函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)yx0abc

嚴格地說,對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x),如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時，

(1)若f(x1)<f(x2),那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).

(2)若f(x1)>f(x2),那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

直觀地來看,如圖從a到b曲線是上升的,說函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù);從b到c曲線是下降的,說函數(shù)f(x)在區(qū)間(b,c)上是減函數(shù).

yx0abc

觀察曲線上升的時候,每一點的切線的斜率的大小;曲線下降的時候,每一點的切線的斜率的大小,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

我們已經(jīng)知道,曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導數(shù).

從函數(shù)y=x2-4x+3的圖像可以看到:yxo11－1

在區(qū)間(2,+∞)內(nèi),切線的斜率為正,函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而增大,即>0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)為增函數(shù).

在區(qū)間(-∞,2)內(nèi),切線的斜率為負,函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小,即<0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,2)內(nèi)為減函數(shù).aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0由上我們可得以下的結(jié)論:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常函數(shù).

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)有導數(shù),如果在這個區(qū)間內(nèi)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果在這個區(qū)間內(nèi)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.例1、已知導函數(shù)的下列信息：當1<x<4時，>0;當x>4,或x<1時，<0;當x=4,或x=1時，=0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀。O14xyy=f(x)臨界點說明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間,故求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義域,在求出使導數(shù)的值為正或負的x的范圍時,要與定義域求兩者的交集.(2)求導數(shù)利用導數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟:(4)寫出單調(diào)區(qū)間(3)解不等式:或解不等式.(1)求的定義域D（研究函數(shù)要在定義域內(nèi)研究）課堂練習：1、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：2.函數(shù)的圖象如圖所示,試畫出導函數(shù)圖象的大致形狀3.討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.-11-22-