幾何類壓軸題-湖北省2019-2021年3年中考真題數(shù)學(xué)分項匯編（解析版）

專題16幾何類壓軸題

一、單選題

1.（2021?湖北中考真題）如圖，在正方形A8C。中，A8=4,E為對角線AC上與A,C不重合的一個動

點，過點E作于點F,EG_LBC于點G,連接DE,FG.下列結(jié)論：

①DE=FG；②DEAJFG；③NB尸G=NADE；④尸G的最小值為3.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

延長?！?，交FG于點、N，交AB于點M，連接BE,爻FG于點。，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等

的判定定理與性質(zhì)得出DE=8E，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得BE=FG,由此可判斷①；先根據(jù)三角

形全等的性質(zhì)可得=再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得08=OF,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

/BFG=NABE,由此可判斷③；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NA￡>E+NAA1D=9O°，從而可得

ZBFG+ZAMD=9Q°,由此可判斷②；先根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)。E_LAC時，DE取得最小值，再解

直角三角形可得OE的最小值，從而可得FG的最小值，由此可判斷④.

【詳解】

解：如圖，延長。E，交FG于點N,交AB十點M，連接3E，交FG于點。，

???四邊形ABC。是正方形，AB=4，

A。=A8=4,ZABC=ABAD=90。,NBAE=ZDAE=45°,

AB=AD

在人鉆石和AADE中，,NBAE=/D4E，

AE^AE

:.^ABE=^ADE(SAS),

BE=DE,ZABE=ZADE,

ZABC=90°,EF±AB,EG±BC,

四邊形5EEG是矩形，

:.BE=FG,OB=OF,

:.DE=FG,即結(jié)論①正確；

-.OB=OF,

：.ZBFG=ZABE,

:./BFG=ZADE,即結(jié)論③正確：

QNB4￡)=90。，

.-.ZADE+ZAMD^90°,

.-.ZBFG+ZAMD-90°,

:.NFNM=9Q°，GPD￡AFG，結(jié)論②正確；

由垂線段最短可知，當(dāng)DELACH寸，OE取得最小值，

此時在RrAAOE中，DE=AD-sinZDAE=4x—=2夜，

2

又\DE=FG,

RS的最小值與OE的最小值相等，即為2加，結(jié)論④錯誤；

綜上，正確的結(jié)論為①②③，共有3個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造

全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

2.（2020?湖北省直轄縣級行政單位?中考真題）如圖，已知△ABC和AAOE都是等腰三角形，

ZBAC=ZDAE=90°,BD,CE交于點F,連接AF,下列結(jié)論：①BD=CE；②BF上CF；（3）AF

平分NC4。；④ZAFE=45°.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

①證明OBADEBCAE,再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②由EIBADEECAE可得回ABFWACF,再由

0ABF+0BGA=9O\EIBGAWCGF證得E1BFC=9O。即可判定；③分別過A作AM?BD、ANKE,根據(jù)全等三角形面積

相等和BD=CE,證得AM=AN,即AF平分團BFE,即可判定：④由AF平分I3BFE結(jié)合瓦7J_C尸即可判定.

【詳解】

解：fflBAC=（3EAD

S0BAC+SCAD=0EAD+BCAD,g|J0BAD=[3CAE

在13BAD和mCAE中

AB=AC,13BAD=0CAE,AD=AE

00BADEBCAE

I3BD=CE

故①正確;

團團BAD團團CAE

00ABF=1?1ACF

團團ABF+團BGA=90°、@BGA=@CGF

國[2ACF+團BGA=90°,

00BFC=9O°

故②正確；

D

分別過A作AM國BD、ANE1CE垂足分別為M、N

能1BAD甌CAE

SSsBAD=S[aCAE,

^-BDAM^-CEAN

22

BBD=CE

?AM=AN

0AF￥分I3BFE,無法證明AF平分ECAD.

故③錯誤；

B

E

D

EIA77平分回BFE,BFLCF

^ZAFE=45°

故④正確.

故答案為C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)以及角的和差等知識，其中正確應(yīng)用角平分

線定理是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2020?湖北荊門市?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，長為2的線段C。（點。在點C右側(cè)）在x軸上移

動A（0,2）,B（0,4）,連接AC、BD,則AC+3D的最小值為（）

2Vi0C.6屈D.3亞

【答案】B

【分析】

作A（0,2）關(guān)于x軸的對稱點A，（0,-2）,再過N作A，E取軸且A，E=CD=2,連接BE交x軸與D點，過N

作A'CEIDE交X軸于點C,得到四邊形CDEA，為平行四邊形，故可知AC+BD最短等于BE的長，再利用勾股定

理即可求解.

【詳解】

作A(0,2)關(guān)于x軸的對稱點A，(0,-2)

過/V作NEISx軸且A，E=CD=2,故E(2,-2)

連接BE交x軸與D點

過A，作NCI3DE交x軸于點C,

國四邊形CDEA，為平行四邊形，

此時AC+BD最短等于BE的長，

即AC+BD=A,C+BD=DE+BD=BE=^(2-0)2+(-2-4)2=2710

故選B.

此題主要考查最短路徑的求解，解題的關(guān)鍵是熟知直角坐標(biāo)系、平行四邊形的性質(zhì).

4.(2019?湖北黃石市?中考真題)如圖，矩形ABC。中，AC與3。相交于點E,AD-.AB=^3A,將

△A6O沿折疊，點A的對應(yīng)點為F,連接AE交6C于點G,且3G=2,在邊上有一點H,使

得BH+四的值最小，此時空=()

gB2若c#D3

------D.---------L.-------D.一

2322

【答案】B

【分析】

設(shè)BD與AF交于點M.設(shè)AB=a,AD=ga,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得I3ABE、EICDE都是等邊三角形，利用折疊

的性質(zhì)得到BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=J5a.解直角I3BGM,求出BM,再表示DM,由laADMHSGBM,

求出a=2石，再證明CF=CD=26.作B點關(guān)于AD的對稱點B，，連接&E,設(shè)B乍與AD交于點H,則此時

BH+EH=B，E,值最小.建立平面直角坐標(biāo)系，得出B(3,2月)，B|(3,-273),E(0,百)，利用待定

BH4

系數(shù)法求出直線B-E的解析式，得到H(l,0),然后利用兩點間的距離公式求出BH=4,進而求出"=丁

Cr25/3

_273

--------.

3

【詳解】

如圖，設(shè)BD與AF交于點M.設(shè)AB=a,AD=&a,

03DAB=9O°,tan13ABD=------,

AB1

I3BD=AC=7AB2+AD2=2a-回ABD=60°,

EEABE、EICDE都是等邊三角形，

ElBE=DE=AE=CE=AB=CD=a,

回將回ABD沿BD折疊，點A的對應(yīng)點為F,

團BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=J^a,

在回BGM中，00BMG=9O°,回GBM=30°,BG=2,

0GM=^-BG=1,BM=^GM=6,

fflDM=BD-BM=2a->/3,

團矩形ABCD中，BC0AD,

00ADM00GBM,

ADDM".也a2a-y[3

BGBM2G

團a=2?

用BE=DE=AE=CE=AB=CD=26,AD=BC=6,BD=AC=46,

易i正回BAF=EIFAC=[3CAD=[3ADB=EIBDF=I3CDF=3O°,

00ADF是等邊三角形，

0AC平分回DAF,

0AC垂直平分DF,

EICF=CD=2y/j,

作B點關(guān)于AD的對稱點B',連接BE設(shè)B-E與AD交于點H,則此時BH+EH=BE值最小.

則A(3,0),B(3,273)-B'(3,-273)，E(0,73).

易求直線BT的解析式為y=-Gx+V3，

E1H(1,0),

22

0BH=7(3-D+(2V3-0)=4,

故選B.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變

化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形、垂直平分線、相似三角形

的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式，軸對稱-最短路線問題，兩點間的距離公式等知識.綜合性較

強，有一定難度.分別求出BH、CF的長是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.（2021?湖北黃岡市?中考真題）如圖，正方形ABC。中，AB=1,連接AC,NACD的平分線交AD于

點&在AB上截取AF=DE,連接DF,分別交CE,AC于點G,”,點P是線段GC上的動點，PQ，AC

于點Q,連接PH.下列結(jié)論：?CE±DF；@DE+DC=AC；③EA=%AH；④+的

最小值是變.其中所有正確結(jié)論的序號是.

2

【答案】①②④

【分析】

先根據(jù)S45定理證出AADRMADCE,從而可得獷=NDCE，再根據(jù)角的和差即可判斷結(jié)論①；根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得。C=CH,AR=AH,然后根據(jù)線段的和差、等量代換即可判斷結(jié)論②；先根

據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=&，再根據(jù)OC=CH=1可得OE=A/=4〃=&-1，從而可得

E4=2-J5，由此即可判斷結(jié)論③；過點尸作尸”LCD于點M,連接先根據(jù)角平分線的性質(zhì)

可得PM=PQ,再根據(jù)兩點之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)HM_LCD時，P”+PQ取得最小值，然

后解直角三角形即可得判斷結(jié)論④.

【詳解】

解：???四邊形ABC。是正方形，AB=1，

CD=AD=l,AC=y/2,ZADC=ZDAF=90。,NACO=45°,AB//CD,

AD=DC

在^ADF和ADCE中，，ZDAF=Z.CDE=90°,

AF=DE

.-.^ADFsJ^CE(SAS),

：.ZADF=ZDCE，

ZDCE+ZDEG=180°-ZCDE=90°,

:.ZADF+/DEG=90。，

:.ZDGE=90°,即CELOF，結(jié)論①正確；

?.?CE平分NACD，CE±DF，

：.CH=DC=l,

：.ZCDH=ZCHD=ZAHF.

QAB//CD-

:"CDH=ZAFH,

：.ZAFH-ZAHF<

:.AF=AH，

\AF=DE

:.DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC,結(jié)論②正確；

?;CH=1,AC=6,

：.DE=AF=AH=AC-CH=6-1，

.?.E4=AQ-Z)E=1-(忘-1)=2-0,

.?.且=R=a.

AHV2-1

即結(jié)論③錯誤；

如圖，過點P作加，C￡＞于點M，連接

DMC

?.?CE平分ZACO，PM工CD,PQA.AC,

PM=PQ,

：.PH+PQ=PH+PM,

由兩點之間線段最短得：當(dāng)點”，只M共線時，PH+PM取得最小值，

由垂線段最短得：當(dāng)"M_LCD時，取得最小值，

歷

此時在RtKHM中，HM^CHsmAACD=sin45°=—.

2

即尸”+PQ的最小值是正，結(jié)論④正確；

2

綜上，所有正確結(jié)論的序號是①②④，

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，較難的是④，利用兩點之間線段

最短、垂線段最短得出當(dāng)LCD時，”加取最小值是解題關(guān)鍵.

6.（2020?湖北隨州市?中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點M，N分別在邊AO,

BC上,沿著用N折疊矩形ABC。，使點A,3分別落在E,尸處，且點尸在線段CO上（不與兩端點

重合），過點M作MHLBC于點H,連接8尸，給出下列判斷：?^MHN^BCF；②折痕MN的長

度的取值范圍為3<MN<?；③當(dāng)四邊形COM”為正方形時，N為“。的中點；④若DF=；DC,

則折疊后重疊部分的面積為其中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號）.

【答案】①②③④

【分析】

由題意，逐一判定，①由折疊的性質(zhì)以及等腰三.角形三線合一的性質(zhì)即可判定；②根據(jù)題意點F在線段

8上（不與兩端點重合），假設(shè)F分別在C、D兩點，即可得出其取值范圍；③由相似三角形、正方形的

性質(zhì)以及勾股定理構(gòu)建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面積和13ME0

的面枳，即可得解;

【詳解】

由折疊性質(zhì),得，BG=FG,BN=FN

0BF0MN

EBBIH=0MIG,MH±BC

E)0HBI=0GMI

00MHN=SBCF=9O°

QAMHNSRCF

故①結(jié)論正確；

假設(shè)F與C重合時，MN取得最小值，即為3；

假設(shè)F與D重合時，MN取得最大值，

醍MHNS&BCF

MHBC

田----=----

MNBF

0MH=3,BC=4,BF=dBC2+CF?=次+32=5

…15

0MN=——

4

13點F在線段CO上（不與兩端點重合）

回折痕MN的長度的取值范圍為3<MN<”

4

故②結(jié)論正確；

國四邊形CDMH為正方形

0MH=HC=3

團BH=1

中4MHNs^BCF

MHBC

回-----=-----

HNCF

令HN=x,則OV=3—x，F(xiàn)N=BN=}+x

回CF=y/FN2-NC2=J（l+x）2-（3-X）2

3________4_______

%J（1+X）2-（3-X）2

3

fflx）X2=3（不符合題意，舍去）

&HN=-HC,即N為“。的中點

2

故③結(jié)論正確；

（4）0DF=；DC,AB=CD=3

0DF=1,CF=2

?BF=JBC2+CF2=V42+22=2石

0BG=GF=75

國AMHNSRCF

MHBC

團-----=-----

HNCF

3

□HN=-

2

團團FGN甌MHN

團GN二好

2

22

用團EMO二團CNF,0MEO=0NCF=9OO

00MEO00NCF

MENC

0--=--

EOCF

4

回EO=一

3

團折疊后重疊部分的面積為：

W￡?-^￡O=1(WE+F7V)x￡F-lMExEO=^l+|jx3-|xlx|=^|

故④結(jié)論正確；

故答案為：①②③④.

【點睛】

此題主要考查矩形的折疊性質(zhì)以及相似三角形的綜合運用，熟練掌握，即可解題.

7.(2020?湖北武漢市?中考真題)如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點。落在A3邊的點M處，EF為折痕,

AB=1,AD=2.設(shè)AM的長為3用含有f的式子表示四邊形CDE尸的面積是.

【分析】

首先根據(jù)題意可以設(shè)D￡=EM=x,在三角形AEM中用勾股定理進一步可以用t表示出x,再可以設(shè)CF=y,連

接MF,所以8F=2-y,在三角形MFN與三角形MF8中利用共用斜邊，根據(jù)勾股定理可求出用t表示出y,

進而根據(jù)四邊形的面積公式可以求出答案.

【詳解】

設(shè)DE=EM=x,

回x?——(2一x)-+廠，

4

又E)F/V=y,NM=1,

Sy2+12=(2-y)2+(l-/)2,

y+4

4

1I/2+4/一2f+4

團四邊形CDEF的面積為：一（x+y）CO=上~匕工二）■1，

2244

故答案為：一『—/+1.

44

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的綜合運用，熟練掌握技巧性就可得出答案.

8.（2021?湖北襄陽市?中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O,點E在邊BC上,/F在CB

的延長線上，ZE4F=45°,AE交8。于點G,tanZBAE=-BF=2,則尸G=_____.

2f

BEC

【答案】2百

【分析】

作出如圖所示的輔助線，利用SA5證明0ADHMEW8F以及EIEAFMEJEAH,在RffiMBE中，利用勾股定理求得正

方形的邊長，再證明日BAF~B]OAG,即可求解.

【詳解】

解：如圖，在CD上取點H,使DH=8F=2,連接EH、AH,

團四邊形A8CD是正方形，

WADH=&ABC=QABF=90°,AD=AB,BBAC=SDAC=45",

SEADH=^\ABF(SAS),

EB0AH=E18AF,AH=AF,

EBEAF=45°,GP0B4F+ffl￡/?B=45°,

EBDAH+(2EA8=45°,貝峋EAH=45°,

gBEAF=RIEAH=45°,

SHEAF三MAH(SAS),

I3EF=EH,

ftpI

manZBAE=——=—,

AB2

設(shè)8E=a,貝ljA8=2a,EC=a,CH=2a-2,EF=EH=a+2,

在Rt^CEH中，EC2+CH2=即2,即。2+(2々_2)2=(a+2)2,

解得：a=3,

貝ljAB=AD=6,BE=EC=3,

在RtflWBE中，AB2+BE2=AE2,

ME=3下,

同理4F=2JI6，

AO=ABsin45°=372，

回8S0AD,

EGBE1

0---=----=一，

AGAD2

MG=275，

,AO_3丘_3版AB_6_3710

^G~2^5~10^F~2y/W~10

AOAB

0---=---，

AGAF

00E4F=0B4C=45°,

團團84F二團。八G,

國團84F?團04G,

^AG:AF=AO:AB=l：y/2，

SBGAF=^OAB=45°,

03GAF是等腰直角三角形，

回FG=AG=2V5，

故答案為：2舊.

【點睛】

本題主要考查了四邊形綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?湖北恩施土家族苗族自治州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為：

A（-2,0）,C（l,-2）,已知N（—1,0）,作點N關(guān)于點A的對稱點M，點N1關(guān)于點3的對稱

息N”點以關(guān)于點C的對稱點N；,點N,關(guān)于點A的對稱點N&,點3關(guān)于點3的對稱點N5,依

此類推，則點N2020的坐標(biāo)為.

y

【答案】(-1,8)

【分析】

先求出Ni至N6點的坐標(biāo)，找出其循環(huán)的規(guī)律為每6個點循環(huán)一次即可求解.

【詳解】

解：由題意得，作出如下圖形：

N點坐標(biāo)為(-1,0),

N點關(guān)于A點對稱的Ni點的坐標(biāo)為(-3,0),

Ni點關(guān)于B點對稱的NZ點的坐標(biāo)為(5,4),

點關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為

N2CN3(-3,8),

N3點關(guān)于A點對稱的N4點的坐標(biāo)為卜1,8),

岫點關(guān)于B點對稱的Ns點的坐標(biāo)為(3,-4),

Ns點關(guān)于C點對稱的N6點的坐標(biāo)為(-1,0),此時剛好回到最開始的點N處，

由其每6個點循環(huán)一次，

團2020+6=336……4,

即循環(huán)了336次后余下4,

故以020的坐標(biāo)與N4點的坐標(biāo)相同，其坐標(biāo)為(-1,8).

故答案為：㈠⑻.

【點睛】

本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的對稱規(guī)律問題，本題需要先去驗算前面一部分點的坐標(biāo)，進而找到其循

環(huán)的規(guī)律后即可求解.

10.(2019?湖北武漢市?中考真題)問題背景：如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AM坦，DE與

BC交于點P,可推出結(jié)論：PA+PC=PE

問題解決：如圖，在AMNG中，MN=6,NA/=75°,MG=4上.點。是&WNG內(nèi)一點，則點。到

\MNG三個頂點的距離和的最小值是

【答案】2。

【分析】

如圖，將回MOG繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到回MPQ,易知日MOP為等邊三角形，繼而得到點。到三頂點的

距離為：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,由此可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點N、。、P、Q在同一條直線上時，有ON+OM+

0G最小，此時，0NMQ=75°+6O°=135°,過Q作QAEINM交NM的延長線于A,利用勾股定理進行求解即

可得.

【詳解】

如圖，將13MoG繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到團MPQ,

顯然回MOP為等邊三角形，

0,OM+OG=OP+PQ,

田點0到三頂點的距離為：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,

12當(dāng)點N、。、P、Q在同一條直線上時，有ON+OM+OG最小,

此時，0NMQ=75°+6O°=135O,

過Q作QA0NM交NM的延長線丁A,則13MAQ=90。，

00AMQ=18OQ-0NMQ=45°,

（3MQ=MG=40,

0AQ=AM=MQ?cos45°=4,

團NQ=y/AN^AQ2=7（4+6）2+42=2729，

故答案為2月.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，最短路徑問題，勾股定理，解直角三角形等知識，綜合性較強，有一定的難度,

正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2021?湖北襄陽市?中考真題)在AMC中，NACB=90°,—=m,。是邊BC上一點，將△A3。

BC

沿折疊得到連接BE.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)m=1,AE落在直線AC上時，

①求證：/DAC=NEBC；

CD

②填空：---的值為______;

CE

(2)類比探究：如圖2,當(dāng)機Hl,AE與邊BC相交時，在AD上取一點G,使ZACG=NBCE,CG

交AE于點探究的值(用含加的式子表示)，并寫出探究過程；

萬

（3）拓展運用：在（2）的條件下,當(dāng)m=注，。是8C的中點時，若EBEH=6,求CG的長.

2

【答案】（1）①見解析；01；（2）——=m,見解析；（3）CG=V2

CE

【分析】

CD

（1）①根據(jù)折疊性質(zhì)證明即可；②當(dāng)加=1,證明AAC￡＞之ABCE,即可得出一五的值；

（2）延長AO交屬于點尸，根據(jù)折疊性質(zhì)證明AACG^ABC￡，即可得出結(jié)論：

（3）由（2）可知型=生=生=m=也，設(shè)CG=x,則46=岳，CE=?，BE=2x,

BECEBC2

可得△AGUgZSEC"，再由勾股定理列方程求解即可.

【詳解】

解：（1）①證明：延長AD交BE于點F.

由折疊得ZAFB=90°=ZACB.

回ZZMC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

0ZADC=NBDF,

B1ZDAC=ZEBC.

Ar

②當(dāng)m=1,即=1時，

可知AC=BC,

在△AC。和ABCE中,

ZDAC=ZEBC

ZACD=NBCE=90°,

AC=BC

0AACD^^BCE(AAS),

0CD-CE,

CD,

回——=1.

CE

故答案為：1；

(2)解：=

CE

理由：延長AO交于點尸，

由折疊得ZAFB=90°=ZACB.

0ZADC+ADAC=ZBDF+Z.CBE=90°,

團ZADC=NBDF,

⑦NDAC=NCBE,

0ZACG=/BCE,

團AACGSABCE，

CGAC

S......-------m.

CEBC

(3)解：由折疊得NAFB=90°,BF=FE，

團。是BC的中點，

0DFHCE,

圖/BEC=NBFD=90°,ZAGC=NECG，ZGAH=ZCEA.

由（2）知△ACGsABCE，

0ZAGC=ZJ?EC=90°,

AGCGACV2

—-===m=—>

BECEBC2

QO是3c的中點，

AC后

0---=<2,

CD

CGi「DC1

0=tanNGAC==-尸,

AGACV2

設(shè)CG=x，則AG=&x，CE=yfix,BE=2x，

0AG-CE，

ZGAH=ZHEC,ZAHG=ACHE,

RAAGH公LECH，

0AH=EH，GH=CH,

^\GH=-x,

2

在RS4G”中，由勾股定理得A”=JAG2+G02=>X=EH,

2

0EB-EH-6，

3

團2x?一冗=6，

2

解得x=±0（負值舍去），

0CG=V2.

【點睛】

本題為三角形綜合題，考查折疊的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等

知識點，根據(jù)折疊性質(zhì)找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?湖北宜昌市?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，E是邊AB上一點,BE=BC,EFVCD,

垂足為F.將四邊形CBEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)2（0°<?<90°）,得到四邊形CB'E'F'.EE所在的直線

分別交直線8C于點G,交直線AO于點P,交CO于點K.E尸所在的直線分別交直線8C于點”，

交直線AO于點。，連接8,'交CD于點0.

(1)如圖1,求證：四邊形區(qū)EFC是正方形；

(2)如圖2,當(dāng)點。和點。重合時.

①求證：GC^DCi

②若OK=1,CO=2,求線段GP的長；

(3)如圖3,若BM//FF交GP于點M，tanZG--,求旨曳的值.

2'△CF'H

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②6君；(3)12-：1

【分析】

(1)先利用三個角是直角的四邊形是矩形證明，再根據(jù)5E=BC證得結(jié)論；

(2)①證明ACGB'三△€/>/即可得到結(jié)論；

②方法一：設(shè)正方形邊長為。，根據(jù)△B'KO~AF'CO,求出B'K=4B'C=La,利用勾股定理得到

22

BM+B,C?=CK?，求出。，得到8'C=e叵，8'K=主叵，根據(jù)△B'KCSECKG,求出KG,再根據(jù)

55

△PKD里4KC,求出答案；

方法二：過點尸作于點M,根據(jù)CG=C。，CO=2CK求出CG=6，由PM=2CK=6,

GM=12,再利用勾股定理求得結(jié)果：

F'H1

(3)方法一：延長方「與8”的延長線交于點R,證明AGBM~￡RF',求出——=—，設(shè)/H=x,

CF'2

CE'=2x，則C”=6,證明△疫'C~ARF'"，求得SQR=2SQ，H=2X2,由AGB,C~AGE，H,

求出GB=2(、6—1)X,利用△GBM-ACRF'，求吐&^=6-2件即可得到答案；

SACF'R5

方法二，過點8作BN_LPG，垂足為點N.設(shè)FH=x，則CF=B'?=E'F'=3C=2x，GB'=4x，

求得S.GBN=(空［=4(6—2百)證明△G3N~AGCB',求出絲=上15,再證明

S.CHF，VCH)5GC5

AMBN~AB'F'C，求出答案；

方法三：設(shè)A3與交于雙點，設(shè)切=x,則CF=C8'=B'E'=E'尸=8C=2x,GB'=4x,證

c(A29(6—2>/5)1

明AMBN?HOC，得到之地乂=吧=」_______Z,根據(jù)久GBN=不xbGxBN,求出答案.

S"\C0)202

【詳解】

(1)在矩形ABCO中，ZB=NBCD=90°，

S1EF±AB-則NEFB=90°，

回四邊形3EEC是矩形.

SBE-BC>

團矩形5EFC是正方形.

(2)①如圖1,

0NGCK=ZDCH=9Q。,

0ZCDF'+NH=90°，ZKGC+ZH=90°，

◎NKGC=NCDF',

又回5'C=b',ZGB'C=ZCF'D,

國ACGBGCDF',

0CG=CD.

圖1

②方法一：設(shè)正方形邊長為

EIPGEICF，

限B'KO?HCO,

B'KOKI

國----=----=一，

CF'CO2

^B'K=-B'C=-a，

22

團在R/AB'KC中，B'K2+B'C2=CK2>

2(1Y2

加2+一。=32,

(2)

5

1aBe=述，B'K=—，

55

12NCB'K=ZGCK=90°,ZB'KC=ZGKC,

^^B'KCWCKG,

QCK?=B'KKG,

0KG=3下,

回=L=KE；NDKE'=ZB'KC,ZDE'K=ZKB'C,

2

WB'CKSSE'KD,

?DK=KC,

又00DKP=E1GKC,0P=0G,

回APKDNAGKC,

國PG=KG,

團PG=6折

方法二：如圖2,過點尸作PMLGH于點、M，

由4加上。。/7',

可得：CG=CD，

由方法一，可知CD=2CK,

團CG-6,

由方法一，可知K為GP中點，從而PM=2CK=6,GM=12,

從而由勾股定理得PG=675.

圖2

（3）方法一：如圖3,延長B/'與8”的延長線交于點R,

由題意可知，CF7/GP-RB'//BM，

0△GBM?KRF',/G=/F'CR，

F'H1

團tanNG=tanNF'CH=------=—,

CF'2

設(shè)/H=x,CF'=2x,則C”=&x，

0CB'=CF'=E'F'=B'E'=BC=2x，

自CB'NHE'，

0△RB'CfRF'H,

回_F__'H__=__R_H_=__R_F_'=—1

B'CRCRB'2'

0cH=RH、B'F'=RF'，

團CR=2CH=2亞x，S.CFR=2S.CF〃=2x2,

SCB7/HE'.

睚GB'C~AGE'H,

GCB'C2x2

回----------————,

GHE'H3x3

G8+2x_B'C_2

1GB+2x+45x~E'H~3'

l?）G5=2（V5-l）x,

⑦AGBM~&CRF’，

回SACF*=2sAe尸〃，

?S.GMB12-46

-S5

方法二，如圖4,過點3作BN_LPG,垂足為點N.

由題意可知，CF'HGP,HE'//BN,

自JJBNfCHF',

4=回，

sCHE、\CH）

0CF7/GP，

@ZNGB=/F'CH,

FHi

0tanZG=tanZF'C//=—=—=-,

GB,CF2

設(shè)FH=x，則CF'=B'E'=E'F'=BC=2x,GB'=4x,

⑦CH=&,CG=20,則G8=2（逐一l）x,

「2心一l）x[4（6-2^）

也

S.CHF、VCH\/5x5

\0

0S△VCFF.nH=-2CF'FH=x2,

46-2

團c

---------X2，

°dGBN5

置HE'I/BN,

04GBN?AGCB'，

GBBN2(V5-1)%5-45

及一1_2亞x_5

SCB7/BN,BMIIB'F',CF'//GB',

0aMBN~WF'C,

aS.MBN;儂丫J5-75?=6-2、

S.BFCIcB'J[5)5

6_2^_2(6-2^)

D^MBN_5D^BFC.5人

日s-sS"2碼2(6-2^)2(6-275)

°AMBG-QANBGQAMBN一5人5人一5人

目S&GMB_12-4石

V—5

°^CF,HJ

方法三：如圖5,設(shè)A3與尸。交于N點，

設(shè)FH=x,則CF=CB=BE=EF=BC=2x,GB'=4x,

由題意可知，CF,HGP，BMUB'F',BN//CO,

0AMBN?HOC,

q（BN

團。AMBN、

二q

0^F'OC

由方法（2）可知，GB=2（6-l）x,

所以BN=（逐一l）x,

又12co=2CK=2行x,

33

用2網(wǎng)/BN]2_9（6-26）

SHOCIC。J20

9g2灼4

團c

Q&BMN=----------X-

203

222

咯GBN=|XBGXB/V=（V5-1）X=（6-2V5）X,

/c,3（6-2灼2（6-275）

2

口SAGBM=SAGBN-SANBM=k-2近b2__L^—LX2X，

5

1,

2

0SACF.H=-XCF'XF'H=X,

:,|S-GMB_12-4后

s~5

°KF'H）

DQ

圖5

【點睛】

此題考查正方形的判定定理及性質(zhì)定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合掌握各知識點并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?湖北武漢市?中考真題）問題提出如圖（1）,在AAbC和AOEC中，ZACB=ZDCE=90°,

BC=AC,EC=DC,點E在AMC內(nèi)部，直線AO與交于點E,線段A/,BF,CF之間存

在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當(dāng)點。，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示A尸，BF,

CF之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當(dāng)點。，廠不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展如圖（3）,在AA5c和ADEC中，NACB=/￡＞（”=90°,BC=kAC,EC=kDC（k是

常數(shù)），點七在△ABC內(nèi)部，直線AO與BE交于點F,直接寫出一個等式，表示線段AE,BF,CF之

間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）BF-AF=CCF.（2）見解析；問題拓展：BF-k-AF^\ll+k2CF

【分析】

（1）先證明OBCEBMCD,得到AF=8E,BF-BE=BF-AF=EF=yJiCF-

（2）過點。作CG_LC產(chǎn)交3E十點G,證明"8=4ACF合ABCG，△CGb是等腰直角

三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可.

【詳解】

問題探究（1）BF-AF=\[2CF理由如下：如圖（2）,

00BC4=0ECF=9O",

甌BCE=MCF,

E)eC=4C,EC=CF,

SBCESBACF,

田BE=AF,

&BF-BE^BF-AF=EF=也CF；

(2)證明：過點。作CGJ_CE交班于點G,則ZFCG=NACB=90°,

團NBCG=ZACF.

⑦ZACB=NDCE=9O°,

S1NBCE=NACD.

又回AC=BC，DC=EC，

El△ACO三△BCE,

&ZCAF=ZCBG.

aAACF^zXBCG.

0AF=BG，CF=CG,

0ACGF是等腰直角三角形.

由GF=6CF.

EBF-AF=BF-BG=GF=/iCF,

問題拓展BF-k.AF=n^CF.理由如卜:

甌8a/ECD=90°,

團團8CE=MCD,

08C=MC,EC=kCD,

WBCE^ACD,

團團E8C=團E4C,

過點C作CMJ_b交BE于?點M,則NFCM=ZACB=90°,

0Z5CM=ZACF.

00BCM0EWCF,

^BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,

^BM=kAF,MC=kCF,

^BF-BM=MF,MF=y/MC2+CF2=y]k2CF2+CF2=Jl+FcF

SBF-kAF=yJ[+^CF-

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，二角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟

練掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.(2020?湖北省直轄縣級行政單位?中考真題)實踐操作：第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點D

的直線折疊，使點A落在CD上的點4處，得到折痕。E,然后把紙片展平.第二步：如圖2,將圖1中

的矩形紙片ABC。沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AO上的點C處，點B落在點*處,得到折痕EF,

"C'交A3于點M,C'F交DE于點N,再把紙片展平.

圖1圖2

問題解決：

(1)如圖1,填空：四邊形AE4'。的形狀是

（2）如圖2,線段MC'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由；

（3）如圖2,若AC'=2cm,DC'=4cm,求OMEN的值.

2

【答案】（1）正方形；（2）MC=ME,見解析；（3）y

【分析】

（1）有一組鄰邊相等且一個角為直角的平行四邊形是正方形：

（2）連接EC',由（1）問的結(jié)論可知，AD=BC,ZE4C'=NB=90°，乂因為矩形紙片A8CD沿過

點E的直線折疊，可知折疊前后對應(yīng)角以及對應(yīng)邊相等，有N9=NB，F(xiàn)C'=BC，

AE=B'C',NEAC=ZB'=90°,可以證明Rt^EC'A和Rt^CEB'余等，得到ACEA=ZEC'B',從而

有"C'=ME；

（3）由RsECA注RsC'EF，有AC'=B'E；由折疊知，AC'=BE,可以計算出AB=8（cm）；用勾

股定理計算出DF的長度，再證明△OVRs△硒G得出等量關(guān)系，從而得到ZW：RV的值.

【詳解】

（1）解：0488是平行四邊形，

3ADHBCHEA，AE//DA

回四邊形AEAD是平行四邊形

回矩形紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在8上的點A'處

⑦△AE*AAED

^AE=AE

國NA=90。

團四邊形的形狀是正方形

故最后答案為：四邊