三元一次方程組的解法

*8.4三元一次方程組的解法初中數(shù)學(xué)七年級下冊人民教育出版社2011版例：小明手頭有12張面額分別為10元、20元、50元的紙幣，共計(jì)220元，其中10元紙幣的數(shù)量是20元紙幣數(shù)量的4倍.求10元、20元、50元紙幣各多少張.問題中含有幾個(gè)未知數(shù)？有幾個(gè)相等關(guān)系？

小明手頭有12張面額分別為10元、20元、50元的紙幣，共計(jì)220元，其中10元紙幣的數(shù)量是20元紙幣數(shù)量的4倍.求10元、20元、50元紙幣各多少張.分析：一、這個(gè)問題中包含有

個(gè)相等關(guān)系：（1）、10元紙幣張數(shù)＋20元紙幣張數(shù)＋50元紙幣張數(shù)＝12張，

x+y+z=12①（2）、10元的金額＋20元的金額＋50元的金額＝220元，

10x+20y+50z=220②（3）、10元紙幣的張數(shù)＝20元紙幣的張數(shù)的4倍。

x=4y③

二、這個(gè)問題中包含有

個(gè)未知數(shù):10元（x）、20元（y）、50元（z）紙幣的張數(shù).12張220元4倍33觀察方程①、②你能得出什么？都含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做三元一次方程.x+y+z=12①10x+20y+50z=220②x=4y③這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把這三個(gè)方程合在一起，寫成

x+y+z=12，

10

x+20y+50z=220x=4y這個(gè)方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

如何解這個(gè)三元一次方程組呢？

x+y+z=12

10

x+20y+50z=220x=4y提示：是不是類似于解二元一次方程組先把三元化為二元，再把二元化為一元呢？【例1】解三元一次方程組3x＋4z=7，①2x＋3y＋z=9，②5x－9y＋7z=8.③分析：方程①中只含x,z,因此，可以由②③消去y，得到一個(gè)只含x，z的方程，與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.3x＋4z=7，①

2x＋3y＋z=9，②

5x－9y＋7z=8.③解：②×3＋③，得

11x＋10z=35④①與④組成方程組3x＋4z=7，11x＋10z=35.解這個(gè)方程組，得x=5，z=-2.把x＝5，z＝-2代入②，得y=因此，這個(gè)三元一次方程組的解為x=5，y=z=-2.【例2】.在等式y(tǒng)=ax2＋bx＋c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60.求a,b,c的值.

解：根據(jù)題意，得三元一次方程組a－b＋c=0，①4a＋2b＋c=3，②25a＋5b＋c=60.③②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤④與⑤組成二元一次方程組a＋b=1，4a＋b=10.解這個(gè)方程組，得a=3，b=-2.把代入①，得a=3，b=-2.c=-5因此a=3，b=-2，c=-5.解法小結(jié)：三元一次方程組代入消元加減消元二元一次方程組加減消元代入消元一元一次方程1.解三元一次方程組的基本思路：2.解三元一次方程組時(shí)通過觀察各方程中相同未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)確定消除目標(biāo)：（1）見二找缺，缺誰消誰。（2）兩兩相配，簡易雙搭。解三元一次方程組x＋y－z＝6，x－3y＋2z＝1，3x＋2y－z＝4.①②③【答案】獨(dú)辟蹊徑x＋y＋z＝18方法1：代入法

方法2：加減法

方法3：解：②-①X6，得2x=10，x=5把x=5代入①，得y＋z＝13④

③-④，得

y＝7把x=5，y＝7代入①，得z＝6

X=5因此，這個(gè)三元一次方程組的解為y＝7z＝62y＋z＝208x＋6y＋6z＝118①②③

解方程組則X=______，y=______，z=______。【解析】通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采?、?②+③得到2x+2y+2z=16，即x+y+z=8然后再將①、②、③分別代入這個(gè)方程求出x,y,z.x＋y＝10y＋z＝5z＋x＝1.【答案】37-2①②③3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【解析】通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取兩個(gè)方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.選D作業(yè)設(shè)計(jì)教材106頁必做題：習(xí)題8.4第1、2、3題選做題：習(xí)題8.4第4、5題

用智慧的雙眼觀察世界活學(xué)活用應(yīng)對問題教師寄語制作人：霍泰波電話題：自然課上老師要求同學(xué)們觀察動(dòng)物，小明捉了蜘蛛、蜻蜓和蟬三種動(dòng)物18只，共有118條腿，20對翅膀，請問小明捉了多少只蜻蜓？

解：設(shè)小明捉了x只蜘蛛、y只蜻蜓和z只蟬，可得方程組由③，得z=20-2y④將④分別代入①、②，得x＋y＋（20-2y）＝188x＋6y＋6（20-2y）＝118x＋y＋z＝188x＋6y＋6z＝1182y＋z＝20①②③返回問題：自然課上老師要求同學(xué)們觀察動(dòng)物，小明捉了蜘蛛、蜻蜓和蟬三種動(dòng)物18只，共有118條腿，20對翅膀，請問小明捉了多少只蜻蜓？

解：設(shè)小明捉了x只蜘蛛、y只蜻蜓和z只蟬，可得方程組①x8-②，得2y+2z=26

④將