4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)課件-【基礎(chǔ)夯實(shí)與拓展提升】高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第4章

數(shù)

列4.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列的定義，能夠應(yīng)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列．2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并能熟練應(yīng)用．3.掌握等比中項(xiàng)的定義，并能夠應(yīng)用等比中項(xiàng)解決問(wèn)題．4.了解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”，類(lèi)比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，考察以下幾個(gè)數(shù)列，思考它們有何共同特征？實(shí)例1.

如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開(kāi)始，各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是：莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”實(shí)例2.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:實(shí)例3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)菌每200min就通過(guò)分裂繁殖一代，那么1個(gè)這種細(xì)菌從第一次分裂開(kāi)始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是數(shù)列:

2，4，8，16，32，64，……⑤實(shí)例4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利計(jì)算（復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，計(jì)算下一期的利息），他5年內(nèi)每年年末得到的本利和數(shù)列:

a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5

⑥數(shù)列⑥滿(mǎn)足：數(shù)列⑤滿(mǎn)足：數(shù)列④滿(mǎn)足：數(shù)列③滿(mǎn)足：數(shù)列②滿(mǎn)足：數(shù)列①滿(mǎn)足：共同特點(diǎn):從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列。

以上實(shí)例表明，這類(lèi)數(shù)列大量存在，且具有顯著的典型性；從其構(gòu)成來(lái)看和“等差數(shù)列”類(lèi)似，因此，可以由等差數(shù)列用“類(lèi)比”的方法研究該類(lèi)數(shù)列，并稱(chēng)之為“等比數(shù)列”。等差數(shù)列等比數(shù)列一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q表示。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，用d表示。an－an-1

=

d

(n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(n∈N*)若an+1=anq(n∈N+,q為常數(shù)），則數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列？反之能成立嗎？若an+1=an+d(n∈N+,d為常數(shù)），則數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列？反之能成立嗎？等差數(shù)列等比數(shù)列答：是等差數(shù)列

；反之能成立。答：不一定是等比數(shù)列

；反之能成立。公差d的取值范圍：d∈R公比q的取值范圍：q≠0d>0?{an}遞增；d<0?{an}遞減；d=0?{an}常數(shù)列。a1>0時(shí)：q>1?{an}遞增；0<q<1?{an}遞減；a1<0時(shí)：0<q<1?{an}遞增；q>1?{an}遞減；q=1?{an}常數(shù)列;q<0?{an}擺動(dòng)數(shù)列等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，即an≠0。等差數(shù)列的每一項(xiàng)an的取值無(wú)限制。等差數(shù)列等比數(shù)列等差中項(xiàng)：如果三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，那么A叫做a和b的等差中項(xiàng).等比中項(xiàng)

：如果三個(gè)數(shù)a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項(xiàng).a,A,b成等差數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列對(duì)稱(chēng)設(shè)項(xiàng)法：三個(gè)數(shù)成等差可設(shè)為a-d,a,a+d四個(gè)數(shù)成等差可設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+3d對(duì)稱(chēng)設(shè)項(xiàng)法：三個(gè)數(shù)成等比可設(shè)為aq-1,a,aq四個(gè)數(shù)成等比可設(shè)為aq-3,aq-1,aq,aq3自主練習(xí)：1.由等比數(shù)列的定義，判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，寫(xiě)出它的公比.(1)1，-3，9，-27，81，…是,公比q=-3

不是等比數(shù)列(3)

0，1，0，1；不是等比數(shù)列(4)

1，0，1，0，1，0，…不是等比數(shù)列(5)5，5，5，5，5，5，…等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為0，公比也不能為0非零常數(shù)列既是公差為0的等差數(shù)列，又是公比為1的等比數(shù)列.2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，則a4＝________.是，公比q=1答案：54答案：±1等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d通項(xiàng)公式：an=a1qn-1通項(xiàng)公式變式：通項(xiàng)公式變式：

等差數(shù)列等比數(shù)列由an+1-an=d?an+1=an+da2=a1+d;a3=a2+d=a1+2d;a4=a3+d=a1+3d;……an=an-1+d=a1+(n-1)d;∴an=a1+(n-1)da2=a1q;a3=a2q=a1q2;a4=a3q=a1q3;……an=an-1q=a1qn-1;∴an=a1qn-1不完全歸納法等差數(shù)列等比數(shù)列驗(yàn)證

n=1時(shí)，上式成立累乘，得到：驗(yàn)證

n=1時(shí)，上式成立∴an=a1qn-1∴an=a1+(n-1)d累加，得到：an-a1=(n-1)d累加法累乘法例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng).例2

已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項(xiàng)am表示an.注：已知等比數(shù)列的其中兩項(xiàng)，可求得等比數(shù)列的任意一項(xiàng).自主練習(xí)：已知等比數(shù)列{an}中，a2=2,a5=16,則an=

.解：由a2=2,a5=16,得a5/a2=q5-2=q3=8,∴q=2,∴an=a2×qn-2=2×2n-2=2n-12n-1通項(xiàng)公式變式

例3數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80,第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.注意設(shè)項(xiàng)技巧。

思考在等差數(shù)列中，公差d≠0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對(duì)于等比數(shù)列，公比q滿(mǎn)足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類(lèi)似的聯(lián)系?題型一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用1．等比數(shù)列基本量的求解[例1]在等比數(shù)列{an}中，(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；解：(1)法一：由a3＝9，a6＝243，得a1q2＝9，a1q5＝243.∴a5＝a1q4＝1×34＝81.∴a5＝a3q2＝9×32＝81.∴n－1＝3，∴n＝4.方法規(guī)律：

(1)已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可以求得該數(shù)列中的任意一項(xiàng)．(2)在等比數(shù)列{an}中，若已知a1，q，n，an四個(gè)量中的三個(gè)，就可以求出另一個(gè)量．跟蹤練習(xí)：1.設(shè){an}是公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3－4＝a2，則a3＝(

)A．2

B．－2C．8 D．－8解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q＜0，∵a1＝2，a3－4＝a2，∴2q2－4＝2q，解得q＝－1，則a3＝2×(－1)2＝2.故選A.答案：A2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式及變形的應(yīng)用解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，C(2)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a2＝2，a10＝8，則a6＝(

)A．±4 B．－4C．4 D．5C方法規(guī)律：在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)．跟蹤練習(xí)：2.在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，則a5＝(

)A．12 B．18C．24 D．36解：設(shè)公比為q，∵a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，∴a3＋a3q2＋a3q4＝78，即6＋6q2＋6q4＝78，解得q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18，故選B.B題型二等比中項(xiàng)的應(yīng)用B方法規(guī)律：應(yīng)用等比中項(xiàng)解題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)要證三數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，只需證明G2＝ab，其中a，b，G均不為零．(2)已知等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)an－1，an，an＋1，則an是an－1與an＋1的等比中項(xiàng)，即an2＝an－1an＋1，運(yùn)用等比中項(xiàng)解決問(wèn)題，會(huì)大大減少運(yùn)算過(guò)程．跟蹤練習(xí)：3.已知等比數(shù)列{an}中，a3a9＝2a52，且a3＝2，則a5＝(

)A．－4 B．4C．－2D．24．已知b是a與c的等比中項(xiàng)，且abc＝27，則b等于(

)A．－3 B．3C．3或－3 D．9解：∵b是a與c的等比中項(xiàng)，∴ac＝b2.又abc＝27，∴b3＝27，解得b＝3.解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a3a9＝2a52，且a3＝2，所以2a9＝2a52.因?yàn)閍52＝a1a9，所以a1＝1，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得a1a5＝a32，BB題型三等比數(shù)列的判定例5.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(1)a3,a5,a7是否成等比數(shù)列?為什么?a1,a5,a9呢?(2)當(dāng)n>1時(shí),an-1,an,an+1是否成等比數(shù)列?當(dāng)n>k>0時(shí),an-k,an,an+k是等比數(shù)列嗎?方法規(guī)律：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(2)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)等比中項(xiàng)法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列．課堂小結(jié)等比數(shù)列的概念符號(hào)表示:1.等比數(shù)列的概念:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q表示。2.等比中項(xiàng):如果三個(gè)數(shù)a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項(xiàng).a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1qn-1變式：an＝am·qn－m達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．已知等比數(shù)列{a