卷x+4,

，x=3時，y=?，

3

二點E坐標(biāo)(3,-1)

3

故選:B.

5.如圖，在矩形ABCD中（AD>AB）,點E是BC上一點，且DE=DA,AF

_LDE,垂足為點F,在下列結(jié)論中，不一定正確的是（）

A.AAFD^ADCEB.AF=1ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

解：(A)由矩形ABCD,AF_LDE可得NC=NAFD=90。，AD〃BC,

:.ZADF=ZDEC.

又YDE=AD,

/.△AFD^ADCE（AAS）,故（A）正確；

（B）YNADF不一定等于30。，

二直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）錯誤;

(C)由4AFD絲Z\DCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

，AB=AF,故(C)正確;

(D)由△AFDg/XDCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

XVBE=BC-EC,

/.BE=AD-DF,故(D)正確;

故選B.

6.如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的

EC=2：1,則線段CH的長是()

A.3B.4C.5D.6

解：設(shè)CH=x,則DH=EH=9-x,

VBE：EC=2：1,BC=9,

.*.CE=1BC=3,

3

...在RCECH中，EH2=EC2+CH2,

即(9-x)2=32+X2,

解得:x=4,

即CH=4.

故選(B).

D

7.下列語句正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.矩形的對角線相等

D.平行四邊形是軸對稱圖形

解：???對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形,

，選項A錯誤；

???有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，

，選項B錯誤；

???矩形的對角線相等，

選項C正確；

???平行四邊形是中心對稱圖形，不一定是軸對稱圖形，

???選項D錯誤；

故選：C.

8.如圖，正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH

的周長為（）

解：?.?正方形ABCD的面積為1,

.?.BC=CD=VT=1,ZBCD=90°,

VE.F分別是BC、CD的中點,

/.CE=1BC=1,CF=1JCD=1,

2222

，CE=CF,

...△CEF是等腰直角三角形，

.,.EF=V2CE=^.,

正方形EFGH的周長=4EF=4義喙=2&；

故選:B.

9.如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG,其中E點在AD上.若/

解：?..四邊形CEFG是正方形,

/.ZCEF=90°,

ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

.?.NB=ND=70。（平行四邊形對角相等）.

故選C.

10.如圖是由三個邊長分別為6、9、x的正方形所組成的圖形，若直線AB將它

分成面積相等的兩部分，則x的值是（）

A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6

解：如圖，

?.?若直線AB將它分成面積相等的兩部分,

222

：.LX(6+9+x)X9-x*(9-x)=lx(6+9+X)-1X6X3,

222

解得x=3,或x=6.

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6,BD=10,則菱形ABCD的面積為

解：;在菱形ABCD中,對角線AC=6,BD=10,

，菱形ABCD的面積為：1AC*BD=3O.

2

故答案為：30.

12.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,點P是直線AD上一動點，若滿足4PBC

是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為4或2亞.

AD

B--------------------'C

解：①如圖，當(dāng)AB=AD時

A曲）勺?俘2）

BC

滿足4PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，

△PiBC,^PaBC是等腰直角三角形，APsBC是等腰直角三角形（P3B=P3C）,

則AB=AD=4.

②當(dāng)AB<AD,且滿足aPBC是等腰三角形的點P有且只有3個時，如圖，

?.?P2是AD的中點，

?>,BP2=*7I^=標(biāo)標(biāo)，

易證得BP尸BP2，

又?；BP]=BC,

AV4+AB2=4

.,.AB=2?.

③當(dāng)AB>AD時，直線AD上只有一個點P滿足4PBC是等腰三角形.

故答案為：4或2我.

13.有一面積為5愿的等腰三角形，它的一個內(nèi)角是30。，則以它的腰長為邊的

正方形的面積為20亞和20.

解：如圖1中，當(dāng)NA=30。，AB=AC時，設(shè)AB=AC=a,

作BD_LAC于D,VZA=30°,

，BD」AB=Xa,

22

22

.方=20代，

...△ABC的腰長為邊的正方形的面積為2aM.

如圖2中，當(dāng)NABC=30。，AB=AC時，作BD_LCA交CA的延長線于D,設(shè)

AB=AC=a,

VAB=AC,

/.ZABC=ZC=30o,

，ZBAC=120°,ZBAD=60°,

在RTaABD中，：/口;鄉(xiāng)。。，ZBAD=60°,

，BD=&,

2

?亞a=5愿，

22

.\a2=20,

/.△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20.

故答案為20行或20.

14.如圖，正方形ABCD邊長為3,連接AC,AE平分NCAD,交BC的延長

線于點E,FA1AE,交CB延長線于點F,則EF的長為6&.

，AC=3&,

VAE平分NCAD,

:.ZCAE=ZDAE,

VAD^CE,

/.ZDAE=ZE,

.*.ZCAE=ZE,

，CE=CA=3&，

VFA±AE,

/.ZFAC+ZCAE=90o,ZF+ZE=90°,

，NFAC=NF,

.,.CF=AC=3&，

EF=CF+CE=3近

故答案為：6^2.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OAIBIG的兩邊在坐標(biāo)軸

上，以它的對角線OBi為邊作正方形OBiB2c2，再以正方形OB|B2c2的對角線

OB2為邊作正方形OB2B3c3,以此類推…、則正方形OB2015B2016c2016的頂點B2OI6

的坐標(biāo)是.（2M8,。.

解：?.?正方形OAIBCI邊長為1,

?.?正方形OB|B2c2是正方形OA|B|C|的對角線OB1為邊，

，OB2=2,

.?.B2點坐標(biāo)為（0,2）,

同理可知OB3=2我，

，B3點坐標(biāo)為（-2,2）,

同理可知OB4=4,B4點坐標(biāo)為（-4,0）,

B5點坐標(biāo)為（-4,-4）,B6點坐標(biāo)為（0,-8）,

B7（8,-8）,B8（16,0）

B9（16,16）,B10（0,32）,

由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每

次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼难ɑ?/p>

,.,20164-8=252

.??B2016的縱橫坐標(biāo)符號與點B8的相同，橫坐標(biāo)為正值，縱坐標(biāo)是0,

.?.B2016的坐標(biāo)為（21008,0）.

故答案為：(2間8,0).

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在^ABC中，ZACB=90°,D,E分別為AC,AB的中點，BF〃CE

交DE的延長線于點F.

(1)求證：四邊形ECBF是平行四邊形；

(2)當(dāng)NA=30。時，求證：四邊形ECBF是菱形.

證明：(1)VD,E分別為邊AC,AB的中點,

；.DE〃BC,即EF〃BC.

又,；BF〃CE,

二四邊形ECBF是平行四邊形.

(2)VZACB=90°,ZA=30°,E為AB的中點，

.,.CB=1AB,CE=1AB.

22

，CB=CE.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形，

二四邊形ECBF是菱形.

17.如圖，矩形ABCD中，延長AB至E,延長CD至F,BE=DF,連接EF,

與BC、AD分別相交于P、Q兩點.

(1)求證：CP=AQ；

(2)若BP=1,PQ=2&,ZAEF=45°,求矩形ABCD的面積.

(1)證明：?.?四邊形ABCD是矩形,

/.ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,

.,.ZE=ZF,

VBE=DF,

/.AE=CF,

'/C=/A

在4CFP和AAEQ中，＜CF=AE，

,ZF=ZE

/.△CFP^AAEQ(ASA),

，CP=AQ；

(2)解：VAD^BC,

/.ZPBE=ZA=90o,

,/ZAEF=45°,

...△BEP、AAEQ是等腰直角三角形，

/.BE=BP=1,AQ=AE,

，PE=V^BP=&,

/.EQ=PE+PQ=V^2后3加,

，AQ=AE=3,

.*.AB=AE-BE=2,

VCP=AQ,AD=BC,

.,.DQ=BP=1,

:.AD=AQ+DQ=3+1=4,

二矩形ABCD的面積=AB?AD=2X4=8.

18.如圖，點E正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，4EBF是等腰

直角三角形，其中NEBF=90。，連接CE、CF.

(1)求證：△ABFgACBE；

(2)判斷4CEF的形狀，并說明理由.

AB

(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

，AB=CB,ZABC=90°,

?..△EBF是等腰直角三角形，其中NEBF=90。,

；.BE=BF,

:.ZABC-ZCBF=ZEBF-ZCBF,

/.ZABF=ZCBE.

'ABXB

在AABF和4CBE中，有1/ABF=/CBE，

,BF=BE

.".△ABF^ACBE(SAS).

(2)解：4CEF是直角三角形.理由如下：

VAEBF是等腰直角三角形，

，NBFE=NFEB=45。，

.,.ZAFB=180°-ZBFE=135°,

XVAABF^ACBE,

.,.ZCEB=ZAFB=135°,

ZCEF=ZCEB-ZFEB=135°-45°=90°,

.?.△CEF是直角三角形.

19.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，并且NA=ND.

(1)求證：四邊形ABCD為矩形；

(2)點E是AB邊的中點，F(xiàn)為AD邊上一點，Z1=2Z2,若CE=4,CF=5,

求DF的長.

(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

，AB〃CD,

ZA+ZD=180°,

又NA=ND,

/.ZA=ZD=90o,

.??平行四邊形ABCD為矩形；

(2)解:延長DA,