力學(xué)電子課件

第2章第二章

動量守恒

質(zhì)點動力學(xué)

第2章第一節(jié)

慣性定律

第2章§2.1慣性定律2.1.1慣性定律LawofInertia

一個自由質(zhì)點永遠(yuǎn)以恒定的速度運動，或者說，沒有加速度。這就是說，一個自由質(zhì)點可以沿直線作勻速運動，不然就是靜止(速度為零)。這一定律也稱牛頓第一定律。2.1.2慣性系InertialFrame

自由質(zhì)點或系統(tǒng)，也就是說，它不受世界上其他物體的作用。該參考系稱為慣性參考系。第2章

慣性定律原為伽利略所發(fā)現(xiàn)，這個定律不能被直接用實驗去證明。

原因：除非我們先有這個定律，否則我們實在無法回答什么是自由質(zhì)點或系統(tǒng)，也就是說我們無法知道該質(zhì)點或系統(tǒng)是否受其他物體的作用，這樣也就無法選擇作為描寫相對運動的慣性參考系。所以我們與其說慣性定律還不如說慣性原理。它實際上是一個假說，事實上這個假說反映了我們所處空間的“平直”性質(zhì)。如果空間是“彎曲”的話，則自由質(zhì)點將沿“彎曲”空間運動，不再是沿直線運動。第2章

Thelawofinertiacan’tbeprovedbyexperiment.Reason：

afreeparticleorsystem;nointeraction;aninertialframeofreference;LogicalcycleappearsGalileanidealexperiment;vov1>vo第2章

Thelawofinertiacan’tbeprovedbyexperiment.Reason：

afreeparticleorsystem;nointeraction;aninertialframeofreference;LogicalcycleappearsGalileanidealexperiment;vov2<v1第2章

Thelawofinertiacan’tbeprovedbyexperiment.Reason：

afreeparticleorsystem;nointeraction;aninertialframeofreference;LogicalcycleappearsGalileanidealexperiment;vov3<v2第2章

Thelawofinertiacan’tbeprovedbyexperiment.Reason：

afreeparticleorsystem;nointeraction;aninertialframeofreference;LogicalcycleappearsGalileanidealexperiment;vov4<v3第2章

Thelawofinertiacan’tbeprovedbyexperiment.Reason：

afreeparticleorsystem;nointeraction;aninertialframeofreference;LogicalcycleappearsGalileanidealexperiment;vov5<v4第2章

Thelawofinertiacan’tbeprovedbyexperiments.Reason：

afreeparticleorsystem;nointeraction;aninertialframeofreference;LogicalcycleappearsGalileanidealexperiment;vov6=voTherefore,thelawofinertiaisregardastheprincipleofinertia(asortofhypothesis).第2章第二節(jié)

動量守恒定律

第2章§2.2動量守恒定律2.2.1線動量LinearMomentum

質(zhì)點的線動量定義為它的質(zhì)量m和它的速度v

的乘積，以P

表示。

P=mv線動量是一個矢量，它的方向與速度相同，它又簡稱動量，在SI中，動量的單位是公斤·米/秒(kg·m/s)。我們現(xiàn)在可以將慣性定律重述如下：對一個慣性觀察者而言，自由質(zhì)點永遠(yuǎn)以一定的動量運動。第2章

2.2.2動量守恒定律1、隔離系統(tǒng)IsolatedSystem

系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點之間有相互作用，而與外界沒有任何作用。2、動量守恒Conservation

定律一個隔離的質(zhì)點系統(tǒng)的總動量是恒定的

Ｐ=Ｐ1+Ｐ2

+Ｐ3

+

=

Ｐi=恒矢量慣性定律可以看作是動量守恒定律的一個特例（系統(tǒng)只有一個隔離質(zhì)點）。第2章

2.2.3慣性質(zhì)量InertialMass

的定義在△t時間內(nèi)質(zhì)點動量的改變?yōu)椤鱌=△(mv)=m△v（假設(shè)m與速度無關(guān)）

m2/m1=△v1

/△v2上式表明質(zhì)點的速度改變與質(zhì)量的大小成反比。因為質(zhì)量越大的物體我們越不容易改變其運動狀態(tài)，故我們可用質(zhì)量來度量物體的慣性，所以我們把這種定義的質(zhì)量稱為慣性質(zhì)量。

質(zhì)量單位為公斤（kg）第2章第2章

2.2.4牛頓第二定律和第三定律1、牛頓第二定律Newton’sSecondLaw

兩個質(zhì)點系統(tǒng)：在時間間隔△t=t’-t內(nèi)，質(zhì)點1和質(zhì)點2的動量變化之間的關(guān)系△P1/△t=-△P2/△t上式表示在時間間隔△t內(nèi)，兩質(zhì)點動量(矢量)的平均變化率大小相等而方向相反。如果令△t→0時，dP1/dt=-dP2/dt力的定義：F=dP

/dt即為牛頓第二定律。

第2章

2、牛頓第三定律Newton’sThirdLaw

因為dP1/dt=-dP2/dt利用力的定義

F1

=-F2式中

F1

=dP1/dt是質(zhì)點2對質(zhì)點1的作用力

F2

=dP2/dt是質(zhì)點1對質(zhì)點2的作用力結(jié)論：當(dāng)兩個質(zhì)點相互作用時，作用在一個質(zhì)點上的力與作用在另一個質(zhì)點上的力大小相等而方向相反。這就是牛頓第三定律。

n個質(zhì)點對質(zhì)點m的作用

dP1/dt=F1+F2+

……

+Fn在SI中，力的單位為牛頓(N)。

評論：大小相同、方向相反；同時出現(xiàn)、同時消失。１、同時出現(xiàn)：隱含相互作用以無限大速度傳播。２、大小相同：

如果相互作用是非接觸的，例如：引力、電力、磁力等通過“場”作用，則大小可以不相同。因此，近代物理學(xué)往往不采用牛頓第三運動定律，而直接應(yīng)用動量守恒定律。３、作用力于反作用力屬于同一性質(zhì)的力。第2章3、常見力和基本力常見力：(1)重力：物體受地球的吸引作用。(2)彈力：發(fā)生形變的物體企圖恢復(fù)原狀，對與它接觸的物體產(chǎn)生作用。例如：正壓力、張力、彈力等(3)摩擦力：（A）靜摩擦fsmax=μsN（B）滑動摩擦fk=μk

N一般來說μk

＜μs＜１第2章例：一繩索繞在絞盤的固定圓柱上，當(dāng)繩子承受負(fù)荷巨大的拉力TA，人可以用小得多的力TB拽住繩子。設(shè)繩與圓柱的摩擦系數(shù)為，繩子繞圓柱的張角為，試分析摩擦力對繩子中張力分布的影響。

TATBABT()T(+d)dN

dNd

xy解：用隔離體法第2章

考慮在處對圓心張角d

的一段線元。切向：[T(+d)-T()]cosd/2=-dN法向：[T(+d)+T()]sind/2=-dN因d很小，sind/2

d/2，cosd/21，T(+d)-T()dT，T(+d)+T()2T，故上二式可寫為：dT=-dN，Td=dN。消去dN可得：

dT/T=-d

TATBdT/T=-

A

Bdln(TB/TA)

=-(B-

A)

TB=TAe-式中=B-

A。T()T(+d)dN

dNd

xy基本力：(1)萬有引力Gravitationalforce(2)電磁力

Electromagneticforce(3)強力

Stronginteraction(4)弱力

Weakinteraction類型

源

相對強度

作用距離萬有引力

質(zhì)量

10-38

長（無限）弱力

所有粒子

10-15

短（10-17m）電磁力

電荷

10-2

長（無限）強力

強子

1

短（10-15m）第2章[例1]α==0.10==mmAAB30050kg30kgμF=150N求:a,TFαB解題步驟：T參照系坐標(biāo)系畫隔離體圖寫出用文字表達的牛頓方程用文字表達的解答代入數(shù)字?jǐn)?shù)字答案（寫上單位）第2章αBNFfmTTNmfABBBBAATTFFmmNNNμcossinααfff======00+AAAmAABBmBfBμNBABAggggaAa第2章aFmABμsincosg======F()αα+++++μμμ()mmmABB150)cos300.1sin300.19.8×（50+30））（0050+300.74-2TmmmB(cosααsin+A討論：當(dāng)αaamax由ddcossinμ+()αα==0得：αtg-1α()ms.因為dd(cosαμ+sinα)α22＜0所以是極大值為何值時,第2章

[

例2]

一圓錐擺，已知：ωω,θTmgnnθτnrTsincosmgmaθ==0Tθna=2r=sinθ2=rω解得：θ=cos（）gω21mlllvvvl求：第2章θ

[

例

3

]

一小鋼球，從靜止開始自光滑圓柱形軌道的頂點下滑。求：小球脫軌時的角度θ。mgmmgmcoscossinsinsinddddddtdtdtdvdvdvθθθθN======22gθRRRggθθ00dv()1θ=2θRθθmgNτnRt=0(1)(2)(3)vvvvvv∫m∫第2章mgmcoscosN==2θθR脫軌條件：0由式(1)得：(4)由(3)、(4)可解得：=23θ=arccos()23v第2章例：一條長為ｌ，質(zhì)量均勻分布的細(xì)鏈條AB，掛在半徑可忽略的光滑釘子C上，開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，BC段長為

L(ｌ/2＜L＜2ｌ/3),釋放后鏈條將作加速運動，試求當(dāng)BC=2ｌ/3時，鏈條的加速度和速度的大小。解：設(shè)鏈條線密度為ρ，BC段長為x時，整個細(xì)鏈條受合外力F為：F=xρg－（ｌ－x）ρg（l-x）ρgl-xxBCxρgl-LLBCA第2章

F=（2x－ｌ）ρg1、加速度a=F/ｌρ=（2x-ｌ）ρg/ｌρ=（2x/ｌ－1）g

當(dāng)x=2ｌ/3時，a=g/3。2、因為a=dv/dt=vdv/dx，所以

vdv/dx=（2x/ｌ－1）g

即vdv=（2x/ｌ－1）gdx兩邊積分：∫ovvdv=∫L2l/3（2x/ｌ－1）gdx得：v2/2=（x2/ｌ－x）g|L2l/3因此：v=[2g（L－L2/ｌ－2ｌ/9）]1/2第2章

例2-1火箭的運動(

假定地球是一個慣性參考系

)

火箭Rocket

是一種導(dǎo)彈，靠火箭內(nèi)的燃燒室里所產(chǎn)生的氣體不斷噴出而獲得連續(xù)的推動力。mvv′-dm設(shè)

v為火箭相對于地球的速度，v′為噴出氣體相對于地球的速度，于是噴出氣體相對于火箭的速度是ve

=v′-v

t時刻：火箭m、v、P=mvt+dt時刻：火箭m+dm、

v+dv

噴出氣體-dm、v′注意：火箭質(zhì)量在減少，dm是負(fù)值。第2章

P′=(m+dm)(v+dv)+(-dm)v′=mv+mdv+vdm+dmdv-vdm=mv+mdv-(v′-v)dm[dmdv=0]=mv+mdv-vedm在dt時間內(nèi)系統(tǒng)動量的變化為

dP=P′-P=mdv-vedm而整個系統(tǒng)單位時間的動量變化為

dP/dt=mdv/dt-vedm/dt=F

F是作用在火箭上的外力

vedm/dt常稱為火箭的推力

Thrustoftherocket第2章

假設(shè)ve為定值，略去空氣的阻力和重力隨高度的變化，則唯一的外力是火箭的重量mg，火箭方程：mdv/dt-vedm/dt=mg

特例：設(shè)運動是豎直，v

，ve

，g

火箭方程的標(biāo)量形式：

mdv/dt+vedm/dt=-mg初始條件：t=0，v0，m0；t時刻，v，m

dv+vedm/m=-gdt

v0vdv+ve

m0mdm/m=-g

t0tdt得v-v0+veln(m/mo)=-gt即v=v0+veln(m0/m)-gt第2章

v=v0+veln(m0/m)-gt

如果t是用完全部燃料所需的時間，于是上式中的m就是最后的質(zhì)量，而v是火箭所能達到的最大速度。

例如火箭的初始質(zhì)量為2.72×106kg，燃料用完后的質(zhì)量為2.52×106kg，氣體的排出速度為1290kg/s，則用完燃料所需的時間t=155s。如果我們假定噴出氣體的速度ve=55000m/s，v0=0，則火箭的最大速度為：v=55000ln(2.72×106/2.52×106)-9.8×155=2681m/s

第2章資料片：火箭

1970年4月24日長征3號運載火箭把中國第一顆人造地球衛(wèi)星——“東方紅一號”送上太空，使中國航天技術(shù)邁出了重要的一步。第2章

2.2.5動量定理1、質(zhì)心CenterofMass

考慮由質(zhì)量為m1，m2，……等若干質(zhì)點組成的系統(tǒng)，它們相對于慣性參考系的位矢分別為r1，r2，……，規(guī)定質(zhì)點系的質(zhì)心

rc=∑miri/∑mi=∑miri

/M其中M=∑mi是系統(tǒng)的總質(zhì)量。2、質(zhì)心速度（系統(tǒng)速度）假定這些質(zhì)點的質(zhì)量與其速度無關(guān)，

vc=drc/dt=∑midri

/dt/M=∑mi

vi

/M=∑Pi/M=P/M第2章

3、質(zhì)心參考系我們可選一個參照坐標(biāo)系Xc、Yc、Zc，其原點固連在一個系統(tǒng)的質(zhì)心上，則相對于此坐標(biāo)系，質(zhì)心是靜止的(vc=0)。這個參考系稱為質(zhì)心參考系或C—參考系，相對于C—參考系，質(zhì)點系的總動量恒為零，即Pc=∑Pi=0(在C—參考系中)C—

參考系之所以重要是因為我們在實驗室或L—

參考系中所作的許多實驗可以在C—

參考系內(nèi)得到更簡單的分析。第2章

4、動量定理孤立系：S和S′研究對象：S系統(tǒng)內(nèi)力：S系質(zhì)點之間的相互作用外力：S′系作用于S

系質(zhì)點上的力

S+S′孤立系統(tǒng)，動量守恒定律。

P=PS

+PS′=∑Pi

+∑Pj

=恒矢量

dPi/dt=Fi

+Fi1

+Fi2+…=Fi

+∑j、i≠jFij

其中Fi

為外力，F(xiàn)ij為質(zhì)點j對質(zhì)點i的內(nèi)力SS’第2章

d∑Pi

/dt=∑dPi/dt=∑Fi+∑j∑j、i≠j

Fij

=∑Fi=0dPs

/dt=F外

動量定理的微分形式

dPS’

/dt=F外’F外

=-F外’討論：(1)動量定理是矢量等式，三個分量等式。(2)合外力分量僅對該系統(tǒng)分量的動量起作用，對其他分量是無貢獻。如果合外力在某方向上的分量為零，盡管系統(tǒng)動量不守恒，但在該分量的動量卻是守恒的。第2章

(3)在有些場合，如發(fā)生碰撞，爆炸等，系統(tǒng)所受外力顯然存在，但遠(yuǎn)比系統(tǒng)內(nèi)力為小，它們可以忽略不計，對這些過程就可用動量守恒定律來處理?；蛘呖珊雎院贤饬υ谀骋环较蚍至康淖饔?，運用該方向動量守恒來解決。5、質(zhì)心定理因為vc=PS/M，所以F外=Mdvc/dt=Mac其中ac

是S系的質(zhì)心加速度。此結(jié)果與質(zhì)點牛頓第二定律比較可知：質(zhì)點系的質(zhì)心運動有如系統(tǒng)中的所有質(zhì)量集中于質(zhì)心在外力作用下的運動。

例2-2水平地面上一輛靜止的炮車發(fā)射炮彈，炮車質(zhì)量為M，炮身仰角為θ，炮彈質(zhì)量為m，炮彈剛出口時，相對于炮身的速度為u，（1）求炮彈剛出口時，炮車的反沖速度的大小VX

；（2）若炮筒長為L，求發(fā)炮過程中炮車移動的距離ΔX。解：設(shè)炮彈相對地面速度為

v彈地炮車反沖速度為V車地相對速度公式：

v彈地=u彈車+V車地xumMθ

1、水平方向內(nèi)力很大，可忽略地面摩擦的影響，因此水平方向動量守恒。水平速度分量：vx=ucosθ

+Vx水平動量守恒：

0=MVx+mvx=MVx+m(ucosθ+Vx)故得：Vx=-mucosθ／(M+m)負(fù)號表示向后退。xumMθ

2、以u(t)表示發(fā)炮過程中任一時刻炮彈相對炮身的速度，則該瞬時炮車的速度應(yīng)為：

Vx(t)=-mu(t)cosθ／(M+m)積分求炮車后退距離：ΔX=

oTVx(t)dt(T發(fā)炮過程所需時間)=-mcosθ

/(M+m)

oTu(t)dt=-mLcosθ

/(M+m)負(fù)號表示向后退。xumMθ第2章例2-3水力采煤就是利用水槍在高壓下噴射出來的強力水柱沖去煤層而使煤層碎裂。設(shè)所用水槍直徑為d=3×10-2m，水速為v=60m/s，水柱與煤層表面垂直。求水柱施于煤層的作用力。解：建立坐標(biāo)系Oxy，取水槍dt時間內(nèi)噴出的水作為質(zhì)點系，該質(zhì)點系在沖擊煤層時受到兩個外力：煤層對它的反作用力和重力，重力略去不計。xyO第2章

在沖擊煤層前，dM為質(zhì)點系的總質(zhì)量，v為水柱在沖擊煤層前速度，ρ表示水的密度，總質(zhì)量可表示：dM=ρπd2vdt/4總動量：P1=dMvi=ρv2πd2dt

/4i

在沖擊煤層后，總動量P2=0。所以該質(zhì)點系在沖出煤層前后總動量的變化為

dP=P2-P1=-ρv2πd2dt

/4i煤層對該質(zhì)點系的反作用力F′：

F′=dP/dt=-ρv2πd2/4i水柱作用于煤層的作用力：F=-F′，故

F=-F′=ρv2πd2/4i

=1000×602×3.14×0.032/4i=2545i

牛頓第2章6、沖量定理

(1)質(zhì)點

已知力只是時間函數(shù)F(t),試求質(zhì)點速度v(t)和運動方程。初始條件：t=0,v=vo牛頓第二定律:F(t)=d(mv)/dt

∫otF(t)dt=∫vovd(mv)=mv

-mvo定義：沖量I=∫otF(t)dt

I=P-Po（

動量定理積分形式）

v(t)=vo+I/m

r(t)=ro+vo(t-to)

+∫ot

I

dt/m(2)質(zhì)點系I外

=∫otF外(t)dt=PS

-PSO第2章例2-4一質(zhì)量為2kg的質(zhì)點，在xy平面上運動，受到外力F=4i-24t2j(SI)的作用，t=0時，它的初速度為vo=3i+4j(m/s)，求t=1s時質(zhì)點受到的法向力Fn的大小和方向。解：設(shè)質(zhì)點質(zhì)量m=2kg，t=1s時，速度為v動量定理：mv-mvo=

o1

Fdt=

o1

(4i-24t2j)dtv=

o1

(2i-12t2j)dt+vo=2i-4j+3i+4j

=5im/s即切向方向為i

，法向方向為j。所以t=1s時質(zhì)點受到的法向力Fn=-24t2j|t=1=-24j(N)第2章當(dāng)力連續(xù)變化時tF~x沖量的幾何意義：沖量在數(shù)值上等于圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積。IF=∫dttt12F0tt12tx+xxyyIFIF=∫

=∫

dtdttt12tt12zzIF=∫

dttt12第2章平均沖力：用平均沖力表示的動量原理為：tt()21Fx=mvmv12xx=mvmv12yytt()21FyFttt120Fxxtt()21xFdttt12=Fx∫第2章解一：對碰撞過程應(yīng)用動量原理[

例2-5

]

質(zhì)量為一噸的蒸汽錘自1.5m高的地方落下，它與工件的碰撞時間為τ=0.01s，求：打擊的平均沖力。=××661.66101+0030.()N=02ghv=Nmg))((0m0vNmgh0mmv工件m=2ghNmgmτ+第2章解二：對整個過程應(yīng)用動量原理=τNmgmg()00+tN)(+mg=1.69=tτ1×610()NNmgh0mmv工件m第2章mvα()cosvvααYX=Nx0NmgcosΔty=+α2mvΔ=ααNmvmvsinsintxΔNmvmgcosty=α()NNNxymg=2.0+0.2(N)=2.2(N)[

例2-6

]

一小球與地面碰撞×3-1m=210kgvvα=600,==5.0ms.碰撞時間求:平均沖力。0.05st=Δ第2章

[例2-7]質(zhì)量為m均勻鏈條，全長為L，手持其上端，下端與地面的距離為h。手一松，鏈條自由下落在地面上，試求鏈條下落在地面的長度為l

的瞬時，地面所受鏈條作用力的大小。LlL-lhoyh+l解：設(shè)鏈條線密度為ρ

則ρ=m/L。若鏈條下落在地面的長度為l

，則該段鏈條的質(zhì)量為

ml=ml/L。l

段對地面的作用力：

mlg=mlg/L第2章

此時，未落地部分的速度為

v=[2g(h+l)]1/2

在dt時間內(nèi)，微元段vdt落地。落地前速度為-v，落地后速度為0，這是在時間dt內(nèi)受地面沖力f而致。動量原理：fdt=0-(-ρvdtv)=ρv2dt

所以f=ρv2=2mg（h+l）/L地面所受總作用力的大小為：

F總

=mlg/L+2mg（h+l）/L=mg（2h+3l）/LLlL-lhoyh+l第2章§2.3伽利略相對性原理和非慣性系2.3.1經(jīng)典相對性原理

TheClassicalPrincipleofRelativity

力學(xué)定律在所有慣性系中都相同，亦即力學(xué)定律在不同的慣性系中具有相同的形式，這個結(jié)論稱經(jīng)典相對性原理，也稱力學(xué)相對性原理。如果沒有外力作用于這些質(zhì)點上，則根據(jù)在經(jīng)典力學(xué)中，一切慣性系都等效，我們不可能借助任何力學(xué)實驗把某一慣性系與其他任一慣性系區(qū)別開來。第2章此原理可用伽利略變換來解釋1、動量守恒定律考慮兩個質(zhì)點系統(tǒng)；慣性系O：

(m1,v1)，(m2,v2)慣性系O’

：(m1,v1’=v1-u

),(m2,v2’=v2-u

)慣性系O：

m1v1+m2v2=恒矢量慣性系O’：m1v1’+m2v2’

=m1(v1-u

)+m2(v2-u

)=m1v1+m2v2+(m1+m2)u

=恒矢量第2章2、牛頓第二定律

慣性系O：

F=ma

慣性系O’：

F’=ma’

因為a=a’（伽利略速度變換）所以F’=ma’=ma=F

盡管經(jīng)典相對性原理是根據(jù)伽利略變換直接推出的結(jié)果，但它卻是普遍的原理。

經(jīng)典相對性原理并沒有絕對時空這一前提，也就是說，伽利略變換只是滿足經(jīng)典相對性原理的一種變換。第2章2.3.2慣性力1、直線加速參考系中的慣性力在非慣性系K’中：每個質(zhì)點具有相同的加速度

A慣性系K與非慣性系K’之間加速度變換：a=a’+A在慣性系K中：f

=

ma

=m(a’

+

A)

或f

-

mA

=

ma’

-

mA稱為慣性力，記為

f慣在非慣性系K’中：采用牛頓第二定律形式f’=f+

f慣=

ma’其中f’

是質(zhì)點在K’系中受到的總有效力。第2章f’是“真實的”力f與“假想的”慣性力f慣的合成例：設(shè)車廂以加速度a作直線運動，其中一張光滑的桌子上放著一個靜止的物體m。地面觀察者應(yīng)用牛頓定律解釋：物體m不受作用力，加速度為零，靜止。mv=0af=0m-af慣=

-ma車廂內(nèi)觀察者應(yīng)用牛頓定律解釋：物體m加速度為-a

，受一慣性力f慣=-ma。第2章若用彈簧將物體牽連著：車廂內(nèi)觀察者：

彈簧伸長，有一力f=ma作用在物體m上，使物體獲得與車廂一樣的加速度a，但相對于車廂，物體并沒有加速度。mff慣車廂內(nèi)觀察者應(yīng)用牛頓定律解釋：必須設(shè)想除f外還有一力f慣=-f=-ma

作用在物體上，從而使物體靜止。第2章注意：慣性力f慣不是由物體的相互作用引起的，而是在非慣性系中能沿用牛頓定律而引入的“假想力”?！罢鎸嵉摹绷有反作用力，而“假想的”慣性力f慣不存在反作用力。第2章（2）失重臺秤支持力N=-m(g-a)

壓力N’=-N<mg

實例：超重和失重（1）超重臺秤支持力N=-m(g+a)

壓力N’=-N>mg

aNN’aNN’aθm解得：Tga=m+22cosθ=gag+arc22Ts=0F慣θinTmgcθ=0os例2-8

加速運動中的一單擺處于平衡狀態(tài)θ。已知：a,m

求：T、FmgT慣ma=F慣第2章2、慣性離心力地面觀察者：物體作勻速圓周運動物體m受彈簧拉力：

f=mv2/R=mR

2又稱向心力(提供向心加速度)。Rf慣f

Rf

以物體為觀察者：物體靜止應(yīng)用牛頓定律解釋：

物體m受彈簧拉力f外還受與向心加速度方向相反的慣性力f慣與其平衡，f慣=-mR

2，此慣性力又稱慣性離心力。第2章3、科里奧利力

若質(zhì)點相對于轉(zhuǎn)動的參考系運動，則質(zhì)點還可能受到科里奧利力。

設(shè)一圓盤繞鉛直以角速度

轉(zhuǎn)動，盤心有一光滑小孔，沿半徑方向有光滑槽，其中置一小球m，以細(xì)線連之，繞另一端穿過小孔，可控制小球在槽中作勻速運動。

m第2章

現(xiàn)令小球以勻速v相沿槽中向外運動，經(jīng)很短時間

t，圓盤轉(zhuǎn)過角

=

t，而小球自A運動至B，A’B=vt

地面觀察者解釋：在A點小球具有徑向速度v相和切向速度

r。AA’BB’

O

此二速度合成應(yīng)使小球在

t時間內(nèi)達到B’，但實際上到達B，這表明槽對小球作用有切向方向的力，它使小球獲得加速度，并使小球多走弧長B’B。第2章AA’BB’

O

顯然：弧長B’B=(OA+A’B)-OA·

=(r+v相

t)t-rt=v相

t2因t很短，可設(shè)小球以恒加速度aC多走出弧長B’B，故：弧長B’B=aCt2/2于是有：aC=2

v相一般形式：aC

=2

v相aC稱為科里奧利加速度。槽壁作用于小球的推力：

f=2m

v相

第2章f=2m

v相ω右手法則ωv相fm

v相f第2章旋轉(zhuǎn)系中觀察者：小球作慣性運動按牛頓定律解釋：小球受到槽的側(cè)向推力f

，但并未發(fā)生與槽垂直運動，故必存在慣性力fC，又稱為科里奧利力：

fC=-f=-2m

v相

=2mv相

m

v相ffC傅科擺實驗直接證明了地球的自轉(zhuǎn)例：在光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球。此管以勻角速ω繞通過其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動。開始時，球距轉(zhuǎn)動軸的距離為a,球相對管的速率為零，而的總長為2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求球剛離開管口時的相對速度與絕對速度，并求球從開始運動到離開管口時所需時間。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω第3章第三章

能量守恒定律

第3章§3.1

功和能3.1.1動能定理已知力是位矢函數(shù)F(r),試求質(zhì)點從A點(r=rA)經(jīng)過路徑L到B點(r=rB)的速率v(rB)牛頓第二定律：F(r)=mdv/dt

F(r)

dr=(mdv/dt)

dr=mdv

dr/dt=mv

dv

=m(vxdvx+vydvy+vzdvz)=mvdv經(jīng)過路徑L:A

B

LF(r)

dr=

VaVbmvdv=mvB2/2-mvA2/2第3章

LF(r)

dr=mvB2/2-mvA2/21、功：dA=F(r)

dr=Fdscos

=FtdsA=

LF(r)

dr=

LFtds

功率：P=dA/dt=F(r)

dr/dt=F(r)v2、動能：Ek=mv

2/2=P2/2m(與參考系有關(guān))在SI制中功單位焦耳(J)，功率單位瓦特(W)

動能和功的單位是一樣的，但意義不同。功Work

反映力的空間積累，其大小取決于過程，是個過程量；動能KineticEnergy

表示物體的運動狀態(tài)，是個狀態(tài)量。第3章

3、動能定理質(zhì)點：A=EkB-EkA質(zhì)點系：A外力+A內(nèi)力=Ek-Eko

其中Eko

和Ek分別表示質(zhì)點系的初態(tài)和末態(tài)總動能第3章例3-2一彈簧放在水平位置上，如圖所示，把質(zhì)量為m的質(zhì)點向右移動一距離L，然后釋放。當(dāng)質(zhì)點離平衡位置的距離為x時，試求它的動能。

解：當(dāng)彈簧伸長一距離x時，彈簧對質(zhì)點的作用力：F=-kx(k為倔強系數(shù))

當(dāng)質(zhì)點被釋放時，x=L，F(xiàn)=-kL，v0=0，因而初動能為零。Fm0Xkx第3章

令v表示在中間位置x上的速率，把質(zhì)點從L移至x時對質(zhì)點所作的功為

A=

LxFdx=

Lx-kxdx=k(L2-x2)/2根據(jù)動能定理可得：

mv2/2-0=k(L2-x2)/2因此上式表明，只要x的絕對值相同，速率便具有相同的值；也就是說，質(zhì)點的運動對稱于O點。在x處的速度vx=±v，說明該處的質(zhì)點可向左或向右運動。同時表明質(zhì)點的運動將限于在x=-L和x=+L的范圍內(nèi)。第3章例3-2

一鏈條總長為L，質(zhì)量為m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的長度為a。設(shè)鏈條與桌面之間的摩擦系數(shù)為μ，令鏈條由靜止開始運動，則(1)鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功？(2)鏈條離開桌面時的速率是多少？解：設(shè)鏈條線密度為ρ=m/L1、建立坐標(biāo)OX軸，鏈條下垂一端的長度為x，則

摩擦力：f=μρg（L-x）OL-xxX第3章

f=μmg（L-x）/L摩擦力作功：Af=-∫aLfdx=-∫aL

μmg（L-x）/Ldx=-μmg（L-a）2/2L2、重力作功：AG=∫aLmgx/Ldx=mg（L2-a2）/2L動能定理：Af+AG=mv2/2-mvo2/2因為vo=0OL-xxX第3章例3-1一對作用與反作用力所作的功設(shè)質(zhì)點質(zhì)量位矢位移作用力

1m1r1dr1

F122m2r2dr2F21其中F12為質(zhì)點2對1的作用力

F21為質(zhì)點1對2的作用力

F12和F21是一對作用和反作用力，由牛頓第三定律可知：F12=-F21

這對作用和反作用力所作的功為：

dA=F12

dr1+

F21

dr2

=F12

(dr1-dr2)=F12

dr12第3章dA=F12

dr12上式表明：一對作用和反作用力所作的功只與F12

和相對位移dr12

有關(guān)，而這兩者都是不隨參考系而變化的，由此得出結(jié)論：

任何一對作用力所作的功與參考系選擇無關(guān)，而一般單個力所作的功與參考系有關(guān)。第3章3.1.2勢能PotentialEnergy1、保守力ConservativeForce

與勢能如果一個力僅取決于質(zhì)點的位矢r，并且力所作的功A

可用Ep(r)這個量在始點處和終點的量值之差來表示，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，則該力稱為保守力，量Ep(r)稱為勢能，它是質(zhì)點位置的函數(shù)。因此

A=

AB

F(r)

dr=-(EpB-EpA)此式表示保守力作功等于勢能增量的負(fù)值。勢能通常被定義為含有任意常數(shù)，我們可將勢能的零點定在任何方便的位置處。第3章

如果路徑是閉合，亦即A和B是同一點，則EPA=EPB

，于是凈功等于零，即

A閉合

=∮F·dr

=0積分∮符號上的圓圈表示路徑是閉合的。因此，對于保守力沿任一閉合路徑的功為零。反之可以證明∮F·dr=0的條件也可作為保守力的又一定義。設(shè)

EpA=0根據(jù)A=

ABF(r)

dr=-(EpB-EpA)

得EpB=-

ABF(r)

dr

或

EpB

=

BAF(r)

dr積分關(guān)系第3章3-4

質(zhì)點在隨位置而變的外力F=2yi+4x2j(N)作用下,從原點運動到c(2,1)(m)點。試分別計算F

沿下列路徑所做的功：(1)沿路徑oac；(2)沿路徑obc；(3)沿路徑oc；(4)F是保守力還是非保守力？試解釋之。解：(1)路徑oac：oa：y=0（0<x<2)ac：x=2（0<y<1)Aoac=

o2Fxdx+

o1Fydy=

o22y

dx+

o14x2dy=

o20

dx+

o14×22dy=16×(1-0)=16Jcoabyx第3章(2)路徑obc：ob：x=0（0<y<1)bc：y=2（0<x<2)Aobc=

o2Fxdx+

o1Fydy=

o22y

dx+

o14x2dy=

o22×2

dx+

o10dy=4×(2-0)=8J(3)路徑oc：y=x/2（0<x<2)Aoac=

o2Fxdx+

o1Fydy=

o22y

dx+

o14x2dy=

o2x

dx+

o116y2dy=x2/2│o2+16×y3/3│o1

=2+16/3=22/3Jcoabyx第3章

2、力與勢能關(guān)系

S方向上的分量：FS=-dEp/ds其中dEp/ds叫做Ep的方向?qū)?shù)。

證明：在S方向上作位移ds，保守力作功：

FSds

=-[(Ep+dEp)-Ep]=-dEp

故FS=-dEp/dsdsEP+dEPEFSIII第3章

當(dāng)一矢量在任一方向上的分量等于一個函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)時，這個矢量就叫做這個函數(shù)的梯度Gradient。因此，我們說F是Ep的梯度的負(fù)值，寫成一般形式：

F=-gradEp

=-

Ep

微分關(guān)系式中“grad”代表梯度。直角坐標(biāo)分量:FxxeEPe=FyyeEPe=Fzzee=EP第3章已知萬有引力勢能EP=-GMm/r，求萬有引力解：Fx=-

EP/

x=-(

EP/

r)(

r/

x)

EP/

r=-(GMm/r)/

r=GMm/r2r=(x2+y2+z2)1/2

r/

x=[(x2+y2+z2)-1/2/2]2x=x/(x2+y2+z2)1/2=x/rFx=-(

EP/

r)(

r/

x)=-(GMm/r2)(x/r)=-GMmx/r3

同理：Fy=-GMmy/r3，F(xiàn)z=-GMmz/r3F=

-GMm(xi+yj+zk)/r3=

-GMmr/r3=

(-GMm/r2)

ro

第3章例3-3恒力所作的功與勢能解：設(shè)質(zhì)點m在一大小和方向都恒定的力F作用下運動，當(dāng)質(zhì)點沿路徑從A運動到B時，恒力F

所作的功為：

A=

ABF(r)

dr

=

F

AB

dr

=

F

(rB-rA)=F

rB-F

rA

結(jié)論:恒力F

所作的功與路徑無關(guān)。

第3章

舉例:重力為一恒力，F(xiàn)=mg=-mgj

(j為豎直向上的單位方向矢量)，則重力作功：

A=F

rB-F

rA

=-mgj(rB-rA)=-mg(hB-hA)=mghA-mghB

顯然，重力作功與質(zhì)點的路徑無關(guān)，只取決于路徑二端點的高度差hB-hA，因此重力是保守力。重力勢能：Ep=mgh第3章例3-4有心力作功與勢能

解：設(shè)有心力的力心為參考系原點O，一般有心力可表示為F(r)=F(r)ro

其中ro

為r

的單位矢量。有心力作功為：

A=

ABF(r)

dr

=

ABF(r)ro

dr=rA

rBF(r)dr（路徑無關(guān)）所以有心力為保守力，并且相應(yīng)的勢能僅取決于質(zhì)點至力心的距離，即

Ep=Ep(r)=-

F(r)dr第3章Ep=-

F(r)dr例如：(1)F(r)=k/r2

Ep=-

F(r)dr=k/r2dr=k/r+C對于與r成反比的勢能，在決定C時，習(xí)慣上取r=∞處的Ep∞=0，所以C=0，因而有：

Ep=k/r

此式在研究萬有引力和庫侖力時十分有用。（2）一維有心力F=-kx

（彈性力）

Ep=-

Fdx=

kxdx=kx2/2+C習(xí)慣上令x=0時，Epo=0，所以C=0，因而

Ep=kx2/2這個式子在討論振動時是很有用的。第3章§3.2能量守恒定律3.2.1功能原理假定內(nèi)力是保守的，則存在內(nèi)勢能Epi

內(nèi)勢能

——每對質(zhì)點勢能、與參考系無關(guān)當(dāng)時刻t0

t，內(nèi)力作功Ai和Epi存在關(guān)系

Ai=Epi,0-Epi

Ae+Ai=Ek-Ek0(質(zhì)點系動能定理

)

Ae+Epi,0-Epi=Ek-Ek0

Ae=(Ek+Epi)-(Ek0+Epi,0)

即功能原理：

Ae=U-U0Ek=

imivi2/2Epi=

ijij

Epij系統(tǒng)原能：U=Ek+Epi第3章

3.2.2能量守恒定律考慮孤立系統(tǒng)或外力作功為零(Ae=0)于是U=Ek+Epi=恒量即：一個孤立質(zhì)點系的動能和內(nèi)勢能之和(即原能)恒保持不變。這個重要結(jié)論稱為能量守恒定律。

到目前為止，這個定律是作為動量守恒和內(nèi)力為保守力這個假設(shè)的結(jié)果而出現(xiàn)的。然而，我們在宇宙中所觀察到的所有過程中，這個定律都是成立的，因此可認(rèn)為它已超出了我們在敘述它對所曾采用過的特殊假設(shè)而是普遍成立的定律。第3章

若作用在質(zhì)點系上的外力也是保守力Ae=Epe,o-Epe

式中Epe和Epe,o分別為時間t和to時與外力相關(guān)的勢能。因此：

Epe,o-Epe=U-Uo

U+Epe=(U+Epe)。質(zhì)點系總能量：E=U+Epe=Ek+Epi+Epe

結(jié)論：當(dāng)質(zhì)點系在保守內(nèi)力和保守外力作用下運動時，其總能量保持為恒量。

第3章

例如：兩個質(zhì)點m1和m2，它們被一彈性系數(shù)為k的彈簧聯(lián)結(jié)在一起，如果該系統(tǒng)被拋在空中（無其他外力作用），

動能：Ek=m1v12/2+m2v22/2內(nèi)勢能：Epi=kx2/2（x是一彈簧的形變）外勢能：Epe=m1gh1+m2gh2

h1、h2分別是m1和m2在地球表面上的高度系統(tǒng)原能：U=m1v12/2+m2v22/2+kx2/2

總能量：E=m1v12/2+m2v22/2+kx2/2+m1gh1+m2gh2

在運動過程中：總能量必須保持為常量。第3章

3.2.3克尼希定理資用能1、克尼希定理(1)內(nèi)動能Eki

：相對于C-參考系的動能(2)內(nèi)能Ui

：內(nèi)動能和內(nèi)勢能之和。即

Ui=Eki+Epi=(Ek+Ep)i

(3)克尼希定理在相對運動為V

的兩個參考系K，K’之間作速度變換：vi=vi’+VEk=mi

vi2/2=mi(vi’+V)2/2=mi(vi’2+V2+2vi’·V)

/2

=Ek’+MV2/2+mivi’·V第3章

Ek=Ek’+MV2/2+mivi’·V

如果K’系是C-質(zhì)心系，則

miviC’=0，V=vC

，Ek’記為Eki稱為內(nèi)動能，則Ek=Eki+MvC2/2系統(tǒng)平動動能或軌道動能：EkC=MvC2/2

表示質(zhì)量為M=∑mi的質(zhì)點以該系質(zhì)心的速度運動時的動能?？四嵯６ɡ恚嘿|(zhì)點系的總動能等于相對于質(zhì)心系的動能Eki與系統(tǒng)平動動能EkC之和。結(jié)論：系統(tǒng)的運動可以分成兩部分，之一是以質(zhì)心速度運動的平移運動，之二是相對于質(zhì)心的內(nèi)運動。第3章

讓我們再來考慮一下（1）投擲手拋出一個旋轉(zhuǎn)球的情形球?qū)Φ孛娴目倓幽苁窍鄬τ谫|(zhì)心的內(nèi)動能(它對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)動能)與相對于地面的平動動能(它對應(yīng)于軌道動能)這二者之和。（2）單個分子運動一般說來，我們感興趣的是內(nèi)運動，由于這個原因，在許多過程的描述中，我們采用C-參考系。第3章

對于由兩質(zhì)點組成的質(zhì)點系，引入相對速度的觀念u=v1-v2=v1’-v2’

是方便的。因為在質(zhì)心系中m1v1C’+m2v2C’=0可解得：v1C’=m2u/(m1+m2)

v2C’=-m1u/(m1+m2)從而相對于質(zhì)心系的動能為：

Eki

=m1v1C2/2+m2v2C2/2=(m1m22+m2m12)u2/2(m1+m2)2

=[m1m2/(m1+m2)]u2/2=

u2/2

E相對其中=m1m2/(m1+m2)稱為折合質(zhì)量第3章2、資用能近代高能物理學(xué)為了研究微觀粒子的結(jié)構(gòu)、相互作用和反應(yīng)機制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去碰撞靜止靶子中的粒子，以觀測反應(yīng)的結(jié)果，與理論互相印證。能量越高，越能反映出更深層次的信息。然而，在實驗室參考系內(nèi)EKi是不參與粒