應用統(tǒng)計學(陶立新)第4章 統(tǒng)計描述

統(tǒng)計描述

第四章第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示目錄第一節(jié)總體規(guī)模的描述（總量指標）第二節(jié)對比關系的描述（相對指標）第三節(jié)集中趨勢的描述（平均指標）第四節(jié)離散程度的描述（變異指標）第五節(jié)分布形態(tài)的描述

1/18/20242第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示第一節(jié)總體規(guī)模的描述（統(tǒng)計絕對數）

一、總量指標的概念

二、總量指標的分類

三、總量指標的計算1/18/20243第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示一、總量指標的概念總量指標是反映在一定時間、空間條件下某種現象的總體規(guī)模、總水平或總成果的統(tǒng)計指標。該指標通常以絕對數形式表現。

總量指標是國民經濟管理和企業(yè)經濟核算的基礎性指標，同時也是計算相對指標和平均指標的基礎。1/18/20244第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示二、總量指標的分類1/18/20245第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示總體單位總量指標：是指一個總體中所包含的總體單位的總個數，表示總體本身規(guī)模的大小?？傮w標志總量指標：是指總體中各單位某一數量標志值的總和。1/18/20246第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示1/18/20247第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示時期指標：反映總體在某一段時間內連續(xù)變化過程中達到的總數量。時點指標：反映總體在某一時刻（瞬間）上所存在的總數量。1/18/20248第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示時期指標和時點指標的區(qū)別指標數值的搜集是否連續(xù)登記指標數值是否可以累計指標數值是否與時間長度有關1/18/20249第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示按計量單位的不同

實物指標

價值指標

勞動量指標

1/18/202410第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示實物單位是根據事物的屬性和特點而采用的計量單位，有自然單位、度量衡單位和標準實物單位等。1.自然單位例如，輛、人、件、臺。。。。。。2.度量衡單位例如，噸、公里、平方米、毫升。。。。3.標準實物單位如把含氮量不同的化肥都折合成含氮100%的標準化肥；把各種能源都折合成熱量值為7000千卡／公斤的標準煤等1/18/202411第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示4.復合單位：復合單位是兩個單位的乘積。如貨物周轉量用“噸公里”計量；電的度數用“千瓦時”計量等。5.雙重或多重計量單位：即用兩種或兩種以上的單位結合起來進行計量。如起重機的計量單位是“臺／噸”；貨輪用“艘／馬力／噸位”計量。

1/18/202412第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示

價值單位是用貨幣來度量社會財富或勞動成果的一種計量單位，又叫貨幣單位。例如：國內生產總值、社會商品零售額、產品成本等。1/18/202413第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示勞動量單位是用勞動時間表示的計量單位，它是用生產工業(yè)產品所必需的勞動時間來計量生產工人的勞動成果。例如：工日、工時等。8：461/18/202414第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示(一)計算方法1、直接計算法2、間接推算法因果關系推算法比例關系推算法平衡關系推算法利用樣本資料來推斷總算總量指標三、總量指標的計算1/18/202415第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（二）計算原則科學性可比性統(tǒng)一性1/18/202416第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示第二節(jié)對比關系的描述

（統(tǒng)計相對數）一、相對指標及其計量形式二、相對指標的種類及其計算方法三、相對指標的計算原則1/18/202417第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示一、相對指標及其計量形式（一）相對指標的概念

相對指標又稱“相對數”，是兩個有相互聯系的指標數值之比。用于對比的分子分母可以是絕對數、相對數或平均數。

相對指標是用來反映相關事物之間數量聯系程度的綜合指標。例如，經濟發(fā)展速度、人口密度、人口出生率等。1/18/202418第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（二）相對指標的作用相對指標的作用可以概括為以下三點：1、可以反映總體內在的結構特征，為深入分析事物的性質提供依據2、通過數量之間的對比，可以反映事物間的關聯程度、發(fā)展程度3、可以把現象的絕對差異抽象化，使原來無法直接對比的指標變得可比1/18/202419第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（三）相對指標的計量形式1.無名數例如：系數、倍數、百分數、成數、翻番數等。2.有名數有名數：一般是由對比的分子與分母的計量單位組合而成。例如大部分強度相對指標就是用有名數表示的1/18/202420第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示二、相對指標的種類及其計算方法（一）計劃完成程度相對指標

1、概念

計劃完成程度相對數又稱計劃完成百分數。是將總體在一定時期內的實際完成數與相應的計劃規(guī)定數相比較，用以表明計劃完成情況的相對指標，通常用百分數(%)表示。

2、計算公式（公式4.1）1/18/202421第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示由于計劃任務數有絕對數、相對數和平均數三種表現形式，因此，計劃完成程度相對指標有以下幾種計算方法。計劃任務數為絕對數時【例4.1】某電器商場2011年計劃銷售電腦2000萬元，實際銷售了2200萬元。問該商場的計劃完成情況如何？1/18/202422第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示計劃任務數為平均數時【例4.2】2010年某服裝企業(yè)生產甲種服裝計劃單位成本200元，實際單位成本160元。問該企業(yè)單位成本的計劃完成情況如何？1/18/202423第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示計劃任務數為相對數時（?。┊斢媱澣蝿諗当憩F為提高率時【例4.3】某大型設備生產車間計劃勞動生產率比去年提高10%，而實際提高了13%，問該車間勞動生產率的計劃完成程度如何？1/18/202424第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（ⅱ）當計劃任務數表現為降低率時【例4.4】某工廠生產甲產品，去年的實際成本為500元，今年計劃成本降低5%，而實際降低了7%，問該工廠成本的計劃完成情況如何？1/18/202425第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示3、計劃完成程度相對指標的應用計劃執(zhí)行進度的檢查當計劃執(zhí)行至某一時間，想檢查計劃是否均衡或按計劃執(zhí)行，以便及時發(fā)現問題，則應計算計劃執(zhí)行進度相對數和時間進度相對數，公式為：（公式4.6）1/18/202426第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示時間進度=注：要評價計劃執(zhí)行進度的好壞，就要使計劃進度與時間推進相適應。

【例4.5】某市2010年第三產業(yè)增加值年度計劃為2000萬元，前兩個季度的實際完成量分別為350萬元和500萬元，則計劃執(zhí)行進度如何？1/18/202427第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示中、長期計劃的檢查檢查與考核的方法有累計法和水平法兩種：累計法：當計劃任務數是規(guī)定在整個計劃期間應完成的累計數時，用累計法檢查計劃的完成情況。其公式為：1/18/202428第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.6】某地區(qū)“十五”期間，計劃五年固定資產投資總額150億元，實際各年投資情況如下表。問該地區(qū)“十五”期間固定資產投資的計劃完成情況如何？年份19961997199819992000固定資產投資額29.432.639.148.960表1某地區(qū)“十五”期間固定資產投資的完成情況（單位：億元）1/18/202429第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示水平法：當計劃任務數是規(guī)定計劃期末那一年應達到的水平時，用水平法檢查計劃的完成情況。其公式為：注：采用水平法檢查計劃執(zhí)行情況時，需要計算提前完成計劃的時間。在水平法下，只要在連續(xù)一年的時間內，實際完成數達到了計劃規(guī)定的末期水平，就可以計算提前完成時間。1/18/202430第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.7】按某企業(yè)的五年計劃規(guī)定，最后一年的產量應達到720萬件，實際執(zhí)行情況如下表所示。問該企業(yè)產量的五年計劃完成情況如何？如果提前完成計劃，提前了多少時間完成？年份第一年第二年第三年第四年第五年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度產量300410530150160170180190190210210表2某企業(yè)五年計劃的完成情況（單位：萬件）1/18/202431第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（二）結構相對指標1、概念結構相對指標，又稱結構相對數或比重，它是在總體分組的基礎上，將總體的某一部分數值與總體的全部數值之比而得到的結果，用以反映總體內部的構成情況。一般用百分數或系數表示。2、計算公式1/18/202432第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示3、結構相對指標的作用

說明在一定的時間、地點和條件下，總體的結構特征

不同時期結構相對數的變化，可以反映現象的發(fā)展趨勢及演變規(guī)律根據結構相對數的大小，可反映現象總體的質量以及人、財、物的利用情況利用結構相對數，有助于分清主次，確定工作重點1/18/202433第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（三）比例相對指標1、概念比例相對指標，又稱為比例相對數，是同一總體內不同組成部分的指標數值之比。

該指標用來表明總體中各組成部分之間的協調平衡狀況及比例關系的，一般用系數、倍數或百分數來表示，也可以用連比的形式表示。1/18/202434第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示2、公式3、比例相對指標的作用

可反映總體內各組成部分之間的數量聯系程度和均衡狀況。對國民經濟宏觀調控具有重要意義

1/18/202435第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（四）比較相對指標1、概念比較相對指標，又稱比較相對數，是反映同類現象在相同時間、不同空間條件下的數量對比關系，一般用倍數或百分數表示。

利用比較相對數，可以揭示現象之間的差別程度，從而為決策提供依據。

2、計算公式1/18/202436第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（五）強度相對指標1、概念強度相對指標，又稱強度相對數，是由同一時期內兩個性質不同但有一定聯系的總量指標之比。該指標是用來反映現象的強度、密度和普遍聯系程度的。2、計算公式1/18/202437第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示注：在應用強度相對指標的過程中，可根據需要將對比的分子與分母互換，即產生了正指標和逆指標兩種計算形式。正指標是指強度相對指標的數值大小與現象的強度或密度成正向變化；逆指標是指強度相對指標的數值大小與現象的強度或密度成反向變化。1/18/202438第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示3、強度相對指標的作用（1）可反映現象發(fā)展的強度、密度和普遍程度。（2）能說明一個國家、地區(qū)與部門的經濟實力或為社會服務的能力。（3）可用來反映社會生產活動的條件或效果。1/18/202439第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（六）動態(tài)相對指標1、概念

動態(tài)相對指標，又稱動態(tài)相對數或發(fā)展速度，是現象總體的同一指標在不同時間上的對比，用以反映現象總體在時間上的發(fā)展變化程度。一般用百分數表示，有時也用倍數表示。2、計算公式1/18/202440第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示三、相對指標的計算和應用原則可比性原則相對指標和總量指標結合運用的原則各種相對指標綜合運用的原則1/18/202441第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示第三節(jié)集中趨勢的描述（平均指標）

集中趨勢——一組數據向某一中心值靠攏或聚集的程度，反映了一組數據中心點的位置所在。描述數據的集中趨勢，實際上就是尋找數據一般水平的代表值或中心值。用于描述數據集中趨勢的指標是平均指標（平均數）。1/18/202442第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示一、位置平均數1、眾數概念：眾數是一組數據中出現次數最多的變量值，通常用符號表示。從圖中可見，眾數是具有明顯集中趨勢點的變量值

1/18/202443第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.8】某大學商學院有經濟學、會計學、工商管理、市場營銷和金融學等五個專業(yè)。其中，經濟學專業(yè)有5000名學生，會計學專業(yè)有8000名學生，工商管理專業(yè)有2200名學生，市場營銷專業(yè)有1500名學生，金融學專業(yè)有3000名學生。試計算該大學商學院專業(yè)類別的眾數。眾數可以測度分類數據、順序數據和數值型數據的集中趨勢。下面通過幾個例子說明。1/18/202444第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.9】某小區(qū)的物業(yè)管理部門想了解，該小區(qū)居民對他們的服務質量的滿意度，便從該小區(qū)隨機抽取了250戶家庭作為一個樣本。其調查問卷上的一個問題是：“您對我們公司的服務態(tài)度滿意嗎？”設置的回答類別依次如下：非常滿意；滿意；一般；不滿意；非常不滿意。調查的結果表格如下，試求眾數是什么？1/18/202445第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示回答類別戶數

（戶）百分比

（%）向上累積向下累積

戶數（戶）百分比（%）戶數（戶）百分比（%）非常滿意4216.84216.8250100滿意5823.21004020883.2一般110442108415060不滿意2510235944016非常不滿意156250100156合計250100————————1/18/202446第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.10】

一家電器商場的10名銷售人員在12月份銷售的電器數量如下（單位：臺）：

32、27、24、30、30、32、32、34、30、35。試問：電器銷售量的眾數是多少？1/18/202447第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示上面三個例子分別是針對分類數據、順序數據和原始的數值型數據計算眾數的，它們均可以通過定義計算出眾數，那么對于分組的數值型數據眾數該如何計算呢？1/18/202448第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.11】在某地區(qū)抽取了120家企業(yè)，按利潤額進行分組，結果如下表所示：

按利潤分組（萬元）企業(yè)數（個）300以下21300--40030400--50040500--60018600--70011總計1201/18/202449第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示對于分組數據，眾數的求解公式為：1/18/202450第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示特點（1）眾數是一個位置代表值，不受數據中極端值的影響；（2）眾數具有不唯一性；（3）一般情況下，當數據量較大時，計算眾數才有意義。1/18/202451第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示2、中位數概念中位數是一組數據排序后位于中間位置上的變量值，通常用符號表示。根據定義可概括出求中位數的步驟：①排序；②確定中間位置；（＊）③找中間位置所對應的具體數值，即中位數。1/18/202452第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示中間位置的確定公式為：（1）順序數據：中間位置=（n+1）/2

（2）數值型數據：①未分組數據：中位數位置=（n+1）/2；②分組數據：中位數位置=n/2；1/18/202453第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示中位數可以測度順序數據和數值型數據的集中趨勢?！纠?.12】根據【例4.9】表-6的數據，計算該小區(qū)居民對物業(yè)管理服務態(tài)度評價的中位數。【例4.13】某公司進行的綜合水平測試中，10名新員工的得分如下：

68736676867461896590。要求計算新員工得分的中位數。1/18/202454第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示對于分組的數值型數據，中位數按照下述公式求解：【例4.14】根據表7中的數據，求解120家企業(yè)利潤額的中位數。1/18/202455第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示特點不受極端值的影響，具有穩(wěn)定性應用場合當數據偏斜程度比較大時，用中位數作為數據一般水平的代表值比較合適1/18/202456第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示3、四分位數概念一組數據排序后處于25%和75%位置上的值，它也叫做四分位點。四分位數的計算步驟：1、對數據進行排序；2、確定四分位數所在的位置；3、該位置上的數值就是四分位數。1/18/202457第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示四分位數位置常見的計算方法有：（1）一個較為通用的算法（定義法）：（2）較為準確的算法：（3）Excel中的計算方法：1/18/202458第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.15】某城市隨機抽取了11個家庭。調查到每個家庭的人均月消費支出數據如下（單位：元）。要求按照定義法計算11個家庭人均月消費支出的四分位數。

25002750300035002850196022502000375026001500

1/18/202459第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示對于分組的數值型數據，四分位數按照下述公式求解：【例4.16】對于表7中的數據，求該地區(qū)120家企業(yè)的利潤額的四分位數。

1/18/202460第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示二、數值平均數數值平均數在統(tǒng)計中具有重要地位，是集中趨勢最主要的度量值，也是進行統(tǒng)計分析和統(tǒng)計推斷的基礎。它只適用于數值型數據.

由于所掌握的數據具有不同的表現形式，數值平均數有不同的計算公式。1/18/202461第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示1、算數平均數(Arithmeticmean)

（1）簡單算數平均數概念簡單算數平均數是根據原始數據（未分組數據）計算的一種平均數。公式1/18/202462第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（2）加權算數平均數概念加權算數平均數是根據分組數據計算的一種平均數。公式1/18/202463第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示各變量值與算術平均數的離差之和為零。各變量值與算術平均數的離差平方和為最小。算術平均數的兩個重要的數學性質：1/18/202464第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示2、調和平均數(Harmonicmean)（1）簡單調和平均數概念：簡單調和平均數又叫倒數平均數，即各變量值的倒數的算術平均數的倒數.公式1/18/202465第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（2）加權調和平均數概念：用變量值的倒數作為新變量，以標志總量為權數進行加權的算數平均數的倒數。公式見書中【例4.19】、【例4.20】1/18/202466第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示3、幾何平均數(Geometricmean)（1）簡單幾何平均數概念：當數據以未分組（原始數據）形式出現時，應用簡單法計算幾何平均數。公式見書中【例4.21】1/18/202467第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（2）加權幾何平均數概念：當數據以分組形式出現，各個變量值出現的次數不等時，用加權法計算幾何平均數。公式見書中【例4.22】1/18/202468第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示對于具有單峰分布的大多數數據而言，眾數、中位數和平均數之間具有以下關系：1、如果數據的分布是對稱的，那么三者之間存在如下關系：；2、如果數據是左偏分布，那么三者之間的關系表現為：；3、如果數據是右偏分布的，那么三者之間的關系表現為：。三、眾數、中位數和算數平均數的關系1/18/202469第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示眾數，中位數和平均數的特點與應用場合眾數：優(yōu)點——不受極端值的影響；缺點——具有不唯一性。適用場合——當數據量較多時計算它才有意義，數據量較少時不宜使用眾數。中位數：優(yōu)點——不受數據極端值的影響。適用場合——當一組數據的分布偏斜程度較大時，使用中位數是比較合適的。1/18/202470第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示

平均數：優(yōu)點——利用了全部數據信息，它是實際中應用最廣泛的集中趨勢測度值；缺點——易受數據極端值的影響。適用場合——當數據呈對稱分布或接近對稱分布時，應選擇平均數作為集中趨勢的代表值。1/18/202471第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示根據經驗，在分布偏斜程度不大時，不論右偏或是左偏，三者間存在一定的比例關系，即：例：某車間生產的一批零件中，直徑大于402厘米的占一半，直徑為400厘米的零件最多，并且已知零件直徑的分布呈現略微傾斜，試估計平均數，并判定其偏斜方向。1/18/202472第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示第四節(jié)離散程度的描述（變異指標）離散程度——是各變量值遠離其中心值的程度，因此也稱為離中趨勢。

我們用變異指標來測度離散程度的大小。數據的離散程度越大，則集中趨勢的測度值對該組數據的代表性就越差；離散程度越小，則集中趨勢的測度值的代表性就越好。1/18/202473第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示定義：非眾數組的頻數占總頻數的比率，稱為異眾比率（variationratio),用表示。計算公式：其中，表示變量值的總頻數；表示眾數組的頻數一、分類數據：異眾比率1/18/202474第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示【例4.23】某大學有經濟管理學院、法學院、文學院、醫(yī)學院和理學院共五個學院?，F從各學院隨機抽取部分同學來調查他們每個月的消費支出情況，抽樣結果如下，試計算異眾比率。某大學學院抽取學生人數（人）經濟管理學院1200法學院800文學院480醫(yī)學院320理學院200總計30001/18/202475第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示作用：異眾比率主要用于測度分類數據離散程度，也可以測度順序數據和數值型數據的離散程度；用于衡量眾數的代表性強弱。1/18/202476第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示定義：上四分位數與下四分位數之差，稱為四分位差,也稱為內距或四分間距，用表示。計算公式：見書中【例4.25】二、順序數據：四分位差1/18/202477第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示特點四分位數不受極端值的影響作用主要用于測度順序數據的離散程度，也可以測度數值型數據的離散程度；它反映的是中間50%數據的離散程度；用于衡量中位數的代表性強弱。1/18/202478第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示三、數值型數據的離散程度測度值1、極差(Range)定義：極差又稱全距，是一組數據中最大值與最小值之差，通常用表示。它只能測度數值型數據的離散程度。計算公式：特點計算簡單；易受極端值的影響；測量精度差。1/18/202479第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示2、平均差(Meandeviation)定義：平均差是各變量值與其算術平均數離差絕對值的平均數。因此，也稱平均絕對離差，通常用表示。計算公式（1）如果數據是未分組數據（原始數據），則用簡單算術平均法來計算平均差：

1/18/202480第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示（2）如果數據是分組數據，采用加權算術平均法來計算平均差：見書中【例4.28】

1/18/202481第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示特點能全面反映一組數據的離散程度；因帶有絕對值，所以計算不方便，實際中應用較少。1/18/202482第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示3、方差(Variance)與標準差（Standarddeviation）定義方差——各變量值與其算術平均數離差平方的算術平均數。標準差——方差的平方根，也稱均方差。公式1/18/202483第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示方差的計算公式標準差的計算公式未分組數據：未分組數據：分組數據：分組數據：總體方差和標準差：1/18/202484第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示樣本方差和標準差方差的計算公式標準差的計算公式未分組數據：未分組數據：分組數據：分組數據：樣本方差用自由度n-1去除1/18/202485第二章統(tǒng)計數據的搜集、整理和顯示自由度概念：一組數據中可以自由取值的數據個數計算：它是用樣本容量減去對數據約束條件的個數得到。當樣本數據的個數為n時，若樣本均值確定后，只有n-1個數據可以自由取值，其中必有一個數據則不能取值。意義樣本方差用自由度去除，其原因可以從多方面來解釋，從實際應用角度看，