平面與平面垂直課時檢測

1.已知〃?，〃是兩條不同的直線，a，￡是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若m_L〃，mcia,nu0,則。若加〃〃，nu0,則m〃￡.

C.若加_La,mlIn,n//（3,則。_1;?.D.若機ua,naa,mlIp,〃〃6，則a〃6.

【答案】C

【詳解】

選項A.由/n_L〃，帆ua,nu/3,不能得出加_Lc，故不能得到二人力，所以A錯誤.

選項B.mlln,〃u/7,則可能是機u尸，不一定是〃?//月，所以B錯誤.

選項C.由m_La,/”〃〃，貝！l〃_La,又〃//4，則a_L4，所以C正確.

選項D.若mua,〃ua,ml1（3,〃//耳,若相〃“時，則a,4可能相交，所以D不正確.

2.若加，〃是兩條不同的直線，a,°,7是三個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加三々，al/7,則根_L/7

B.若。n#=〃2，尸1?7=",mlIn,則a〃/

C.若4>Ly,則

D.若加_La,tnlip,則a_L4

【答案】D

【詳解】

對A,當(dāng)aVp,則加_L萬或機//月或機與夕相交；對B,當(dāng)an/?=帆，60/=",mJIn,

則a〃/或a與/相交：對c,若a，6，01y,則a或a〃/或a與V相交；對D,若m///3,

則a”.

3.已知直線/,〃?和平面a,4滿足/_La,/nu夕，下列命題:

①a_1_夕=/〃加；

②a〃0=11tn；

③1na〃B；

④I〃tnna【B

正確命題的序號是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【詳解】

\/\由圖可知，命題①不正確；

allp,mu0,.?.m〃ua,且加〃〃，

又?.?/_La，?../_!_〃，則/JLm,故命題②正確；

\若ac笈=根由圖可知，命題③不正確；

,/U/m,/J_a，:.mVa

乂?；mu（3,:.aA_/3,故命題④正確.

4.如圖，在三棱錐尸―ABC中，PALAB，PAA.AC,D、E、產(chǎn)分別是所在棱的中點.則下列說法

錯誤的是（）

A.面。瓦7/面PBCB.面厚3JL面A8CC.PALBCD.DE!/PC

【答案】D

【詳解】

解：QD、E分別是Q4，AB的中點，

:.DE//PB，乂DE,平面P8C，PBu平面P8C，

.?.DE〃平面P5C,

同理可得。尸〃平面PBC，

又DEcO尸=￡＞，，平面。瓦7/平面P8C,故A正確；

-.-PAYAB,PALAC，A8p|AC=A,

.?.B4c平面ABC，

:.PALBC^故C正確，

又QAu平面ms,

???平面K4B_L平面ABC,故B正確;

假設(shè)。E//PC，又DE//PB,

..PB//PC，與PBcPC=P矛盾,故。E與PC不平行，故。錯誤，

5.已知兩個不重合的平面/夕，若直線/ua，貝廣。_LZ?”是“/J■耳”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】

根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若?月，可推出。，尸，即必要性成立；反之，若a，民/ua,

則/與〃的位置關(guān)系不確定，即充分性不成立；

所以“a，4"是“，夕，的必要不充分條件.

6.已知長方體ABC?！狝與在平面上任取點”，作〃￡，48于點后，則（）

A.ME，平面ABC。

B.MEu平面ABCD

C."EP平面ABC。

D.以上都有可能

【答案】A

【詳解】

:MEu平面明與8,平面A41ABe平面ABC。=AB,且平面A41AB，平面ABC。,ME人AB,

平面A3CD

7.如圖，在菱形ABC。中，AB=2,ZZMB=60°,E是AB的中點，將AADE沿直線OE翻折至△4。后

的位置，使得面4包＞，面3CDE,則點A到直線的距離為（）

A.立B.近

24

C.3D.73

2

【答案】A

【詳解】

如圖，

C

是A3的中點，?,.EB=E4=3=；A3=1,

在菱形ABC。中，A3=2，ZZMB=60°,得△AB。、△BCD是等邊三角形，

.-.BD=CD=AB=2,&\lA,D=AD=AB=2,

正三角形4h中，E是A3的中點，則DEL43,可得。后，4七，

又面面3CDE,且面AEOC面6co￡=￡>￡,

.?.4七_(dá)1平面5?！?gt;￡：,則4EL8E，

在中，由A￡=8E=1,可得AB=3,

在等腰三角形84。中，取AB的中點“，連接￡)”,可得口口同處—卡=號,

設(shè)點A1到直線DB的距離為h,

則由等面積法可得，-xA.BxDH=-xBDxh,

22

.hJBxDH山工師.

"BD22

8.如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABCO是平行四邊形，ADLPA，BC1PB,PB=BC,PA=AB，

PN

M為尸8的中點，若PC上存在一點N使得平面PCD，平面AMM則——=()

NC

【答案】B

【詳解】

取PC的中點0,連接80，由DB=BC，所以BOLPC,

過點用作MN//B0,交PC于點N,則MNJ.PC,如圖所示,

由AM,平面PBC，PCu平面尸BC,所以AM，PC，

且=M，4Mu平面AMN，MNu平面AAW,

所以PC,平面A"N,

又PCu平面PC。，所以平面尸CDJ■平面4WN，

PNPM1

由R4=AB，M為P8的中點，且MN//B。，所以——=——=一

POPB2

又由PO所1以——PN=—1,所以一P上NI

PC2PC4NC3

a,"為兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（)

A.若a//a,b//a,則a//bB.若a_Lb,a_L￡,a_La,則人_1_萬

C.若aJ_a,Z?_La,則a//D.若a_La,a_L/7,貝心_|_力

【答案】CD

【詳解】

對于A,若a//a力//a,則a,buj■能平行、異面或相交，故A不正確；

對于B,若。_1。,。，，,。_1。，則〃與￡垂直、平行，相交不垂直或力（=4,

故B不正確;

對于C,若。_1々,。_1_。，則a//b，故C正確；

對于D,若4_1。力_1_尸,&_1_/?,則；_|_方，故D正確.

10.（多選）設(shè)a和夕是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（)

A.若加〃a,n//p,mlIn,則a〃尸

B.若m_La,nu/3,alip,則加_L〃

C.若〃2_La,nLp,則a_L尸

D.若加_La,nA-fi,a///7,則加//〃

【答案】BCD

【詳解】

mHa,n//p,m/M,并不能推出?！ㄏΓ@時。和夕還可能相交，故A錯誤；

若加_La,a〃力，則/M_L，，乂〃u，，則/找J_〃，B正確：

若加_La,m±?-則〃〃a或〃ua,又〃_L￡,則。_L/7,C正確；

若加_La,a〃尸，中s_L￡,乂"_L￡,則zn〃〃，D正確.

11.（多選）正三棱柱ABC-A出Ci的各條棱的長度均相等，。為AAi的中點，M,N分別是線段和線段

CG上的動點（含端點），且滿足8M=GM當(dāng)M,N運動時，下列結(jié)論正確的是（）

A.在仆DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面￡>MN_L平面BCCB

C.三棱錐A-DMN的體積為定值

D.△DMN可能為直角三角形

【答案】ABC

【詳解】

對于A,由直線與平面平行的定義得，在ADMN內(nèi)總存在與平面A8C平行的線段，故A正確；

對于B,若滿足BM=GN,則線段MN必過正方形BCG4的中心。，而。O_L平面5CG4,所以，

平面?平面BCC\B\故B正確

對于c,當(dāng)M,N分別在BB],CG上運動時，的面積不變，N到平面\DM的距離不變，所以，

棱錐N-AOM的體積不變，即三棱錐A-DMN的體積為定值，C正確；

對于D,如圖，當(dāng)M,N分別在B4，CG1二運動時，D項，若△DMN為直角三角形,則必是以NMDN為

直角的直角三角形，但MN的最大值為BG，而此時Z）M，ON的長大于84，所以，△￡>〃代不可能為

直角三角形，故D錯誤；

12.（多選）如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，△CDE是邊長為2的正三角形，點N為正方形A5CD

的中心，M為線段0E的中點，3CLOE則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線與硒是異面直線

B.線段與EN的長度不相等

C.直線平面4cM

D.直線￡4與平面ABC。所成角的正弦值為旦

4

【答案】BD

【詳解】

解：對于A選項，連接3。，易知8Mu平面BOE，EN平面BDE，所以宜線和EN共面，A項錯

誤;

對于B選項，設(shè)CO的中點為尸，連接族、FN，則EE_LCO,

■:BCLCD.BC1DE,CDCDE=D,

BC_L平面CZ5E,

?.?BCu平面A8CO,

平面ABCD_L平面CQE,

???平面ABCDQ平面CDE=CD.所u平面CDE,

.?.￡F_L平面ABC。，

?r/Wu平面488,EF1FN,

?.?尸、N分別為CO、BO的中點，則F7V=L8c=1,

2

又EF=dCE'-CF2=#),故EN7EF°+FN°=2,BM=^BC1+CM2=V7>BM力EN，

故B項正確；

對于C選項，由于3C，平面CDE，故ADJJHhiCDE,故AD_L￡>E，所以DEL4W不滿足，所以

直線OE_L平面ACM不成立，故C選項錯誤;

對于D選項，設(shè)E4與平面A5CD所成的角為。，則6=NE4產(chǎn)，則cos6=￡￡="，故D選項正確.

EA4

E

二、拓展提升

13.如圖，正方形A8CO所在平面與以AB為直徑的半圓。所在平面A3砂互相垂直，尸為半圓周上異于

A，B兩點的任一點，求證：平面平面APC

【答案】證明見解析

【詳解】

證明：是半圓直徑，APLBP，

:四邊形ABCD是正方形，；.CB±AB

平面ABCD±平面ABEF,且平面ABCDQ平面ABEF=AB，

CBu平面ABCD,???CB_L平面ABEF,

；APu平面R4C，.?.平面P4C，平面P8C.

14.在四棱錐尸一A5CD中，底面ABCD為矩形，AP_L平面PCD,E,尸分別為PC,A8的中點.求

證:

（1）EE//平面QAO；

（2）平面平面ABC。.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【詳解】

（1）連接AC,BD交于點。，連接OEQF,如圖所示:

：A8CD為矩形，點為AC中點，

:E為PC中點、，：.OE〃PA,

??.OEZ平面尸AO，PAu平面尸AD，

OEH平面PAD，

同理可得：OF〃平面？AD，

OEr\OF=O,

，平面OEF〃平面尸AD，

???斯（=平面。石尸，

二EFH平面PAD

（2）:AP_L平面尸CD,COu平面PC。,

APA.CD,

,:ABCD為矩形，ADLCD,

又??,APcAD=A，APu平面240，ADu平面A4O,

C￡）_L平面Q4O，

???CDu平面ABC￡）,

二平面R4DJ_平面ABC。.

15.如圖，在四棱錐P—ABC。中，△P4D為正三角，平面平面