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課時(shí)10用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題新授課1.能利用投影向量推導(dǎo)出點(diǎn)到直線和點(diǎn)到平面的距離公式.2.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、平行線間、點(diǎn)到平面、直線到平面(直線與平面平行)、平行平面間的距離問(wèn)題.任務(wù)1:復(fù)習(xí)回顧平面向量的投影向量.目標(biāo)一:能利用投影向量得到點(diǎn)到直線和點(diǎn)到平面的距離公式.如圖,在空間中任取一點(diǎn),作,.1.怎樣表示向量b方向上的單位向量u?2.如何作出向量a在向量b方向上的投影向量?3.怎樣用單位向量u表示向量a在向量b方向上的投影向量及投影向量的模?2.過(guò)點(diǎn)M作MM1垂直于直線ON,垂足為M1,向量即為a在b方向上的投影向量.3.,即,.M1任務(wù)2:探究利用向量求解空間點(diǎn)到已知直線的距離的方法.已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn),如何利用這些條件求點(diǎn)P到直線l的距離?PQlAu如圖,設(shè),則向量在直線l上的投影向量在中,由勾股定理得點(diǎn)P到直線l的距離(1)若AP與直線l垂直,點(diǎn)P到直線l的距離還等于嗎?(2)在立體幾何圖形中求解距離的問(wèn)題時(shí),已知條件中一般只會(huì)給出點(diǎn)P以及直線l,那么點(diǎn)P應(yīng)該如何確定?(3)求解距離的過(guò)程中是否需要確定垂線段的垂足?(1)若AP與l垂直,則,.(2)點(diǎn)到直線的距離,即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度不會(huì)隨著點(diǎn)A的變化而變化,故點(diǎn)A可以是直線l上的任意一點(diǎn).(3)到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術(shù)平方根.因此,求解點(diǎn)P到直線l距離問(wèn)題時(shí),只需直線l的方向向量及l(fā)上任意一點(diǎn)A,這樣得到參考向量或,再求得直線的單位方向向量,帶入公式即可,因此不需要確定垂線段的垂足.(4)求點(diǎn)到直線距離的主要有哪些方法?歸納總結(jié)求點(diǎn)到直線距離的方法:1.作點(diǎn)到直線的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到直線的距離;2.在三角形中用等面積法求解;3.向量法,即點(diǎn)到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術(shù)平方根.思考:類比點(diǎn)到直線的距離的求法,如何求兩條平行線間的距離?如圖,在其中一條直線上任取一點(diǎn),將求兩條平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到另一條直線的距離.l1l2uAPQa任務(wù)3:探究利用向量求解空間點(diǎn)到已知平面的距離的方法.已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P
是平面α外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作出平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q.(1)類比點(diǎn)到直線距離的研究過(guò)程,如何用向量表示?點(diǎn)P到平面α的距離應(yīng)該怎樣表示?如圖,向量在直線l上的投影向量是,且
lPQαnA(2)在立體幾何圖形中求解距離的問(wèn)題時(shí),已知條件中一般只會(huì)給出點(diǎn)P及平面α,那點(diǎn)A該如何確定?求解距離的過(guò)程中是否需要找出點(diǎn)P在平面α內(nèi)的投影及垂線段?求解點(diǎn)P到平面α距離問(wèn)題時(shí),只需平面α的法向量及平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)A,這樣得到“參考向量”,明確點(diǎn)到平面的距離為參考向量與法向量數(shù)量積的絕對(duì)值與法向量的模之比,即參考向量與法向量方向上的單位向量的數(shù)量積取絕對(duì)值.因此點(diǎn)A可以是平面α內(nèi)任意一點(diǎn),不需要找出點(diǎn)P在平面α內(nèi)的投影及垂線段.(3)求點(diǎn)到平面的距離主要有哪些方法?歸納總結(jié)求點(diǎn)到平面的距離的方法:1.作點(diǎn)到平面的垂線,點(diǎn)與垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.2.在三棱錐中用等體積法求解.3.向量法:點(diǎn)到平面的距離為參考向量與法向量數(shù)量積的絕對(duì)值與法向量的模之比.思考:如果直線l與平面α平行,如何求直線與平面的距離?如何求兩平行平面之間的距離?證明直線與平面平行或面面平行,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.目標(biāo)二:能用向量方法解決點(diǎn)到直線、平行線間、點(diǎn)到平面、直線到平面(直線與平面平行)、平行平面間的距離問(wèn)題.任務(wù):用向量方法求解空間中點(diǎn)到直線和平面的距離.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD
-A1B1C1D1
中,E為線段A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離;(2)求直線FC
到平面AEC1的距離.解:以D1為原點(diǎn),D1
A1,D1
C1,D1
D所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),所以(1)取則所以,點(diǎn)B到直線AC1的距離為設(shè)平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則(2)因?yàn)樗訤C∥EC1,所以FC∥平面AEC1.所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離.所以取z=1,則x=1,y=2,所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一個(gè)法向量.,所以又因?yàn)樗渣c(diǎn)F到平面AEC1的距離為即直線FC到平面AEC1的距離為思考:上述過(guò)程中,求點(diǎn)到直線和點(diǎn)到平面兩種距離的步驟是怎樣的?點(diǎn)P到直線l的距離:1.建系,在直線l上任取一點(diǎn)A(注:選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)),求“參考向量(或)”的坐標(biāo).2.依據(jù)圖形先求出直線l的單位方向向量u.3.帶入公式求解.點(diǎn)P到平面α的距離:1.建系,選擇“參考向量”;2.確定平面α的法向量n;3.帶入公式求值.歸納總結(jié)1.建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面,把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;2.通過(guò)向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問(wèn)題;3.把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”:練一練
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M為BB1的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M到直線AC1的距離;(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離.解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直線AC1的一個(gè)單位方向向量為,故點(diǎn)M到直線AC1的距離為.(2)設(shè)平面MA1C1的一個(gè)法向量為=(x,y,z),則,即取x=1,得
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