經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)函數(shù)第二節(jié)極限第三節(jié)無窮小量與無窮大量第四節(jié)極限的運(yùn)算法則第一章極限與連續(xù)第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第七節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)本章將主要學(xué)習(xí)極限與連續(xù)的基本概念，以及它們的一些性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)；極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的.學(xué)習(xí)重點(diǎn)第一章極限與連續(xù)1.函數(shù)的定義定義1：設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定的對應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，那么將對應(yīng)法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域.2.函數(shù)的表示法（1）表格法.一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)（2）圖象法.用圖象表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如上圖所示；（3）解析法.用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等.一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)3.函數(shù)的定義域要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點(diǎn)：（1）分式的分母不能為零；（2）偶次根式的被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)；（3）對數(shù)式中的真數(shù)必須大于零；（4）冪函數(shù).指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).三角函數(shù).反三角函數(shù)考慮各自的定義域；（5）若函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集；（6）分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集.一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)1.奇偶性定義2：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果對于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；如果對于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù).否則f（x）為非奇非偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，如圖所示；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示.二、函數(shù)的幾種特性第一節(jié)函數(shù)二、函數(shù)的幾種特性第一節(jié)函數(shù)2.單調(diào)性定義3：若對于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱為單調(diào)增區(qū)間；特別地，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1)＜f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù)；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱為單調(diào)減區(qū)間；特別地當(dāng)x1＞x2時(shí)，恒有f（x1)＞f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù).單調(diào)遞增函數(shù)的圖象沿x軸正向上升，如圖所示；單調(diào)遞減函數(shù)的圖象沿x軸正向下降，如圖所示.二、函數(shù)的幾種特性第一節(jié)函數(shù)二、函數(shù)的幾種特性第一節(jié)函數(shù)3.有界性定義4:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集X

D.若存在數(shù)K1，使得f（x）≤K1對任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上界（任何大于K1的數(shù)也是f（x)在X上的上界）；若存在數(shù)K2，使得f（x）≥K24.周期性定義5:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）為D上的周期函數(shù)，T稱為函數(shù)的一個(gè)周期，并且nT（n為非零整數(shù)）也是它的周期.平時(shí)，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期.二、函數(shù)的幾種特性第一節(jié)函數(shù)1.基本初等函數(shù)我們把常數(shù)函數(shù)y=c（c為常數(shù)）.冪函數(shù)y=xα（α為實(shí)數(shù)）.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)定義6:若函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過變量u與變量x建立了對應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對應(yīng)關(guān)系稱為y是x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量，x是自變量，通常將y=f（u），u=g（x）合并寫成y=f［g（x）］.三、初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)以前我們已經(jīng)學(xué)過數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列{an}的變化趨勢.我們先看一個(gè)實(shí)例：一個(gè)籃球從距地面1m高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處.于是，可得到表示籃球高度的一個(gè)數(shù)列：一、數(shù)列的極限第二節(jié)極限我們知道，籃球最終會停在地面上，即反彈高度h=0，這說明，隨著反彈次數(shù)n的無限增大，數(shù)列通項(xiàng)hn=1/2n-1的值將趨向于0.一、數(shù)列的極限第二節(jié)極限從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從橫軸上方無限接近于直線an=0.這表明，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=1/n的值無限趨近于零.同樣，從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從上下兩側(cè)無限接近于直線an=1.這表明，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=（n+（-1）n）/n的值無限趨近于常數(shù)1.一、數(shù)列的極限第二節(jié)極限定義1:如果無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作數(shù)列{an}的極限（limit）limn→∞1/2n-1=0；limn→∞1/n=0；limn→∞(n+（-1）n)/n=1.一、數(shù)列的極限第二節(jié)極限1.當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f（x）的極限定義2:如果當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作limx→∞f（x）=A或當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→A.下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)極限的定義.定義3:如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)的極限，記作limx→+∞f（x）=A，或當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→A（limx→-∞f（x）=A，或當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→A）.二、函數(shù)的極限第二節(jié)極限2.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某空心鄰域鄰域就是在數(shù)軸上滿足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的點(diǎn)的集合，即區(qū)間（x0-δ，x0+δ）內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱為鄰域的中心，δ為半徑.若這個(gè)區(qū)間不含點(diǎn)x0，則稱為x0的空心δ鄰域.二、函數(shù)的極限第二節(jié)極限定義1:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮小量，簡稱無窮小.例如，當(dāng)x→0時(shí)，sinx是無窮小；當(dāng)x→∞時(shí)，1x是無窮小.一、無窮小量第三節(jié)

無窮小量與無窮大量定義2:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮大量，簡稱無窮大.如果按函數(shù)極限的定義來看，f（x）的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作limx→x0（x→∞）f（x）=∞.二、無窮大量第三節(jié)

無窮小量與無窮大量定理:在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1f（x）為無窮??；反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，那么1f（x）為無窮大.例如，因?yàn)閘imx→∞x3=∞，所以limx→∞1x3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞.

四.無窮小量的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小.性質(zhì)2:有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小.性質(zhì)3:有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小.三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系第三節(jié)

無窮小量與無窮大量法則設(shè)limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則有（1）limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）±limx→x0g（x）=A±B；（2）limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）·limx→x0g（x）=A·B；（3）limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C為常數(shù)）；（4）limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f（x）limx→x0g（x）=AB（B≠0）.第四節(jié)極限的運(yùn)算法則準(zhǔn)則1:如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足g（x）≤f（x）≤h（x）且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A.準(zhǔn)則2：若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則limn→∞xn一定存在.一、判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則第五節(jié)兩個(gè)重要極限1.limx→0sinx/x=1我們考察當(dāng)x趨近于0時(shí)，函數(shù)sinx/x的變化趨勢，列表如下：二、兩個(gè)重要極限公式第五節(jié)兩個(gè)重要極限從上表中可以看出，當(dāng)x→0時(shí)，sinx/x→1，即limx→0sinx/x=1.從上表中可以看出，當(dāng)x→+∞和x→-∞時(shí)，函數(shù)1+1xx無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是無理數(shù)e=2.71828182845…，即limx→∞1+1xx=e在上式中，令u=1x，則當(dāng)x→∞時(shí)，u→0，于是我們可以得到另一種形式limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e，即limx→0（1+x）1x=e.二、兩個(gè)重要極限公式第五節(jié)兩個(gè)重要極限1.函數(shù)的增量定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.這時(shí)可以說，自變量由初值x0變化到x0+Δx.相應(yīng)地，函數(shù)值由f（x0）變化到f（x0+Δx），我們把差值f（x0+Δx）-f（x0）叫作函數(shù)的增量（或改變量），記作Δy，即Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.一、函數(shù)連續(xù)的概念第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性2.函數(shù)的連續(xù)定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f（x）的相應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，也就是說，有l(wèi)imΔy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0，那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn).定義3:如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，并且limf（x）=f（x0），那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn).一、函數(shù)連續(xù)的概念第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處及其左（或右）鄰域內(nèi)有定義，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么稱函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）.定義5:如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間.一、函數(shù)連續(xù)的概念第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性性質(zhì)1：如果函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和.差.積.商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù).即lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）；lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）；limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）.二、初等函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)2如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ（x0）=u0，而函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］在點(diǎn)x0處也連續(xù).3.初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)3：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.這個(gè)結(jié)論對于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價(jià)值的.如果已知函數(shù)f（x）是初等函數(shù)，且x0屬于f（x）的定義區(qū)間，那么求limf（x）時(shí)，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f（x0）即可.二、初等函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)4：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上一定有最大值與最小值.如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點(diǎn)ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m為最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一點(diǎn)η（a≤η≤b）使f（η）=M為最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性對于在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，其最大值.最小值不一定存在.性質(zhì)5：如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f（a）=A和f（b）=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=C（a＜ξ＜b）.這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線y=f（x）與直線y=C（C在A與B之間）至少有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如圖所示.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性推論如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，那么至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0.一、需求函數(shù)與供給函數(shù)第七節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)1.需求函數(shù)一種商品的市場需求量Q與該商品的價(jià)格P密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格會使需求量增加；提高商品價(jià)格會使需求量減少.如果不考慮其他因素的影響，需求量Q可以看成是價(jià)格P的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作Q=Q（P）.一般來說，需求函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù).一、需求函數(shù)與供給函數(shù)第七節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)2.供給函數(shù)某種商品的市場供給量S也受商品價(jià)格P的制約，價(jià)格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場提供更多的商品，使供給量增加；反之，價(jià)格下跌將使供給量減少．供給量S也可看成價(jià)格P的一元函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記為S=S（P）．供給函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)增加函數(shù)．常見的供給函數(shù)有線性函數(shù).二次函數(shù).冪函數(shù).指數(shù)函數(shù)等．其中，線性供給函數(shù)為S=-c+dP（c>0，d>0）．二、成本函數(shù)、平均成本函數(shù)第七節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量，C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本，則用C=C（Q）表示該種產(chǎn)品的成本函數(shù).設(shè)生產(chǎn)每個(gè)單位產(chǎn)品的成本為a，固定成本為C0，則成本函數(shù)為C=C（Q）=aQ+C0.用C表示生產(chǎn)Q個(gè)單位產(chǎn)品的平均成本，則C=C（Q）=C（Q）Q表示每單位的平均成本函數(shù).平均成本函數(shù)也用AC表示.三、價(jià)格函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù)第七節(jié)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)在消費(fèi)理論中，需求函數(shù)是我們前面討論的形式Q=f（P）.這種形式所強(qiáng)調(diào)的是既定價(jià)格下的需求量．在廠商理論中，強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價(jià)格．在這種情況下，價(jià)格是需求量的函數(shù)，表示為P=P（Q）.1.變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度我們知道在物理學(xué)中，物體做勻速直線運(yùn)動時(shí)，它在任何時(shí)刻的速度可由公式v=s/t來計(jì)算.其中，s為物體經(jīng)過的路程，t為時(shí)間.如果物體做非勻速運(yùn)動，它的運(yùn)動規(guī)律是s=s（t），那么在某一段時(shí)間［t0，t1］內(nèi)，物體的位移（即位置增量）s（t1）-s（t0）與所經(jīng)歷的時(shí)間（即時(shí)間增量）t1-t0的比，就是這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動的平均速度.我們把位移增量s（t1）-s（t0）記作Δs，時(shí)間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得v=s（t1）-s（t0）/t1-t0=Δs/Δt=s（t0+Δt）-s（t0）/Δt.一、引例第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念2.切線問題設(shè)M是曲線C上任一點(diǎn)，N是曲線上在點(diǎn)M附近的一點(diǎn)，作割線MN.當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線C向點(diǎn)M移動時(shí)，割線MN就繞著M轉(zhuǎn)動，當(dāng)點(diǎn)N無限趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線MN的極限位置為MT，直線MT叫作曲線在點(diǎn)M處的切線，如圖所示.已知曲線方程y=f（x），可以求過曲線上點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率.在M點(diǎn)的附近取點(diǎn)N（x0+Δx，y0+Δy），其中Δx可正可負(fù)，作割線MN，其斜率為（φ為傾斜角）tanφ=ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx.一、引例第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)Δx→0時(shí)，割線MN將繞著點(diǎn)M轉(zhuǎn)動到極限位置MT，如圖所示.根據(jù)上面切線的定義，直線MT就是曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線.自然，割線MN的斜率tanφ的極限就是切線MT的斜率tanα（α是切線MT的傾斜角），即tanα=limΔtanφ=limΔyΔx=limΔf（x0+Δx）-f（x0）Δx.一、引例第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx的極限存在，那么這個(gè)極限就稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為y′|x=x0，即y′|x=x0=limΔy/Δx=limf（x0+Δx）-f（x0）Δx，也可以記作f′（x0），dy/dx或df（x）/dx二、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若limΔyΔx=limf（x0+Δx）-f（x0）/Δx(lim0Δy/Δx=limf（x0+Δx）-f（x0）/Δx)存在，則稱y=f（x）在點(diǎn)x0的左（右）導(dǎo)數(shù)存在，記作f′-（x0）（f′+（x0））.二、導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念由切線斜率問題的討論及導(dǎo)數(shù)定義可知：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率，即f′（x0）=tanα.其中，α是切線的傾斜角.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程可得，曲線y=f（x）在給定點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程是y-y0=f′（x0）（x-x0）.過切點(diǎn)M（x0，y0）且與切線垂直的直線叫作曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）的法線.若f′（x0）≠0，則法線方程為y-y0=-1f′（x0）（x-x0）.三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，即極限limΔyΔx=f′（x0）存在.由函數(shù)極限存在與無窮小的關(guān)系知ΔyΔx=f′（x0）+α（α是當(dāng)Δx→0時(shí)的無窮?。?上式兩端同乘以Δx，得Δy=f′（x0）Δx+αΔx.不難看出，當(dāng)Δx→0時(shí)，Δy→0.這就是說，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處是連續(xù)的.四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念法則1：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）±v（x）也在x處可導(dǎo)，且［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x）.法則2：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）·v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且［u（x）·v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.一、函數(shù)和.差.積.商的求導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則特別地，令v（x）=c（常數(shù)），則由于c′=0，所以有［cu（x）］′=cu′（x）.法則3：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v（x）≠0，則函數(shù)u（x）v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)且u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）［v（x）］2.一、函數(shù)和.差.積.商的求導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則法則4：如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y=f（u）在對應(yīng)點(diǎn)u=φ（x）處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)f［φ（x）］在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且dy/dx=dy/du·du/dx或f′（x）=f′（u）·φ′（x）.二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則下面來討論隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.如果一個(gè)隱函數(shù)能夠轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以用以前學(xué)過的方法求得，但是，有的隱函數(shù)很難或是根本不能轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，在這種情況下，隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：（1）將方程F（x，y）=0的兩端對x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中把y看成x的函數(shù)，y的函數(shù)看成是x的復(fù)合函數(shù)；（2）求導(dǎo)后，解出y′即可（式子中允許有y出現(xiàn)）.三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則法則5:設(shè)函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)，在y處可導(dǎo)，且φ′（y）≠0，則其反函數(shù)y=f（x）在x=φ（y）處也可導(dǎo)，且Dy/dx=1/dx/dy或f′（x）=1/φ′（y）.四、反函數(shù)的求導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)y與自變量x的關(guān)系常常通過某一參數(shù)變量t表示出來，即x=φ（t）y=ψ（t），t為參數(shù)稱為函數(shù)的參數(shù)方程.由于y是參數(shù)t的函數(shù)，由x=φ（t）知t是x的函數(shù)，所以，y通過t確定為x的復(fù)合函數(shù).于是，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′（t）φ′（t）五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則一般來說，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）仍是x的函數(shù).若函數(shù)y′=f′（x）仍是可導(dǎo)的，則把y′=f′（x）的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記為y″，f″（x）或d2y/dx2.類似地，y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的四階導(dǎo)數(shù)，等等.一般地，f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，分別記作一、高階導(dǎo)數(shù)的概念第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)設(shè)物體做變速直線運(yùn)動，其運(yùn)動方程為s=s（t），瞬時(shí)速度為v=s′（t）.此時(shí)，若速度v仍是時(shí)間t的函數(shù)，我們可以求速度v對時(shí)間t的變化率：v′（t）=（s′（t））′=s″（t）.在力學(xué)中把上式叫作物體在給定時(shí)刻的加速度，用a表示.也就是說，物體的加速度a是路程s對時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，即a=v′（t）=s″（t）=d2s/dt2.二、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，有時(shí)需要考慮這樣的問題：當(dāng)自變量有一微小的增量時(shí)，函數(shù)的增量是多少.例如，一個(gè)邊長為x0的正方形金屬薄片，當(dāng)受冷熱影響時(shí)，其邊長由x0變到（x0+Δx），問此時(shí)薄片的面積的改變量是多少?設(shè)正方形薄片的邊長為x0，面積為y，則上面問題就是求當(dāng)函數(shù)y=x2的自變量由x0變到（x0+Δx）時(shí)函數(shù)y的改變量Δy，也就是面積的改變量，即一、微分的概念第四節(jié)函數(shù)的微分Δy=（x0+Δx）2-x20=2x0·Δx+（Δx）2.由此可見，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，（Δx）2的作用非常小，可以忽略不計(jì).因此，函數(shù)y=x2在x0有微小改變量Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy約為2x0·Δx，即Δy≈2x0·Δx.一、微分的概念第四節(jié)函數(shù)的微分從圖中不難看出，Δy表示的是以x0為邊長的正方形外圍的陰影部分面積，它為圖示的Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ部分的面積之和，即2（x0·Δx）+（Δx）2，顯然當(dāng)|Δx|相對于x0很小時(shí)，（Δx）2是微乎其微的.一、微分的概念第四節(jié)函數(shù)的微分當(dāng)f（x）=x2時(shí)，f′（x0）=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以寫成Δy≈f′（x0）·Δx.由于f′（x0）·Δx是Δx的線性函數(shù)，所以通常把f′（x0）·Δx叫作Δy的線性主部.一般地，對于給定的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量在x0處有微小的改變量Δx時(shí)，函數(shù)值y的改變量Δy可用下式近似計(jì)算，即Δy≈f′（x0）·Δx一、微分的概念第四節(jié)函數(shù)的微分我們把f′（x0）·Δx稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的微分.定義如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)f′（x0），那么f′（x0）·Δx就叫作函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記作dyx=x0，即dy=f′（x0）·Δx.一、微分的概念第四節(jié)函數(shù)的微分如圖所示，設(shè)曲線y=f（x）上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，f（x0）），過P點(diǎn)作割線PQ交曲線于點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（x0+Δx，f（x0+Δx）），則dx=Δx=PR，Δy=RQ.二、微分的幾何意義第四節(jié)函數(shù)的微分從函數(shù)微分的表達(dá)式dy=f′（x）dx可以直接推出微分的基本公式和運(yùn)算法則.1.微分的基本公式（1）d（C）=0（C為常數(shù)）；（2）d（xα）=αxα-1dx；（3）d（ax）=axlnadx（a＞0，a≠1）；（4）d（ex）=exdx；（5）d（logax）=(1/xlna)dx（a＞0，a≠1）；三、微分的運(yùn)算第四節(jié)函數(shù)的微分2.函數(shù)和.差.積.商的微分法則由函數(shù)的和.差.積.商的求導(dǎo)法則，可以求得函數(shù)和.差.積.商的微分法則：（1）d（u±v）=du±dv；（2）d（uv）=vdu+udv；（3）d（Cu）=Cdu（C為常數(shù)）；（4）duv=(vdu-udv)/v2（v≠0）.三、微分的運(yùn)算第四節(jié)函數(shù)的微分3.復(fù)合函數(shù)的微分法則若函數(shù)y=f（u）及u=φ（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］的微分為dy=y′xdx=f′（u）φ′（x）dx，由于φ′（x）dx=du，故上式為dy=f′（u）du.所以復(fù)合函數(shù)的微分法則為dy=f′（u）du.三、微分的運(yùn)算第四節(jié)函數(shù)的微分將這個(gè)公式與x為自變量的微分公式dy=f′（x）dx相比較，可以發(fā)現(xiàn)它們的形式完全相同，這表明無論u是自變量還是中間變量（即自變量的函數(shù)），函數(shù)y=f（u）的微分形式dy=f′（u）du都保持不變，微分的這種性質(zhì)叫作一階微分形式的不變性.三、微分的運(yùn)算第四節(jié)函數(shù)的微分函數(shù)y=f（x）在x=x0處的增量Δy，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，可用微分dy來代替，即Δy≈dy=f′（x0）Δx，于是Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，或f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx.在上式中，令x0=0，Δx=x，得f（x）≈f（0）+f′（0）x.四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第四節(jié)函數(shù)的微分羅爾定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即f′（ξ）=0.一、羅爾定理第一節(jié)微分中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立.二、拉格朗日中值定理第一節(jié)微分中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立.二、拉格朗日中值定理第一節(jié)微分中值定理f（b）-f（a）/b-a=f′（ξ），由圖可看出，f（b）-f（a）b-a為弦AB的斜率，而f′（ξ）為曲線在點(diǎn)C處的切線的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f（x）的弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于弦AB.二、拉格朗日中值定理第一節(jié)微分中值定理定理1：（洛必達(dá)法則）如果函數(shù)f（x），g（x）滿足條件：（1）limf（x）=0，limx→x0g（x）=0；（2）f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）limf′（x）g′（x）存在（或?yàn)闊o窮大）；那么limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）.一、00型未定式第二節(jié)洛必達(dá)法則這個(gè)法則告訴我們，當(dāng)x→x0時(shí)，如果f（x）/g（x）為0/0型未定式，那么在上述條件下，要計(jì)算極限limf（x）/g（x），可化為計(jì)算極限limf′（x）/g′（x）.如果f′（x）/g′（x）當(dāng)x→x0時(shí)，仍屬0/0型，且f′（x）和g′（x）仍滿足洛必達(dá)法則條件，則可連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，即limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）=limf″（x）/g″（x）.一、00型未定式第二節(jié)洛必達(dá)法則對于x→x0時(shí)的∞∞型未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則.定理2:如果f（x），g（x）滿足條件：（1）limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）limf′（x）/g′（x）存在（或無窮大）；那么limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）.對于x→∞時(shí)的∞∞型未定式，上述法則也同樣適用.二、∞∞型未定式第二節(jié)洛必達(dá)法則如圖所示，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上單調(diào)增加，那么它的圖象是一條沿x軸正向上升的曲線，這時(shí)，曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是銳角，它們的切線斜率f′（x）都是正的，即f′（x）＞0.同樣地，如圖所示，如果函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)減少，那么它的圖象是一條沿x軸正向下降的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是鈍角，它們的斜率f′（x）都是負(fù)的，即f′（x）＜0.二、∞∞型未定式第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性二、∞∞型未定式第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性二、∞∞型未定式第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)y=f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)：（1）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)減少.一、函數(shù)極值的定義第四節(jié)函數(shù)的極值在圖中我們可以看出，函數(shù)y=f（x）在一、函數(shù)極值的定義第四節(jié)函數(shù)的極值c1，c4的函數(shù)值f（c1），f（c4）比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)c2，c5的函數(shù)值f（c2），f（c5）比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都小.對于這種性質(zhì)的點(diǎn)和對應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義.定義設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，x0∈（a，b）.若對于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（x≠x0），均有f（x）＜f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；若對于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（x≠x0），均有f（x）＞f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱為f（x）的極小值點(diǎn).二、函數(shù)極值的判定和求法第四節(jié)函數(shù)的極值定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′（x0）=0.使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程f′（x）=0的實(shí)根）叫作函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)（又叫穩(wěn)定點(diǎn)）.二、函數(shù)極值的判定和求法第四節(jié)函數(shù)的極值定理2：（第一種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo).（1）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大值f（x0）；（2）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極小值f（x0）；二、函數(shù)極值的判定和求法第四節(jié)函數(shù)的極值（3）如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號相同，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處沒有極值.當(dāng)函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí)，也可以利用下列定理來判定f（x）在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值.二、函數(shù)極值的判定和求法第四節(jié)函數(shù)的極值定理3：（第二種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，那么（1）f″（x0）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）f″（x0）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值.根據(jù)上面三個(gè)定理，如果函數(shù)f（x）在所討論的區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處都具有導(dǎo)數(shù)，我們就以下列步驟來求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值：（1）求出函數(shù)f（x）的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；二、函數(shù)極值的判定和求法第四節(jié)函數(shù)的極值（3）求出f（x）的全部駐點(diǎn)（即求出方程f′（x）=0在所討論的區(qū)間內(nèi)的全部實(shí)根）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（4）用以上所求得的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分為若干個(gè)部分區(qū)間，考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，以確定這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按定理2確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值；（5）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到了函數(shù)f（x）的全部極值.一、函數(shù)的最大值和最小值的求法第五節(jié)函數(shù)的最值我們知道，閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f（x）一定有最大值和最小值存在.顯然，這個(gè)最大值和最小值只能在區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得.因此，求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，只要把可能取得極值的點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)）與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，最大的就是f（x）在［a，b］上的最大值，最小的就是f（x）在［a，b］上的最小值.二、最大值和最小值的應(yīng)用問題第五節(jié)函數(shù)的最值在實(shí)際問題中，常要遇到在一定條件下，怎樣使產(chǎn)量最多.用料最省.成本最低等問題，這類問題?？蓺w結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題.一、曲線的凹凸性及其判別法第六節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義1：若在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；若曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凸的.如圖所示，曲線y=f（x）在區(qū)間（a，c）內(nèi)是凸的，在區(qū)間（c，b）內(nèi)是凹的.再觀察曲線段上各點(diǎn)處的斜率的變化我們會發(fā)現(xiàn)，曲線y=f（x）在區(qū)間（a，c）內(nèi)從左至右切線的斜率是遞減的；在區(qū)間（c，b）內(nèi)從左至右切線的斜率是遞增的.聯(lián)系函數(shù)增減性的判別方法，我們便有如下的曲線凹凸性的判別定理.一、曲線的凹凸性及其判別法第六節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)一、曲線的凹凸性及其判別法第六節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若果在區(qū)間（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的；（2）若在區(qū)間（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的.二、曲線的拐點(diǎn)第六節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義2：若連續(xù)曲線y=f（x）上的一點(diǎn)是凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是曲線y=f（x）的拐點(diǎn).因?yàn)楣拯c(diǎn)是曲線凹凸的分界點(diǎn)，所以拐點(diǎn)左右兩側(cè)近旁f″（x）的符號必然異號.因此曲線y=f（x）拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0只可能是使f″（x）=0或f″（x）不存在的點(diǎn).下面我們介紹判定曲線的拐點(diǎn)的步驟.二、曲線的拐點(diǎn)第六節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)（1）確定函數(shù)y=f（x）的定義域；（2）求出二階導(dǎo)數(shù)f″（x），令f″（x）=0，求出定義域內(nèi)的所有實(shí)根，指出f″（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)來劃分定義域；（3）列表討論f（x）在各個(gè)區(qū)間f″（x）的符號和f（x）的凹凸性；（4）確定y=f（x）的拐點(diǎn).一、漸近線第七節(jié)圖象的描繪定義若曲線y=f（x）的定義域是無限區(qū)間，且有l(wèi)imf（x）=b或limf（x）=b，則直線y=b為曲線y=f（x）的水平漸近線；若曲線y=f（x）有l(wèi)imf（x）=∞，或limf（x）=∞，則直線x=x0是曲線y=f（x）的垂直漸近線.二、圖象的描繪第七節(jié)圖象的描繪（1）確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)的有界性.周期性.奇偶性等；（2）求f′（x），f″（x），解出f′（x）=0及f″（x）=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階.二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）列表討論f′（x），f″（x）的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.凹凸性.極值和拐點(diǎn)；（4）計(jì)算一些必要的輔助點(diǎn)；（5）討論曲線的漸近線；（6）描出函數(shù)圖象.微分學(xué)研究如何從已知函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，其逆問題是求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一個(gè)已知函數(shù).例如，我們已知t時(shí)刻的速度v（t）是位移s（t）的導(dǎo)數(shù)，v（t）=ds/dt；加速度a（t）是速度v（t）的導(dǎo)數(shù)，a（t）=dv/dt.現(xiàn)在反過來，已知速度v（t），如何求位移s（t）?已知加速度a（t），如何求速度v（t）?一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)又例如，我們已知曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x，y）處的切線斜率k是f（x）在切點(diǎn)橫坐標(biāo)x處的導(dǎo)數(shù)，k=f′（x），反過來，如果已知某曲線在任意點(diǎn)M（x，y）處的切線斜率k（x），如何求出該曲線方程?一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)定義1:設(shè)函數(shù)F（x）和f（x）在區(qū)間I上有定義，若對于I上每一點(diǎn)x，都有F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，則稱F（x）是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù).研究原函數(shù)，首先需要解決在什么條件下，函數(shù)的原函數(shù)存在?如果存在，原函數(shù)是否唯一?一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)事實(shí)上，并不是每個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)，我們將在下一章中證明下述定理.定理若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，那么f（x）在I上的原函數(shù)F（x）存在.由于初等函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)，因此，每個(gè)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)由于初等函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)，因此，每個(gè)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).設(shè)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)，即F′（x）=f（x），那么，對任意常數(shù)C，由［F（x）+C］′=F′（x）=f（x）知，F(xiàn)（x）+C也是f（x）的原函數(shù).一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)如果F（x），G（x）都是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)，即有F′（x）=G′（x）=f（x），根據(jù)微分學(xué)拉格朗日中值定理的推論，存在某常數(shù)C使G（x）=F（x）+C.一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)上述表明，如果某函數(shù)存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有無窮多個(gè)，并且，它們彼此之間只相差一個(gè)常數(shù).因此，若把兩個(gè)函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)作為“等價(jià)”看待，則可認(rèn)為原函數(shù)“基本上”只有一個(gè).要把某函數(shù)的原函數(shù)求出來，只需求出其中任意一個(gè)，由它加上各個(gè)不同的常數(shù)便可得到全部原函數(shù).根據(jù)全體原函數(shù)的這種結(jié)構(gòu)，引入不定積分的概念.一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)定義2:函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為f（x）在I上的不定積分，記作∫f（x）dx.其中，記號∫稱為積分號，f（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量.一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)由定義2可知不定積分與原函數(shù)是整體和個(gè)體的關(guān)系，f（x）的不定積分∫f（x）dx是f（x）的原函數(shù)的全體，是一族函數(shù).若F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）在I上的不定積分為∫f（x）dx=F（x）+C.其中，C為任意實(shí)數(shù)，稱為積分常數(shù).一、原函數(shù)與不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)在直角坐標(biāo)系中，f（x）的任意一個(gè)原函數(shù)F（x）的圖形是一條曲線y=F（x），這條曲線上任意點(diǎn)（x，F(xiàn)（x））處的切線的斜率F′（x）恰為函數(shù)值f（x），稱這條曲線為f（x）的一條積分曲線.f（x）的不定積分F（x）+C則是一個(gè)曲線簇，稱為積分曲線簇.如圖4

1所示，平行于y軸的直線與簇中每一條曲線的交點(diǎn)處的切線斜率都等于f（x），因此積分曲線簇可以由一條積分曲線通過經(jīng)y軸方向平移得到.二、不定積分的幾何意義第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的幾何意義第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)由不定積分和微分的關(guān)系可知：［∫f（x）dx］′=f（x）或d∫f（x）dx=f（x）dx，∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C.二、不定積分的幾何意義第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)根據(jù)積分法是微分法的逆運(yùn)算關(guān)系，我們可以從每一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式相應(yīng)地得到一個(gè)不定積分公式.下面為最常用的不定積分公式：（1）∫kdx=kx+C（k為常數(shù)）；（2）∫xαdx=xα+1/(α+1)+C（α≠-1，α為常數(shù)）；（3）∫(1/x)dx=∫dx/x=ln|x|+C；（4）∫exdx=ex+C；（5）∫axdx=ax/lna+C（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）；三、不定積分的基本公式第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)1:若f（x）和g（x）的不定積分存在，則f（x）+g（x）的不定積分也存在，且∫［f（x）+g（x）］dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx.四、不定積分的性質(zhì)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)2:若f（x）的不定積分存在，k為非零常數(shù)，則kf（x）的不定積分也存在，且∫kf（x）dx=k∫f（x）dx.利用不定積分的性質(zhì)和基本積分表，可以求得一些比較簡單的函數(shù)的不定積分.四、不定積分的性質(zhì)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)定理1：設(shè)函數(shù)u=φ（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且∫f（u）du=F（u）+C，則∫f［φ（x）］φ′（x）dx=F［φ（x）］+C.稱為不定積分的第一類換元積分公式.利用第一類換元積分公式計(jì)算不定積分的方法為第一類換元積分法.一、第一類換元積分法第二節(jié)換元積分法第一類換元積分法的關(guān)鍵是要能從被積函數(shù)g（x）中分離出因式φ′（x），φ′（x）與dx結(jié)合湊成微分d［φ（x）］.因此也稱該換元積分法為湊微分法.一、第一類換元積分法第二節(jié)換元積分法運(yùn)用湊微分法求不定積分，需要熟悉以下常用的微分式：（1）dx=1/ad（ax+b）（a≠0）；（2）xdx=1/2d（x2）；（3）1/xdx=d（lnx）；（4）1/x2dx=-d(1/x)；一、第一類換元積分法第二節(jié)換元積分法如果不定積分∫f（x）dx不易直接應(yīng)用基本積分表計(jì)算，我們還可以通過適當(dāng)代換x=φ（t），將不定積分∫f（x）dx化為比較容易計(jì)算的關(guān)于新積分變量t的不定積分∫f［φ（t）］φ′（t）dt，這就是第二類換元積分法.二、第二類換元積分法第二節(jié)換元積分法定理2:設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，x=φ（t）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零，t=φ-1（x）是其反函數(shù).如果Φ（t）是f［φ（t）］φ′（t）的原函數(shù)，則∫f（x）dxx=φ（t）∫f［φ（t）］φ′（t）dt=Φ（t）+C=Φ［φ-1（x）］+C.稱為第二類換元積分公式，相應(yīng)的積分方法稱為第二類換元積分法.二、第二類換元積分法第二節(jié)換元積分法通過前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，利用基本積分法和換元積分法可以解決大量的不定積分的計(jì)算問題，但是仍然有一些不定積分如∫xcosxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等不定積分無法用上述方法求出，那么它們又是如何計(jì)算的呢？本節(jié)將要介紹另一種基本積分方法——分部積分法.二、第二類換元積分法第三節(jié)分部積分法定理：設(shè)函數(shù)u=u（x），v=v（x）均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由兩個(gè)函數(shù)乘法的微分法則可得：d（uv）=udv+vdu或udv=d（uv）-vdu，兩邊同時(shí)積分得∫udv=∫d（uv）-∫vdu=uv-∫vdu，這個(gè)公式被稱為分部積分公式.二、第二類換元積分法第三節(jié)分部積分法u，v的選擇原則如下：（1）由φ（x）dx=dv，求v比較容易；（2）∫vdu比∫udv更容易計(jì)算.分部積分法在選取u，v過程中，要始終選取同一類函數(shù)作為u，v.二、第二類換元積分法第三節(jié)分部積分法1.曲邊梯形的面積在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形.一、引例第一節(jié)定積分的概念設(shè)y=f（x）在［a，b］上連續(xù)，且f（x）≥0，求以曲線y=f（x）為曲邊，底邊為［a，b］的曲邊梯形的面積A，如圖所示.一、引例第一節(jié)定積分的概念曲邊梯形面積可按下述步驟來計(jì)算：（1）分割.在區(qū)間［a，b］中任取若干分點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b.把曲邊梯形的底［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xi-1，xi］，…，［xn-1，xn］.小區(qū)間［xi-1，xi］的長度記為Δxi=xi-xi-1（i=1，2，3，…，n）.過各分點(diǎn)作垂直于x軸的直線段，把整個(gè)曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，其中第i個(gè)小曲邊梯形的面積記為ΔAi（i=1，2，…，n）.一、引例第一節(jié)定積分的概念（2）取近似.在第i個(gè)小曲邊梯形的底［xi-1，xi］上任取一點(diǎn)ξi（xi-1≤ξi≤xi），它所對應(yīng)的函數(shù)值是f（ξi）.用相應(yīng)的寬為Δxi.長為f（ξi）的小矩形面積來近似代替這個(gè)小曲邊梯形的面積，即ΔAi≈f（ξi）Δxi.（3）求和.把n個(gè)小矩形的面積相加得和式∑nf（ξi）Δxi，它就是曲邊梯形面積A的近似值，即A≈∑nf（ξi）Δxi.（4）取極限.分割越細(xì)，∑nf（ξi）Δxi就越接近于曲邊梯形的面積A.當(dāng)小區(qū)間長度的最大值趨近于零，即‖Δxi‖→0（‖Δxi‖表示這些小區(qū)間長度的最大值）時(shí)，和式∑nf（ξi）Δxi的極限就是A，即A=lim‖Δxi‖→0∑nf（ξi）Δxi.一、引例第一節(jié)定積分的概念2.變速直線運(yùn)動的路程設(shè)一物體沿一直線運(yùn)動，已知速度v=v（t）是時(shí)間區(qū)間［a，b］上t的連續(xù)函數(shù)，且v（t）≥0，求這一物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程S.（1）分割.任取分點(diǎn)a=t0＜t1＜t2＜…＜ti-1＜ti＜…＜tn-1＜tn=b，把時(shí)間區(qū)間［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間［a，b］=［t0，t1］∪［t1，t2］∪…∪［ti-1，ti］∪…∪［tn-1，tn］記第i個(gè)小區(qū)間［ti-1，ti］的長度為Δti=ti-ti-1，物體在第i時(shí)間段內(nèi)所走過的路程為ΔSi（i=1，2，…，n）.一、引例第一節(jié)定積分的概念（2）取近似.在小區(qū)間［ti-1，ti］上認(rèn)為運(yùn)動是勻速的，用其中任一時(shí)刻ti的速度v（ti）來近似代替變化的速度v（t），即v（t）≈v（ti），t∈［ti-1，ti］，得到ΔSi的近似值為ΔSi≈v（ti）·Δti.（3）求和.把n段時(shí)間上的路程近似值相加，得到總路程的近似值為S≈∑ni=1v（ti）Δti.一、引例第一節(jié)定積分的概念定義:設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上有定義.在區(qū)間［a，b］中任取分點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜x3＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b，將區(qū)間［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］，其長度為Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）.在每個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］上任取一點(diǎn)ξi（xi-1≤ξi≤xi）求乘積f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n）的和式∑nf（ξi）Δxi.二、定積分的概念第一節(jié)定積分的概念在閉區(qū)間［a，b］上，若函數(shù)f（x）≥0，則∫b/af（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x）（≥0），直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積.在閉區(qū)間［a，b］上，若函數(shù)f（x）≤0，則∫b/af（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x）（≤0），直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形（在x軸下方）的面積的相反數(shù).三、定積分的幾何意義第一節(jié)定積分的概念在閉區(qū)間［a，b］上，f（x）有正有負(fù)時(shí)，如果我們約定位于x軸上方的面積為“正”，下方的面積為“負(fù)”，這時(shí)，∫b/af（x）dx在幾何上表示介于x軸及直線x=a，x=b和曲線y=f（x）之間的各部分面積的代數(shù)和，如圖所示，即∫b/af（x）dx=A1-A2+A3.三、定積分的幾何意義第一節(jié)定積分的概念由定積分的定義知，定積分是積分和式的極限.因此，由極限的運(yùn)算法則容易推出以下一些簡單性質(zhì)，其中被積函數(shù)在積分區(qū)間上假設(shè)都是可積的.性質(zhì)1:被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即∫b/akf（x）dx=k∫b/af（x）dx.性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即∫b/a［f（x）±g（x）］dx=∫b/af（x）dx±∫bag（x）dx.四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念性質(zhì)2可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即∫b/a［f1（x）±f2（x）±…±fn（x）］dx=∫b/af1（x）dx±∫b/af2（x）dx±…±∫b/afn（x）dx.性質(zhì)3:如果a＜c＜b，那么∫b/af（x）dx=∫ca/f（x）dx+∫b/cf（x）dx.性質(zhì)3:叫作定積分的區(qū)間可加性.從定積分的幾何意義可以直接看出它的正確性，并且無論a，b，c三點(diǎn)位置如何，該性質(zhì)總成立，如圖所示.四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念事實(shí)上，當(dāng)a＜b＜c時(shí)，從幾何上直觀看到∫b/af（x）dx=∫c/af（x）dx-∫c/bf（x）dx=∫c/af（x）dx+∫b/cf（x）dx.四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念性質(zhì)4說明：比較兩個(gè)定積分的大小，只需在同一積分區(qū)間上比較兩個(gè)被積函數(shù)的大小.性質(zhì)5:（估值定理）如果函數(shù)f（x）在［a，b］上可積，對任意x∈［a，b］恒有m≤f（x）≤M，則m（b-a）≤∫b/af（x）dx≤M（b-a）性質(zhì)5:的幾何意義是：曲線y=f（x）在［a，b］上曲邊梯形的面積介于以區(qū)間［a，b］長度為底，分別以m和M為高的兩個(gè)矩形面積之間，如圖所示.四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第二節(jié)

微積分基本定理設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，則對于［a，b］上任意x，f（x）在［a，x］上可積，即積分∫x/af（x）dx，x∈［a，b］存在.其中x既表示積分上限，又表示積分變量，為避免混淆，將積分變量x換寫成t，即∫x/af（x）dx=∫x/af（t）dt，x∈［a，b］.對于［a，b］上任一給定的x，有唯一確定的積分值∫xaf（t）dt與之對應(yīng)，因而∫xaf（t）dt是定義在區(qū)間［a，b］上的自變量x在積分上限的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，也稱變上限定積分，記作Φ（x），即Φ（x）=∫x/af（t）dt，x∈［a，b］.一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第二節(jié)

微積分基本定理積分上限函數(shù)的幾何意義是底邊為［a，x］的變動曲邊梯形面積，如圖所示.一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)