上海市同濟大學附屬七一中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末調研試題含解析

上海市同濟大學附屬七一中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末調研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)，若方程恰有三個不同的解，記為，則的取值范圍是()A． B． C． D．2．已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則的一個單調遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．正四棱柱的高為3cm,體對角線長為cm,則正四棱柱的側面積為()A．10 B．24 C．36 D．404．已知等差數(shù)列中，若，則（）A．-21 B．-15 C．-12 D．-175．用輾轉相除法，計算56和264的最大公約數(shù)是()．A．7 B．8 C．9 D．66．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x軸上有一點M，使得|MA|＋|MB|最短，則點M的坐標是()A．(－1,0) B．(1,0) C． D．7．過點的圓的切線方程是（）A． B．或C．或 D．或8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且公比，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，，，，分組后某組抽到的號碼為1．抽到的人中，編號落入區(qū)間的人數(shù)為（）A．10 B． C．12 D．1310．已知a、b、c分別是△ABC的內角A、B、C的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若、是方程的兩根，則__________.12．圓上的點到直線的距離的最小值是______.13．某中學初中部共有名老師，高中部共有名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為__________．14．若是三角形的內角，且，則等于_____________．15．直線過點且傾斜角為,直線過點且與垂直,則與的交點坐標為____16．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，給出下列結論：①；②直線平面；③平面平面；④異面直線與所成角為；⑤直線與平面所成角的余弦值為.其中正確的有_______（把所有正確的序號都填上）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在銳角中，角所對的邊分別為，已知，，．（1）求角的大??；（2）求的面積．18．如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點在上，設矩形的面積為,（1）按下列要求寫出函數(shù)的關系式：①設，將表示成的函數(shù)關系式；②設，將表示成的函數(shù)關系式，（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關系式，求出的最大值．19．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，數(shù)列的前項和為，且，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．已知.(1)求的值;(2)求的值.21．寫出集合的所有子集．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由方程恰有三個不同的解，作出的圖象，確定，的取值范圍，得到的對稱性，利用數(shù)形結合進行求解即可．【題目詳解】設

作出函數(shù)的圖象如圖：由

則當

時

,,

即函數(shù)的一條對稱軸為

，要使方程恰有三個不同的解，則

,

此時

,

關于

對稱，則

當

，即

，則

則

的取值范圍是，選D.【題目點撥】本題主要考查了方程與函數(shù)，數(shù)學結合是解決本題的關鍵，數(shù)學結合也是數(shù)學中比較重要的一種思想方法．2、B【解題分析】

利用周期公式計算出周期，根據(jù)對稱軸對應的是最值，然后分析單調減區(qū)間.【題目詳解】因為，若取到最大值，則，即，此時處最接近的單調減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時處最接近的單調減區(qū)間是：即，此時無符合答案；故選：B.【題目點撥】對于正弦型函數(shù)，對稱軸對應的是函數(shù)的最值，這一點值得注意.3、B【解題分析】

設正四棱柱，設底面邊長為，由正四棱柱體對角線的平方等于從同一頂點出發(fā)的三條棱的平方和，可得關于的方程.【題目詳解】如圖，正四棱柱，設底面邊長為，則，解得：，所以正四棱柱的側面積.【題目點撥】本題考查正棱柱的概念，即底面為正方形且側棱垂直于底面的幾何體，考查幾何體的側面積計算.4、A【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得：，故選A.5、B【解題分析】

根據(jù)輾轉相除法計算最大公約數(shù).【題目詳解】因為所以最大公約數(shù)是8，選B.【題目點撥】本題考查輾轉相除法，考查基本求解能力.6、B【解題分析】

由集合性質可知，求出點A關于x軸的對稱點，此對稱點與點B確定的直線與x軸的交點，即為點M.【題目詳解】點A關于x軸的對稱點C的坐標為：，由兩點可得直線BC方程為：，可求得與y軸的交點為.故選B.【題目點撥】本題考查最短路徑問題，輔助作圖更易理解，注意求直線方程時要熟練使用最簡便的方式，注意計算的準確性.7、D【解題分析】

先由題意得到圓的圓心坐標，與半徑，設所求直線方程為，根據(jù)直線與圓相切，結合點到直線距離公式，即可求出結果.【題目詳解】因為圓的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線斜率存在，設過點與圓相切的直線方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線方程分別為：或，整理得或.故選D【題目點撥】本題主要考查求過圓外一點的切線方程，根據(jù)直線與圓相切，結合點到直線距離公式即可求解，屬于?？碱}型.8、C【解題分析】

由可得，結合可得結果.【題目詳解】，，，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.9、C【解題分析】

由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項公式為an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整數(shù)n的個數(shù)，即可得出結論．【題目詳解】∵960÷32＝30，∴每組30人，∴由題意可得抽到的號碼構成以30為公差的等差數(shù)列，又某組抽到的號碼為1，可知第一組抽到的號碼為11，∴由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數(shù)列，∴等差數(shù)列的通項公式為an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n為正整數(shù)可得14≤n≤25，∴做問卷C的人數(shù)為25﹣14+1＝12，故選C．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，系統(tǒng)抽樣的定義和方法，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義轉化為等差數(shù)列是解決本題的關鍵，比較基礎．10、A【解題分析】

將原式進行變形，再利用內角和定理轉化，最后可得角B的范圍，可得三角形形狀.【題目詳解】因為在三角形中，變形為由內角和定理可得化簡可得：所以所以三角形為鈍角三角形故選A【題目點撥】本題考查了解三角形，主要是公式的變形是解題的關鍵，屬于較為基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意利用韋達定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【題目詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查韋達定理，兩角差的正切公式，屬于基礎題．12、【解題分析】

求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【題目詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【題目點撥】本題考查圓上的點到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.13、【解題分析】

由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數(shù)，再相加.【題目詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師的人數(shù)為.【題目點撥】考查統(tǒng)計中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.14、【解題分析】∵是三角形的內角，且，∴故答案為點睛：本題是一道易錯題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.15、【解題分析】

通過題意，求出兩直線方程，聯(lián)立方程即可得到交點坐標.【題目詳解】根據(jù)題意可知，因此直線為：，由于直線與垂直，故，所以，所以直線為：，聯(lián)立兩直線方程，可得交點.【題目點撥】本題主要考查直線方程的相關計算，難度不大.16、①③④⑤【解題分析】

設出幾何體的邊長，根據(jù)正六邊形的性質，線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，異面直線所成角，線面角有關知識，對五個結論逐一分析，由此得出正確結論的序號.【題目詳解】設正六邊形長為，則.根據(jù)正六邊形的幾何性質可知，由平面得，所以平面，所以，故①正確.由于，而，所以直線平面不正確，故②錯誤.易證得,所以平面，所以平面平面，故③正確.由于,所以是異面直線與所成角，在中，，故，也即異面直線與所成角為，故④正確.連接，則，由①證明過程可知平面，所以平面，所以是所求線面角，在三角形中，，由余弦定理得，故⑤正確.綜上所述，正確的序號為①③④⑤.【題目點撥】本小題主要考查線面垂直的判定，面面垂直的判定，考查線線角、線面角的求法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）先由正弦定理求得與的關系，然后結合已知等式求得的值，從而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，從而由的范圍取舍的值，進而由面積公式求解．試題解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因為，所以.因為為銳角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.當時，因為，所以角為鈍角，不符合題意，舍去.當時，因為，又，所以為銳角三角形，符合題意.所以的面積.考點：1、正余弦定理；2、三角形面積公式．18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達式；②利用三角函數(shù)的關系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式；（2）利用（1）②的表達式，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值.試題解析：（1）①因為，所以，所以，．②當時，，則，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，當時，取得最大值為．考點：1.三角函數(shù)中的恒等變換；2.兩角和與差的正弦函數(shù).【方法點睛】本題主要考查的是函數(shù)解析式的求法，三角函數(shù)的最值的確定，三角函數(shù)公式的靈活運用，計算能力，屬于中檔題，此題是課本題目的延伸，如果（2）選擇（1）①中的解析式，需要用到導數(shù)求解，麻煩，不是命題者的本意，因此正確的選擇是選擇（1）②中的解析式，化成一個角的一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值,此類題目選擇正確的解析式是求解容易與否的關鍵.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）數(shù)列的通項公式，利用，可求公差，然后可求；的通項公式可以利用退位相減法求解；（Ⅱ）求出代入，利用分離參數(shù)法可求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，又，也成立，∴是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴.（Ⅱ），∴對恒成立，即對恒成立，令，，當時，，當時，，∴，故，即的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解和參數(shù)范圍的確定，熟練掌握公式是求解關鍵，側重考查數(shù)