平面向量課件

平面向量課件contents目錄平面向量的基本概念平面向量的線性運(yùn)算平面向量的數(shù)量積平面向量的向量積平面向量的外積平面向量的混合積平面向量的基本概念01總結(jié)詞平面向量是二維空間中的有向線段，可以用坐標(biāo)表示。詳細(xì)描述平面向量通常用有向線段表示，起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為平面內(nèi)的點(diǎn)。向量可以用坐標(biāo)表示，例如向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示為$(x_2-x_1,y_2-y_1)$。向量的表示與定義總結(jié)詞向量的模是表示向量大小的數(shù)值，等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對(duì)值。詳細(xì)描述向量的模定義為$left|overset{longrightarrow}{AB}right|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，表示向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對(duì)值。向量的模向量的加法是將兩個(gè)向量首尾相接，數(shù)乘是保持向量方向不變，將向量長(zhǎng)度按比例放大或縮小?？偨Y(jié)詞向量的加法是將兩個(gè)向量首尾相接，形成一個(gè)新的向量。數(shù)乘是將一個(gè)向量按比例放大或縮小，保持方向不變。數(shù)乘的表示方法為$lambdaoverset{longrightarrow}{AB}$，其中$lambda$是實(shí)數(shù)。詳細(xì)描述向量的加法與數(shù)乘平面向量的線性運(yùn)算02向量加法是向量運(yùn)算中最基本的運(yùn)算之一，其結(jié)果是向量在同一起點(diǎn)出發(fā)，沿同一直線方向前進(jìn)。設(shè)$vec{A}=(a_1,a_2),vec{B}=(b_1,b_2)$，則$vec{A}+vec{B}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$。向量減法是通過(guò)加法來(lái)實(shí)現(xiàn)的，即$vec{A}-vec{B}=vec{A}+vec{B}'$，其中$vec{B}'$是向量$vec{B}$的反向量。向量的加法與減法向量的減法向量的加法數(shù)乘是向量的一種線性運(yùn)算，它表示向量與實(shí)數(shù)的乘積。設(shè)$k$為實(shí)數(shù)，$vec{A}=(a_1,a_2)$，則$kvec{A}=(ka_1,ka_2)$。定義數(shù)乘滿足結(jié)合律和分配律，即$k(mvec{A})=(km)vec{A}$，$(k+m)vec{A}=kvec{A}+mvec{A}$。性質(zhì)向量的數(shù)乘向量的線性組合是指幾個(gè)向量的加法和數(shù)乘的運(yùn)算結(jié)果。設(shè)$vec{A}_1,vec{A}_2,ldots,vec{A}_n$為向量，$k_1,k_2,ldots,k_n$為實(shí)數(shù)，則$sum_{i=1}^{n}k_ivec{A}_i$稱為向量$vec{A}_1,vec{A}_2,ldots,vec{A}_n$的線性組合。定義如果向量$vec{B}$可以表示為向量$vec{A}$的線性組合，即$vec{B}=sum_{i=1}^{n}k_ivec{A}_i$，則稱向量$vec{B}$被向量$vec{A}$線性表示。線性表示向量的線性組合與線性表示平面向量的數(shù)量積03數(shù)量積的定義兩個(gè)向量$mathbf{a}$和$mathbf$的數(shù)量積定義為$mathbf{a}cdotmathbf=|mathbf{a}|times|mathbf|timescostheta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf$之間的夾角。非負(fù)性數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，其值非負(fù)，即$mathbf{a}cdotmathbfgeq0$。當(dāng)且僅當(dāng)$mathbf{a}$和$mathbf$同向時(shí)取等號(hào)。交換律數(shù)量積滿足交換律，即$mathbf{a}cdotmathbf=mathbfcdotmathbf{a}$。數(shù)量積的定義與性質(zhì)幾何意義01數(shù)量積表示向量$mathbf{a}$和$mathbf$在方向上的投影長(zhǎng)度之積，即$mathbf{a}cdotmathbf=|mathbf{a}|times|mathbf|timescostheta$。分配律02對(duì)于任意向量$mathbf{c}$，有$(mathbf{a}+mathbf)cdotmathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbfcdotmathbf{c}$。點(diǎn)乘與模的關(guān)系03$(mathbf{a}cdotmathbf)=|mathbf{a}|^{2}times|mathbf|^{2}+2times|mathbf{a}|times|mathbf|times|costheta|$。數(shù)量積的幾何意義與運(yùn)算律通過(guò)數(shù)量積可以計(jì)算向量在另一個(gè)向量上的投影長(zhǎng)度，進(jìn)而求得向量的模長(zhǎng)。向量投影通過(guò)數(shù)量積可以求得兩個(gè)向量的夾角，即$costheta=frac{mathbf{a}cdotmathbf}{|mathbf{a}|times|mathbf|}$。向量夾角在解決物理問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)數(shù)量積將一個(gè)向量分解為兩個(gè)已知向量的線性組合，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。向量分解數(shù)量積的應(yīng)用平面向量的向量積04

向量積的定義與性質(zhì)向量積的定義向量積是一個(gè)向量運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)向量，記作a×b，其中a和b是平面向量。非零向量的向量積為零若兩個(gè)非零向量的向量積為零，則這兩個(gè)向量垂直。向量積的長(zhǎng)度向量積的長(zhǎng)度等于兩向量長(zhǎng)度和它們之間夾角的正弦值的乘積。向量積表示一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長(zhǎng)度乘以它們之間的夾角的正弦值。向量積的幾何意義向量積的運(yùn)算律向量積的模長(zhǎng)公式交換律、結(jié)合律和分配律均適用于向量積。|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ是a和b之間的夾角。030201向量積的幾何意義與運(yùn)算律解決幾何問(wèn)題向量積可以用于解決一些幾何問(wèn)題，例如求三角形面積、判斷兩線段是否垂直等。解析幾何中的向量運(yùn)算在解析幾何中，向量積可以用于表示向量的方向、大小和位置關(guān)系，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程。力的合成與分解向量積可以用于表示力和運(yùn)動(dòng)的合成與分解，特別是在解決物理問(wèn)題時(shí)。向量積的應(yīng)用平面向量的外積05兩個(gè)向量a和b的外積是一個(gè)向量，記作a×b，其模長(zhǎng)為|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ為a和b之間的夾角。外積的定義a×b=-b×a反交換律a×(b+c)=(a×b)+(a×c)分配律對(duì)任意向量a、b和實(shí)數(shù)λ，有(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)結(jié)合律外積的定義與性質(zhì)外積的幾何意義交換律分配律結(jié)合律外積的幾何意義與運(yùn)算律01020304外積表示垂直于a和b所在平面的向量。a×b=b×aa×(b+c)=a×b+a×c(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)計(jì)算向量的模長(zhǎng)通過(guò)向量的外積和內(nèi)積，可以計(jì)算出向量的模長(zhǎng)。例如，對(duì)于任意向量a，有|a|=(a·a)^(1/2)。判斷向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量垂直時(shí)，它們的夾角為90°，此時(shí)它們的模長(zhǎng)之積等于它們的內(nèi)積，即|a||b|=|a·b|。解決物理問(wèn)題外積在解決物理問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如力矩、速度和加速度的計(jì)算等。外積的應(yīng)用平面向量的混合積06混合積的定義：設(shè)向量$\mathbf{a},\mathbf,\mathbf{c}$，若$\mathbf{a}\cdot\mathbf=\mathbf\cdot\mathbf{c}$，則稱$\mathbf{a},\mathbf,\mathbf{c}$是混合積。混合積的定義與性質(zhì)混合積的性質(zhì)混合積具有交換律，即$\mathbf{a}\cdot\mathbf=\mathbf\cdot\mathbf{a}$?；旌戏e具有結(jié)合律，即$(\mathbf{a}+\mathbf)\cdot(\mathbf{c}+\mathbfcgehusl)=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{a}\cdot\mathbfaa655pq+\mathbf\cdot\mathbf{c}+\mathbf\cdot\mathbf2t6dyz2$?；旌戏e具有分配律，即$\mathbf{a}\cdot(\mathbf+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$?；旌戏e的定義與性質(zhì)混合積的幾何意義：表示以$\mathbf{a},\mathbf,\mathbf{c}$為三條邊的平行六面體的體積。分配律：$\mathbf{a}\cdot(\mathbf+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$。結(jié)合律：$(\mathbf{a}+\mathbf)\cdot(\mathbf{c}+\mathbfj5quyxr)=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{a}\cdot\mathbfwihgz99+\mathbf\cdot\mathbf{c}+\mathbf\cdot\mathbfsunhvzx$。