小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)解析01-2數(shù)的整除問題

第一講數(shù)的整除問題一、根本概念和知識(shí)1.整除——約數(shù)和倍數(shù)定義：一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b〔b不等于0〕，除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)〔或者說余數(shù)是0〕，我們就說，a能被b整除〔或者說b能整除a〕。記作b｜a.否那么，稱為a不能被b整除，〔或b不能整除a〕，記作b┼a。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除〔約數(shù)b|倍數(shù)a〕，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。2.數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜〔a±b〕。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜〔10＋6〕，并且2｜〔10—6〕。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且〔b，c〕=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且〔2，7〕=1,那么〔2×7〕｜28。性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。3.數(shù)的整除特征①能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征〞包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)〔包括0〕的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)〔包括0〕.下面“特征〞含義相似。②能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0或5。③能被3〔或9〕整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3〔或9〕整除。④能被4〔或25〕整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4〔或25〕整除。例如：1864=1800＋64，因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因?yàn)?｜64，所以1864能被4整除.但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除.⑤能被8〔或125〕整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8〔或125〕整除。例如：29375＝29000＋375，因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25｜375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375。⑥能被11整除的數(shù)的特征：該數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差〔大減小〕是11的倍數(shù)。例1：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8＋6＋4＋2＝20.因?yàn)?5—20＝5，又因?yàn)?1┼5，所以11┼123456789。例2：判斷13574是否是11的倍數(shù)？解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：〔4＋5＋1〕-〔7＋3〕＝0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11｜0.因此13574是11的倍數(shù)。⑦能被7〔11或13〕整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差〔以大減小〕能被7〔11或13〕整除。例1：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍數(shù)。例2：判斷3546725能否被13整除？★解：把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進(jìn)而13｜3546725.二、例題

解：∵45=5×9，

∴根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知

∴y可取0或5。

∴滿足條件的六位數(shù)是519930或919935。

例2李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9□.2□元.□處數(shù)字相同，請(qǐng)問每支鋼筆多少元？

解：∵9□.2□元=9□2□分

28＝4×7，

∴根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知

4和7均能整除9□2□。

4｜2□可知□處能填0或4或8。

因?yàn)?9020，79424，所以□處不能填0和4；

因?yàn)?｜9828，所叫□處應(yīng)該填8。

又∵9828分=98.28元

98.28÷28＝3.51〔元〕

答：每支鋼筆3.51元。個(gè)條件的整數(shù)?！喔鶕?jù)能被11整除的數(shù)的特征可知：1+2+3+4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，即11｜〔15—5a〕.或11｜〔5a—15〕。但是15—5a=5〔3—a〕，5a—15=5〔a—3〕，又〔5，11〕=1，因此111〔3—a〕或11｜〔a—3〕。又∵a是數(shù)位上的數(shù)字?！郺只能取0～9。所以只有a=3才能滿足11｜〔3—a〕或11｜〔a—3〕，即當(dāng)a=3時(shí)，11｜15—5a。符合題意的整數(shù)只有1323334353。解：∵91=7×13，且〔7，13〕＝1。根據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或13整除的特征可知：因?yàn)椤?，10〕=1，〔13，10〕＝1，所以7，13，，13也就是7因此，用一次性質(zhì)〔特征〕，就去掉了兩組；反復(fù)使用性質(zhì)996次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被7以及13整除，當(dāng)且僅當(dāng)能被7以及13整除。又∵91的倍數(shù)中小于1000的只有91×4=364的百位數(shù)字是3，∴=364例5在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能的小。

5整除，所以它應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：

第一，數(shù)字和〔8+6＋5+a+b+c〕是3的倍數(shù)。

第三，末位數(shù)字c是0或5。

又∵能被4整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)不可能是5。

∴c只能取O.因而b只能取自O(shè)，2，4，6，8中之一。

∴a＋b除以3余2。為滿足題意“數(shù)值盡可能小〞，只需取a=0，b=2?！嘁蟮牧粩?shù)是865020。分析∵26=2×13，

∴y可能取0、2、4、5、6、8。

當(dāng)y＝0時(shí)，

＝7×13x+9x+13＋6

∴根據(jù)整除“性質(zhì)1”，有13｜9x+6，

經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x＝8時(shí)，13｜9x＋6，

∴當(dāng)y=0時(shí)，符合題意的六位數(shù)是819910。所以13整除9x＋6—2，

即13｜9x+4。

經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x＝1時(shí)，13｜9x+4。

∴當(dāng)y＝2時(shí)，符合題意的六位數(shù)是119912。

同理，當(dāng)y＝4時(shí)，13｜9x＋6-4，

即13｜9x+2，

經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng)x＝7時(shí)，13｜9x+2。

∴當(dāng)y=4時(shí)，符合題意的六位數(shù)是719914。

同理，當(dāng)y＝6時(shí)，13｜9x＋6—6。

即13｜9x.∴當(dāng)y=6