2024屆山西省大學附屬中學校數(shù)學高一第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆山西省大學附屬中學校數(shù)學高一第二學期期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在區(qū)間內隨機取一個實數(shù)a，使得關于x的方程有實數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．2．在△中，已知，，，則△的面積等于()A．6 B．12 C． D．3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（）A． B．或 C．或 D．4．直線的傾斜角是()A． B． C． D．5．若點,直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（）A．或B．或C．D．6．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．1107．點M(4，m）關于點N（n,－3）的對稱點為P（6，-9）則（）A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10C．m＝－3,n＝5 D．m=3,n=58．已知一扇形的周長為，圓心角為，則該扇形的面積為()A． B． C． D．9．若直線經過A(1,0),B(2,3)兩點，則直線A．135° B．120° C．60° D．45°10．若圓錐的高擴大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的12A．縮小為原來的34 B．縮小為原來的C．擴大為原來的2倍 D．不變二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經過點，則______.12．已知實數(shù)滿足則的最小值為__________．13．已知數(shù)列滿足，，則_______；_______.14．在三棱錐中，，，，作交于，則與平面所成角的正弦值是________.15．如果事件A與事件B互斥，且，，則＝．16．如圖，已知，，任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，則向量_______（用，表示向量）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.18．已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)在區(qū)間內有一個零點，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為2，且,求的取值范圍.19．在等差數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和20．數(shù)列中，，（為常數(shù)，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.21．已知函數(shù)．（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的值域．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由關于x的方程有實數(shù)根，求得，再結合長度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，關于x的方程有實數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內隨機取一個實數(shù)a，使得關于x的方程有實數(shù)根的概率為.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.2、C【解題分析】

通過A角的面積公式,代入數(shù)據(jù)易得面積．【題目詳解】故選C【題目點撥】此題考查三角形的面積公式，代入數(shù)據(jù)即可，屬于簡單題目．3、D【解題分析】

作出幾何體的直觀圖，可知幾何體為正方體切一角所得的組合體，計算出正方體的體積和所切去三棱錐的體積，相減可得答案．【題目詳解】幾何體的直觀圖如下圖所示：可知幾何體為正方體切一角所得的組合體，因此，該幾何體的體積為.故選：D.【題目點撥】本題考查的知識點是由三視圖求體積，其中根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖是解答的關鍵，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.4、B【解題分析】

先求斜率，即傾斜角的正切值，易得．【題目詳解】，可知，即，故選B【題目點撥】一般直線方程求傾斜角將直線轉換為斜截式直線方程易得斜率，然后再根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角，屬于簡單題目．5、C【解題分析】試題分析：畫出三點坐標可知，兩個邊界值為和,數(shù)形結合可知為．考點：1．相交直線；2．數(shù)形結合的方法；6、A【解題分析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設，所以，則，此時，所以對應滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.7、D【解題分析】因為點M，P關于點N對稱，所以由中點坐標公式可知.8、C【解題分析】

根據(jù)題意設出扇形的弧長與半徑，通過扇形的周長與弧長公式即可求出扇形的弧長與半徑，進而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【題目詳解】設扇形的弧長為，半徑為，扇形的圓心角的弧度數(shù)是.

則由題意可得：.

可得：，解得：，.可得：故選：C【題目點撥】本題主要考查扇形的周長與扇形的面積公式的應用，以及考查學生的計算能力，屬于基礎題．9、C【解題分析】

利用斜率公式求出直線AB，根據(jù)斜率值求出直線AB的傾斜角.【題目詳解】直線AB的斜率為kAB=3-02-1【題目點撥】本題考查直線的傾斜角的求解，考查直線斜率公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題。10、A【解題分析】

設原來的圓錐底面半徑為r，高為h，可得出變化后的圓錐的底面半徑為12r，高為【題目詳解】設原來的圓錐底面半徑為r，高為h，該圓錐的體積為V=1變化后的圓錐底面半徑為12r，高為該圓錐的體積為V'=1故選：A.【題目點撥】本題考查圓錐體積的計算，考查變化后的圓錐體積的變化，解題關鍵就是圓錐體積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)的定義求余弦值，解題的關鍵就是三角函數(shù)定義的應用，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解題分析】

本題首先可以根據(jù)題意繪出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合目標函數(shù)的幾何性質，找出目標函數(shù)取最小值所過的點，即可得出結果?！绢}目詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，結合目標函數(shù)的幾何意義可知，目標函數(shù)在點處取得最小值，即?！绢}目點撥】本題考查根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域來求目標函數(shù)的最值，能否繪出不等式組表示的平面區(qū)域是解決本題的關鍵，考查數(shù)形結合思想，是簡單題。13、【解題分析】

令代入可求得；方程兩邊取倒數(shù)，構造出等差數(shù)列，即可得答案.【題目詳解】令，則；∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：；.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推關系求通項，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意兩邊取倒數(shù)，構造新等差數(shù)列的方法.14、【解題分析】

取中點,中點,易得面,再求出到平面的距離,進而求解再得出到平面的距離.從而算得與平面所成角的正弦值即可.【題目詳解】如圖,取中點,中點,連接.因為,,所以.因為,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距離.到面的距離.又因為,所以,所以,所以,故到面的距離.故與平面所成角的正弦值是故答案為：【題目點撥】本題主要考查了空間中線面垂直的性質與運用,同時也考查了余弦定理在三角形中求線段與角度正余弦值的方法,需要根據(jù)題意找到點到面的距離求解,再求出線面的夾角.屬于難題.15、0.5【解題分析】

表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比．所以根據(jù)互斥事件概率公式求解．【題目詳解】【題目點撥】此題考查互斥事件概率公式，關鍵點在于理解清楚題目概率表示的實際含義，屬于簡單題目．16、【解題分析】

先求得，然后根據(jù)中位線的性質，求得.【題目詳解】依題意，由于分別是線段的中點，故.【題目點撥】本小題主要考查平面向量減法運算，考查三角形中位線，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）偶函數(shù)，理由見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可求得和的定義域，取交集可得定義域；（2）整理可得，驗證得，得到函數(shù)為偶函數(shù).【題目詳解】（1）令得：定義域為令得：定義域為的定義域為（2）由題意得：，為定義在上的偶函數(shù)【題目點撥】本題考查函數(shù)定義域的求解、奇偶性的判斷；求解函數(shù)定義域的關鍵是明確對數(shù)函數(shù)要求真數(shù)必須大于零，且需保證構成函數(shù)的每個部分都有意義.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）解方程的根，則根在區(qū)間內，即可求出的范圍即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性求出最大，最小，作差得，從而得到關于的不等式，解出即可．【題目詳解】（1）由，得，由得：，所以的范圍是.（2）在遞增，，，，，由，得，，解得：．【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質、函數(shù)的單調性、最值等問題，考查轉化與化歸思想，求解過程中要會靈活運用換元法進行問題解決．19、（1）；（2）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)已知數(shù)列為等差數(shù)列，結合數(shù)列的性質可知：前3項和，所以，又因為，所以公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式，可以求得．本問考查等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的性質，屬于對基礎知識的考查，為容易題，要求學生必須掌握．（2）由于為等差數(shù)列，所以可以根據(jù)重要結論得知：數(shù)列為等比數(shù)列，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明，即，符合等比數(shù)列定義，因此數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以問題轉化為求以4為首項，2為公比的等比數(shù)列的前n項和，根據(jù)公式有．本問考查等比數(shù)列定義及前n項和公式．屬于對基礎知識的考查．試題解析：（1）又（2）由（1）知得：是以4為首項2為公比的等比數(shù)列考點：1.等差數(shù)列；2.等比數(shù)列．20、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解題分析】

（1）將代入，結合可求出的值；（2）可知，，即可證明結論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【題目詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因為，所以滿足題意.（2）因為，所以.則.，因為，，所以，所以.（3）由，可得，從而，所以.因為