利用勾股定理求最值（專項練習）

專題17.10利用勾股定理求最值（專項練習）

一、單選題

1.如圖，一只螞蟻沿著邊長為4的正方體表面從點4出發(fā)，爬到點8,如果它運動的路徑

是最短的，則AC的長為（）

C.26D.475

2.如圖，在△ABC中，NA=90。，AB=6,BC=]0,E尸是BC的垂直平分線，P是直線

EF上的任意一點，則辦+PB的最小值是（）

3.如圖，正方形ABC。的邊長是4,點E是。C上一個點，且。E=l,P點在4c上移動,

則PE+PD的最小值是（）

C.5.5D.5

4.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一

滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達

蜂蜜的最短距離為（）cm.

螞蟻.4

。燎蜜

A.15B.20C.18D.30

5.如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點B處有一滴糖漿，容器外4點處的螞蟻想沿容

器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為5cm,寬為3cm,高為4cm,點A距底部1cm,請問

螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）（）

A.35/r7cmC.5石cmD.-7113cm

6.如圖，等邊AABC的邊長為6,40是8C邊上的中線，M是4。上的動點，E是邊AC

上一點，若AE=2,則EM+CM的最小值為（）

A.726B.33C.2近D.472

7.如圖，矩形A8CO中，AB=4,BC=6,點尸是矩形ABC。內(nèi)一動點，且&^=3皿）,

則PC+PZ）的最小值是（）

A.4GB.4非

C.2713D.2犧

8.如圖，在HAA8C中，NACB=R叱,AC=8cm,BC=3cm.。是3c邊上的一個動點，

連接AO,過點C作C￡J_4）于E,連接8E,在點。變化的過程中，線段3E的最小值是

9.如圖，凸四邊形ABC。中，44=90。,/。=90。,/。=60。,4。=3,48=石，若點M、N

分別為邊C24。上的動點，則△BAW的周長最小值為（）

10.如圖，在AA3C中，AB=2,ZABC=6Q°,/ACB=45。，。是BC的中點，直線/經(jīng)過

點。，AE±l,BFU,垂足分別為E,F,則AE+8F的最大值為（）

11.如圖，點A,8的坐標分別為A（2,0）,B（0,2）,點C為坐標平面內(nèi)一點，BC=1,點、M為

線段AC的中點，連接OM,則。M的最大值為（）

A.0+1B.>/2+—C.2>/2+1D.2^2--

二、填空題

12.如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋8的西8km北7km

處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路徑是

______km.

小河

I

b..............B小屋

13.如圖，一只螞蟻沿著邊長為1的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B,如果它

運動的路徑是最短的，則AC的長為.

14.我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根

纏繞而上，三周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖，把枯木看作一個圓柱體，因

一丈是十尺，則該圓柱的高為24尺，底面周長為6尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞三周

后其末端恰好到達8處，則問題中葛藤的最短長度是一尺.

15.(1)已知甲、乙兩人在同一地點出發(fā)，甲往東走了4h?,乙往南走了3公小這時甲、

乙兩人相距km.

(2)如圖是某地的長方形大理石廣場示意圖，如果小王從A角走到C角，至少走米.

A

30米

B

40米

(3)如圖：有一個圓柱，底面圓的直徑A8=一,高8c=12,尸為8C的中點，螞蟻從4

7C

點爬到P點的最短距離是.

16.如圖，在四邊形A3CZ)中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在BC、CO上分別取一點

M、M使AAMN的周長最小，則

17.如圖，在矩形ABCC中，AB=10,BC=5.若點、M、N分別是線段AC,A8上的兩個

動點，當8M+MN取最小值時△BMN的周長為.

18.如圖，AB1BC,CDLBC,垂足分別為8,C,P為線段8c上一點，連結孫，PD.己

知AB=5,DC=4,BC=12,則AP+OP的最小值為.

19.如圖，在△ABC中，/ABC=97.5。，P、。兩點在AC邊上，PB=2,8Q=30,PQ

=而，若點"、N分別在邊A8、BC上，

(1)NPBQ=.

(2)當四邊形PQNM的周長最小時，(MP+MN+NQ)2=.

20.如圖，AA8C中，NAC8=90。，AC=4,BC=3,射線CO與邊AB交于點。，點E、F

分別為AO、8O中點，設點E、F到射線CD的距離分別為小〃，則〃?+〃的最大值為.

21.如圖，在長方形A8CO中，AB=3,BC=2,E是3c中點，點廠是線段A8上一個動

點.

(1)連接DF,則DF+EF的最小值為；

(2)以所為斜邊向斜上方作等腰RtZ^EFG,點F從點3運動到點A的過程中，AG的最

小值為.

DC

?E

AFB

22.如圖，已知RtZkABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,延長3C至。使CO=3C,連接

AD,若E為線段CD的中點，且A￡>=4,點P為線段AC上一動點，連接EP,BP,則EP+；

AP的最小值為,貝J28P+AP的最小值為.(注：在直角三角形中，30。角所對

的直角邊等于斜邊的一半.)

23.要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)48提供牛奶，小聰根據(jù)實際情況，以街道旁為

x軸，測得A點的坐標為(0,3),B點的坐標為(6,5),則從A、B兩點到奶站距離之和的最

小值是一.

?B

A"街道旁

------------->

0\----------x

24.如圖，已知R/AABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,動點“滿足40=1,將線段CM

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CN,連接4N,則AN的最小值為.

25.如圖，點A,8在直線MN的同側，點A到MN的距離AC=8,點8到MN的距離BD=5,

已知C￡>=4,P是直線MN上的一個動點，記A4+P8的最小值為a,g-P臼的最大值為

b.

26.在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖/所示.然

后固定紙片△ABC,把紙片△AOC沿AC的方向平移得到△A7/C,連AB,D'B,D'C,在

平移過程中：(1)四邊形48C。的形狀始終是_；(2)A3+O8的最小值為一.

DDD'

BB

圖1圖2

27.如圖所示，△ABC中，ZACB=90°,AB=13,BC=\2,AO是/。8的平分線，若尸、

。分別是A。和AC上的動點，則AC=,PC+PQ的最小值是

28.如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，。是BC的中點，E是直線AO上的一個動

點，連接EC,將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到FC,連接。F.則在點E的運動過程

中，當。尸的長度最小時，CE的長度為.

29.如圖，在四邊形ABCC中，4）=4,DC=2,ACL3C且AC=BC,點E是A8的中

點,連接。E,當。E取最大值時，AC的長為.

30.如圖，在等腰AABC中，ZBAC=30°,AB=AC,8C=4,點P、0、R分別為邊8C、

AB.AC上（均不與端點重合）的動點，△PQR周長的最小值是

三、解答題

31.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，4、B到河岸/的距離分別為AC=lkm,8D=3km,

且C￡）=3km.

（1）牧童從A處將牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短請在圖中畫

出飲水的位置（保留作圖痕跡），并說明理由.

（2）求出（1）中的最短路程.

B

A

CD

32.如圖：一個圓柱的底面周長為16cm,高為6cm,BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A

出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C,求螞蟻爬行的最短路程(要求畫出平面圖形).

33.如圖，在△A8C中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是高.

(1)若48=8,則AO的長為；

(2)若M,N分別是CA,CB上的動點，點E在斜邊AB上，請在圖中畫出點M,N,使

DM+MN+NE最小(不寫作法，保留作圖痕跡).

34.已知：DA±AB,CB±AB,AB=25,A￡>=15,BC=10,如圖1,點尸是線段AB上的

一個動點，連接出入PC.

D

D

圖1

(1)當P￡>=PC時，求AP的長；

(2)線段A8上是否存在點P,使PD+PC的值最小，若存在，在線段4B上標出點P,并

求PD+PC的最小值；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,點M在線段AB上以2個單位每秒的速度從點B向點4運動，同時點N在線

段A。上從點A以x個單位每秒的速度向點。運動(當一個點運動結束時另一個點也停止

運動)，點、M、N運動的時間為f秒，是否存在實數(shù)x,使△AMN與△BMC全等？若存在，

求出x、，的值，若不存在，請說明理由.

35.設兩個點A、3的坐標分別為B(x2,y2),則線段AB的長度為:

22

AB=y/(xl-x2)+(y>-y2).舉例如下：A、B兩點的坐標是(0,-3),(1,T),則A、B兩點

之間的距離AS=7(0-1)2+[-3-(-4)]2=V2.請利用上述知識解決下列問題：

(1)若A(L2),B(x,6),且鈣=5,求x的值；

(2)已知△ABC,點A為(-1,5)、點8為(-5,2)、點C為(-3,1),求AABC的面積；

(3)求代數(shù)式Jx?+4+J(12-X)2+9的最小值.

參考答案

1.C

【分析】

將正方體展開，右邊的正方形與前面正方形放在一個面上，此時AB最短，根據(jù)三角形中位

線，求出CN的長，利用勾股定理求出AC的長即可.

【詳解】

解：將正方體展開，右邊的正方形與前面正方形放在一個面上，展開圖如圖所示，此時A8

最短，

'：AN=MN,CN//BM

:.CN=^BM=2,

在KGACN中，根據(jù)勾股定理得：AC=1不/=殍幣=2后,

故選：C.

【點撥】本題考查了平面展開-最短路徑問題，涉及的知識有：三角形中位線，勾股定理,

熟練求出CN的長是解本題的關鍵.

2.B

【分析】

如圖，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知PB=PC,則有辦+PB=%+PC,然后可知當點A、P、

C三點共線時，B4+P8取得最小值，即為AC的長.

【詳解】

解：如圖，連接PC,

尸是8c的垂直平分線,

PB=PC,

：.PA+PB=PA+PC,

：.PA+PB的最小值即為PA+PC的最小值，

當點A、P、C三點共線時，以+PB取得最小值，即為AC的長，

...在RdABC中，NA=90。,AB=6,8c=10,由勾股定理可得：

ACNBCJAB。=8,

.?.B4+PB的最小值為8；

故選B.

【點撥】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)及勾股定

理是解題的關鍵.

3.D

【分析】

連接8E,交AC于點N,連接。M,“即為所求的點，則BE的長即為OP+PE的最小值，

利用勾股定理求出BE的長即可.

【詳解】

點8與點O關于直線AC對稱，

連接BE,交AC于點N,連接

:.DN=BN,

DN'+EN'=BN'+ENNBD,

則BE的長即為DP+PE的最小值，

?二AC是線段8。的垂直平分線，

又?.,CE=CO-/)E=41=3,

在Rt4BCE中，

BEJCEABgZS,

'：BE>0,

：.BE=5,

即OP+PE的最小值為5,

故選：D.

【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知

識，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關鍵.

4.A

【分析】

把圓柱沿螞蟻所在的高剪開并展開在一個平面內(nèi)，得到一個矩形，作A點關于。尸的對稱點

B,分別連接30、BC,過點C作于點E,則BC就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，

根據(jù)勾股定理即可求得BC的長.

【詳解】

把圓柱沿螞蟻所在的高剪開并展開在一個平面內(nèi)，得到一個矩形，作A點關于OF的對稱點

B,分別連接2D、BC,過點C作于點E,如圖所示：

HM

則DB=AD=4cm,

由題意及輔助線作法知，M與N分別為G4與CF的中點，且四邊形CM/7E為長方形,

CE=MH=9cm,EH=CM=4cm,

：.DE=DH-EH=12-4=8cm,

:.BE=DE+DB=8+4=12cm,

在Rt4BEC中，由勾股定理得：BC=^BE1+CE-=7122+92=15cm>

即螞蟻到達蜂蜜的最短距離為15”?,

故選;：A.

【點撥】本題考查了勾股定理，兩點間線段最短，關鍵是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決,

這是數(shù)學上一種重要的轉(zhuǎn)化思想.

5.D

【分析】

將點A沿著它所在的棱向上翻折至點4處，分如圖（見解析）所示的三種情況討論，分別

利用化曲為直的思想和勾股定理求解即可得.

【詳解】

解：如圖，將點A沿著它所在的棱向上翻折至點4處，則新長方體的長、寬、高分別為

將這個新長方體展開為以F三種情況，如圖所示:

A；B=J(4+3)2+(5+3)2=TTHcm，

22

A!2B=7(5+4+3)+3=而5=3&7cm,

A^B=7(3+4+3)2+52=V125=5^cm,

VVH3<V125<Vi53,

二螞蟻需爬行的最短距離是A/H3cm，

故選：D.

【點撥】本題考查了勾股定理的應用，正確分三種情況討論是解題關鍵.

6.C

【分析】

連接8E,交AZ）于點過點E作交于點F,此時EM+CM的值最小，求出3E

即可.

【詳解】

解：連接BE,交45于點M,過點E作EFLBC交于點F,

???△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，

???8點與C點關于AO對稱，

Z.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此時EM+CM的值最小，

\"AC=6,AE—2,

：.EC=4,

在放△EFC中，ZECF=60°,

：.FC=2,EF=2退,

在放ABEF中，8尸=4,

:.BE=2近,

故選：C.

【點撥】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運用勾股定

理是解題的關鍵.

7.B

【分析】

作于M,作點。關于直線PM的對稱點E,連接PE,EC.設由PM垂直

平分線段。E,推出PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出￡C的值即可.

【詳解】

解：如圖，作于M,作點。關于直線的對稱點E,連接PE,EC.設4W=x.

???四邊形48c都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=4,BC=AD=6,

SAR\B=-SAPCD，

2

*'?—x4x_x=-x—x4x（6-x）,

222

.\x=2f

.'.AM=2,DM=EM=4,

在放△EC。中，EC=^Clf+DE-=45/5,

：PM垂直平分線段DE,

:.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

:.PD+PQ4亞,

.?.PC+PC的最小值為4石.

故選:B.

【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的

性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

8.A

【分析】

由NAEC=90。知，點E在以AC為直徑的。M的CN上（不含點C、可含點N）,從而得

8E最短時，即為連接8M與。M的交點（圖中點b點），8E長度的最小值

【詳解】

如圖，

由題意知，ZAEC=90°,

二E在以AC為直徑的OM的CN上（不含點C、可含點N）,

.?.8E最短時，即為連接8M與的交點（圖中點？點），

在RtABCM中，BC=3cm,CM=g4C=4cm,則BM=4BC2+CM2=5cm-

?：ME=MC=4cm,

BE長度的最小值BE=BM-ME=\cm,

故選：A.

【點撥】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關系等知識點，難度偏大,

解題時，注意輔助線的作法.

9.C

【分析】

由軸對稱知識作出對稱點，連接兩對稱點，由兩點之間線段最短證明最短，多次用勾

股定理求出相關線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計算出ABMN的

周長最小值為6.

【詳解】

解：作點B關于CD、AD的對稱點分別為點B'和點B",

連接交。C和于點M和點N,DB,連接MB、NB

再￡>C和AE>上分別取-動點M'和N'（不同于點M和N）,

連接M'B,M'ff,N'B和N'B"，如圖1所示：

BM'=BM',B"N'=BN',

:.BM'+MN+BN'>EB",

又-.?BB"=B'M+MN+NB?,

MB=MB',NB=NBT,

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

Gw=NB+NM+8M時周長最??；

連接。8，過點S'作57/人由于5"。的延長線于點H,

如圖示2所示：

???在RtA48￡>中，AZ>=3,AB=B

DB=>JAD2+AB2=732+(X/3)2=25/3,

.-.z2=30o,

.-.Z5=30o,DB=DB",

又?.?ZADC=Z1+N2=60°,

二/I=30°,

.2=30°,DB=DB，

ZSDBT=zQ+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=2也,

又?.?NB'Djr+N6=180。,

.-.Z6=60o,

:.HD=>/3,HB'=3,

在用△氏府中，由勾股定理得：

B'B"=《HB"+HB"?=6+(3揚2=727+9=6.

-3MN=NB+NM+BM=6,

故選：c.

【點撥】本題綜合考查了軸對稱一最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點之間線段最

短等相關知識點，解題的關鍵是掌握軸對稱一最短路線問題，難點是構建直角三角形求兩點

之間的長度.

10.A

【分析】

把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即

可.

【詳解】

在RtAAHB中，

VZABC=60°,AB=2,

Z.BH=1,AH=g,

在RSAHN,NACB=45°,

,,AC=-7AH'+CH2=《(C)。+(6尸=R，

:點D為BC中點，

，BD=CD,

在^BFD與^CKD中，

ZBFD=NCKD=90°

"NBDF=NCDK,

BD=CD

.".△BFD^ACKD(AAS),

；.BF=CK,

延長AE,過點C作CNLAE于點N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

當直線1LAC時，最大值為太，

綜上所述，AE+BF的最大值為".

故選：A.

【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構建全等三角形

是解答此題的關鍵.

11.B

【分析】

如圖所示，取AB的中點N,連接ON,MN,根據(jù)三角形的三邊關系可知OMVON+MN,

則當ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的

中位線即可解答.

【詳解】

解：如圖所示，取AB的中點N,連接ON,MN,三角形的三邊關系可知OMVON+MN,

則當ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，

4(2,0),3(0,2),

則△ABO為等腰直角三角形，

AB=do#+OB,=2M，N為AB的中點,

0N=—AB=應，

2

又：M為AC的中點，

，MN為4ABC的中位線，BC=1,

則MN=；BC=g,

，OM=ON+MN=及+L

2

0M的最大值為5/^+5

故答案選：B.

【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關鍵是確定當

ON與MN共線時，OM=ON+MN最大.

12.17

【分析】

如圖（見詳解），將小河看成直線MN,由題意先作A關于MN的對稱點，連接A'8,構建

直角三角形，則A'B就是最短路線；在RtXA'DB中，ZA'DB=90°,BO=8km,A'D=AD+A'A,

利用勾股定理即可求出A'B.

【詳解】

如圖，做出點A關于小河的對稱點A',連接A'8交于點P,則A'8就是牧童要完

成這件事情所走的最短路程長度.

在RlAA'DB中，由勾股定理求得4'8="：5^5^=而工工7k=17（1;111）.

則他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

【點撥】本題考查了軸對稱一最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵.

13.巫##

3

【分析】

根據(jù)題意將正方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，構造出宜角三角形，即可求出AC的長.

【詳解】

因為A8=JAG〈+BG2=，3"2=而，

AC=-AB=-x>/io=.

333

故答案為：叵.

3

【點撥】本題考查勾股定理的運用和兩點之間線段最短以及解答此題的關鍵是根據(jù)兩點之間

線段最短將圖形展開，然后利用勾股定理解答.

14.30

【分析】

根據(jù)題意畫出圓柱的側面展開圖，進而利用勾股定理求得葛藤的最短長度

【詳解】

解：圓柱的側面展開圖如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，

A

；8C=24尺，AC=6x3=18尺，

J242+1G=30（尺）.

答：葛藤長為30尺.

故答案為：30.

【點撥】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理求最短距離的方法是解題的關鍵.

15.55010

【分析】

（1）因為甲向東走，乙向南走，其剛好構成一個直角.兩人走的距離分別是兩直角邊，則

根據(jù)勾股定理可求得斜邊即兩人的距離；

（2）連接AC,利用勾股定理求出AC的長即可解決問題；

（3）把圓柱的側面展開，連接4P,利用勾股定理即可得出AP的長，即螞蟻從A點爬到尸

點的最短距離.

【詳解】

解：（1）如圖，

-'-AB=yjo^+OB2=5km.

故答案為：5；

（2）如圖連接AC,

A?

、一.、

3侏

、?、

B

四邊形ABC。是矩形，

ZB=90°,

在母△ABC中，VZB=90°,A8=30米，BC=40米，

AC=yjAB'+BC2=抬尸+4(>=50(米).

根據(jù)兩點之間線段最短可知，小王從A角走到C角，至少走5()米,

故答案為：50；

(3)解：己知如圖：

???圓柱底面直徑A8=一，高BC=12,P為8c的中點，

71

Q

???圓柱底面圓的半徑是一，BP=6,

7C

j8

AB=-x2x—?7r=8,

271

在.RmA8P中，

A/TAB'+B尸=10,

...螞蟻從A點爬到P點的最短距離為10.

故答案為：10.

【點撥】本題考查勾股定理的應用，平面展開-最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側面展

開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵.

16.80

【分析】

作點A關于8C、CO的時稱點4、4,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接4、4分別交

BC、DC于點M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出NAi+NA,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

和角的和差關系即可得NAMM

【詳解】

如圖，作點A關于8C、8的對稱點4、A2,連接4、4分別交5C、DC于點、M、N,連

接AM、AN,則此時△4MN的周長最小，

VZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

/.ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

AZ4I+ZA2=180°-130°=50°,

??,點A關于BC、8的對稱點為4、4,

:?NA=NA?,MA=M4i,

:?/A2=/NAD,NA|=NMAB,

NNAD+/MAB=NA+NA2=50。，

AZMAN=ZBAD-(NNAO+NMAB)

=130。-50。

=80°,

故答案為：80.

【點撥】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線

段最短問題是解決本題的關鍵.

17.12

【分析】

如圖作點B關于AC的對稱點B',連接B'A交OC于點E,根據(jù)對稱性可得

8W+MN=B'M++MN,由兩點之間線段最短和垂線段最短可得當8'NJ_A8時，BM+MN

取得最小值，設EC=A￡=x,根據(jù)勾股定理求出8'E=E，然后由等面積法即可求出高〃

的長度，然后利用勾股定理求出AN'的長度，進而可求出A8MN的周長.

【詳解】

解：如圖作點B關于AC的對稱點夕，連接夕4交OC于點E,則BM+MN的最小值等于

8'V+MN的最小值，

.?.當3'NLAB時，8M+MN取得最小值，

...作B'NUAB交AC于AT,則作V即BM+MV的最小值;

???四邊形A8C。是矩形，

/.ZD=90°,DC//AB,

：.ZDCA=ZBAC,

又：/gAC=N5AC,

ZB'AC=ZDCA,

：.AE=CE,

設EC=A￡=x,

.,.在RfZVLED中,DE1+AD1=AE\EP(10-x)2+52=x2,

解得：戶當25，

4

2515

:.B,E=AB,-AE=]O--,

44

設△B'EC中EC邊上的高為h,

由對稱性可得5'C=BC=5,ZAffC=ZABC=90°,

???SwcL瀉x5=f3解得：h=3,

BN'=〃+5=8,即8M+MN的最小值是8,

在RtAAB'N'中,AN'=y/AB'-B'N'=7102-82=6?

，==10-6=4,

叢BMN的周長=3M+&W'+MN'=3M+BW,=4+8=12.

故答案為：12

【點撥】本題主要是利用軸對稱求最短路線，題中應用了勾股定理與用不同方式表示三角形

的面積從而求出某條邊上的高，利用軸對稱得出M點與N點的位置是解題的關鍵.

18.15

【分析】

延長48至點E,使過點。作。FL48于尸，得到。尸及所的長，當點E、P、D

共線時，AP+OP=OE有最小值，利用勾股定理求出OE即可.

【詳解】

解：延長AB至點E,使過點。作于F,則BF=CD=4,DF=BC=\2,

AP+DP=EP+DP,當點E、P、。共線時，AP+Z)P=Z)E有最小值，

在直角三角形OEF中，EF=BE+BF=5+4=9,

DE=^EF'+DF1=A/92+122=15，

.?.AP+D/，的最小值為15,

故答案為：15.

【點撥】此題考查最短路徑問題，勾股定理，熟記最短路徑問題構造直角三角形解決是解題

的關鍵.

19.45°

【分析】

作點尸關于AB的對稱點P,點。關于BC的對稱點Q'，連接P。'交AB于M,交BC于N,

此時四邊形尸QMW的周長最小，過點尸作PHL8Q于，，由勾股定理求出8”=&，

PH=BH=6,得出NPBQ=45°,再求出NFBQ=150。，過點Q'作0K，產(chǎn)8于K,在RMBKQ

中，NKB2=30。，BQ=BQ=3近,則KQ=逑，BK=巫,在Rf△9Q'K中，由勾股定理

22

得產(chǎn)02=22+6",即可得出結果.

【詳解】

解：（1）如圖，作點P關于AB的對稱點產(chǎn)，點Q關于BC的對稱點Q',連接尸'。'交AB于

M,交BC于N,此時四邊形尸QNA1的周長最小，過點尸作PH_L8Q「”，

.-.22-BH-=（而尸-（3夜-BH）2,

解得：BH=叵，

二收=4-2=2，

:.PH=五,

PH=BH=^2,

：.NPBQ=45°,

（2）■.-ZABP=ZABP,NCBQ=NCBQ,

NFBQ=2(ZABC-NPBQ)+ZPBQ=2ZABC-NPBQ=150°,

過點Q'作。K,戶8于K，

在RtABKQ中，/必。=180。-150°=30。，BQ=BQ=3五,

KQ，=；BQ=當，BK=弧，-KQ，2=小揚。-（停尸=當，

在RfAP0K中，KP'=BP'+BK=2+—,KQ'=—,

22

P,Q-=（2+亭）2+（呼）2=22+676,

（MP+MN+NQ）2=P'Q2=22+6屈.

【點撥】本題考查軸對稱最短問題、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性

質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，學會添加常用輔助線，由直角三角

形解決問題.

20.2.5

【分析】

連接CE,CF,作EMLCD,FNLCD,分別交CO于點M和點M首先根據(jù)中線的性質(zhì)和

三角形面積公式得出S"C￡=gsM%=3,然后證明出當8的長度最小時，，"十〃的值最大,

然后根據(jù)垂線段最短和等面積法求出CD的最小值，即可求出m+n的最大值.

【詳解】

解：連接CE,CF,作EMLCD,FNLCD,分別交CO于點M和點N,

???點E是4。的中點，點尸是8。的中點,

；.CE是AACD中4）邊上的中線，CF是ABC。中8。邊上的中線,

,*S^cE=S^DCE=弓^MCD，S2CF=*^ADCF=]\BCD，

S^CE=SgcE+S^DCF~=25.席=/*5乂4。乂3。=3,

/.-.CD.EM+-.CD+FN=3,

22

-.CD^EM+FN）=3,即-.CD.（/n+”）=3,

CD^m+n）=6,

當CO的長度最小時?，"?+"的值最大，

...當CDJ.AB時，CD的長度最小，此時機+”的值最大，

「△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=y]AC2+BC2=5,

112

：.-xCDxAB=6,解得：CD=y,

1?

將CD=二代入（7￡>?（z，〃+〃）=6得：m+n=2.5.

故答案為：2.5.

【點撥】此題考查了勾股定理，中線的性質(zhì)，三角形面積的應用，垂線段最短等知識，解題

的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，正確分析出當CDJLA8時m+n的值最大.

21.3亞當##

【分析】

（1）作點E關于AB的對稱點連接。牙于43交于F（圖中尸），則DE+DF最小值是

的長，進而勾股定理求解即可

（2）以EF為斜邊向斜上方作等腰RtAEFG,過點G分別作AB,CD的垂線，垂直分別為M,N,

CDi.^DP=\,連接PB，則PC=2=8C,證明AGQWZAGEN即可得G點在線段PB上當

AG,PB時4G取得最小值，進而勾股定理即可求得AG的長

【詳解】

解：（1）如圖1,

作點E關于AB的對稱點E',連接OE于A8交于尸（圖中尸），則DE+DF最小值是DE'

的長，

在RtACZ）￡中，CD=3,CE'=3,

????！?巧工=30，

故答案是：3-72;

(2)如圖，以E歹為斜邊向斜上方作等腰RSEFG,過點G分別作A3,CO的垂線，垂宜分

別為M,N,CO上取0P=1,連接。8,則PC=2=4C

vZC=90°

「.△尸CB是等腰直角三角形

:.ZPBC=45°

???NCSA=90。

.\ZPBA=45°

???ZABC=90°,NCBP=ZABP=45°

.?.PB是ZABC的角平分線

?.?△GEE是等腰直角三角

:.GF=GE,/FGE=9Q。

?.?GN±NB,GM_LMB,NB±MB

:.GM工GN

：.ZMGN=90。

???/FGM+ZMGE=ZMGE+ZEGN

.?.ZFGM=ZEGN

又/GMF=/GNE=9G。

?.△GFM"4EN

:.GM=GN

??.G點在線段P5上

.??^AGLPB時AG取得最小值

\-ZPBA=45°

.?.△ABG是等腰宜角三角形

.?.AG=GB

\AG2+GB2=AB2

???AG=-AB=-y/2

22

故答案是：I女.

【點撥】本題考查/勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的添加輔助

線是解題的關鍵.

22.患4g

【分析】

先證明是等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)線段和的最小值轉(zhuǎn)

化3人尸，進而勾股定理求解即可

【詳解】

解：過點E作于點尸，交AC于點。，過點P作尸GJ_AB于點G,

???ZACB=90°,ZBAC=30°,

:.PG=-AP

2

■-.EP+-AP=EP+PG>EG

2

當瓦RG三點共線時，點尸和點。重合，G,尸重:合，如圖,

A

DECB

EP+；AP的最小值為EE的長，

???ZACB=90°,/BAC=30°,

/.Zfi=60°

\EFA.AB

.?./FEB=30。

:.FB=-BE

2

???CD=BC,ACIBC

:.AD=AB

又???/3=60。

..△ABD是等邊三角形

:.BD=AD=4

???石為線段。。的中點，

:.EC=-CD=-BD=l

24

:.EB=3

在RtAEFB中

EF=ylEB2-FB2=|6

的最小值=|百

如圖,

A

過點5作8例于M,過點P作PNLAB于N,則PN=g/lP

則BP+PN=BP+-AP>BN

2

當8,P,N三點共線時，BP+^AP取得最小值，即28P+AP取得最小值

即此時MM重合，BP+-AP=BM

2

?.?△他。是等邊三角形，BMLAD

ZABD=60°

ZDBM=-ZABD=30°

2

在MABDM中，80=4,DM=-BD=2

2

BM=26

即BP+(AP最小值為26

.?.2BP+AP的最小值為4后

故答案為：［白；4>/3

【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段和的最小值，轉(zhuǎn)化;AP

是解題的關鍵.

23.10

【分析】

作A點關于x軸的對■稱點W,連接48與x軸交于點P,連接AP,則48即為所求.

【詳解】

解：作4點關于x軸的對稱點A,連接48與x軸交于點尸，連接AP,

"：AP=A'P,

：.AP+BP=A'P+BP^A'B,此時P點到A、8的距離最小，

VA(0,3),

.?.A'(0,-3),

,：B(6,5),

5-(-3)=8,6-0=6

???48=好不=10,

點到A、8的距離最小值為10,

故答案為：10.

【點撥】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，會根據(jù)兩點坐標

求兩點間距離是解題的關鍵.

24.4&-1##

【分析】

證明可得比V=AM=1,再根據(jù)三角形三邊關系得出當點N落在線段AB

上時，AN最小，求出最小值即可.

【詳解】

解：???線段CM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,

:.MC=NC,NMCN=90。,

VZACB=90°,AC=BC=4,

-,?4CM=NBCN,AB=y/AC2+BC2=4c

AAMCqABNC,

：.BN=AM=1,

ANNAB-BN=4Q-1

AN的最小值為4&-1;

故答案為：4夜-1.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關鍵是證明三角形全等，得

出BN=AM=1,根據(jù)三角形三邊關系取得最小值.

25.7185160

【分析】

作點A關于直線的對稱點/T,連接48交直線WN于點P,過點大作直線

的延長線于點E,再根據(jù)勾股定理求出的長就是以+P8的最小值；延長A8交MN于

點戶，此時產(chǎn)A-P，8=48,由三角形三邊關系可知故當點P運動到戶點時

解-P陰最大，作由勾股定理即可求出48的長就是照-PB|的最大值.進一步代

入求得答案即可.

【詳解】

解：如圖，

作點4關于直線MN的對稱點A',連接A中交直線MN于點、P,

則點P即為所求點.

過點4作直線的延長線于點E,則線段4B的長即為%+P8的最小值.

VAC=8,BD=5,8=4,

.-.A'C=8,8E=8+5=13,A'E=CD=4,

22

.1.A'B=5/13+4=V185>

即PA^PB的最小值是a=V185.

如圖,

A

延長48交MN于點P',

"：P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

，當點尸運動到戶點時,|應-尸身最大,

VBD=5,CD=4,AC=8,

過點B作BELAC,則BE=CD=4,AE=AC-fiD=S-5=3,

.".AB=J42+32=5.

，|B4-P8|=5為最大，

即b=5,

a2-b2=185-25=160.

故答案為：160.

【點撥】本題考查的是最短線路問題及勾股定理，熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關

系是解答此類問題的關鍵.

26.平行四邊形2不

【分析】

(1)利用平移的性質(zhì)證明即可.

(2)如圖2中，作直線O。，作點C關于直線。。的對稱點C",連接OC",BC",過點8

作于從求出BC",證明可得結論.

【詳解】

解：(1)如圖2中，'：A'D'=BC,A'D'//BC,

，四邊形48C7)是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形.

(2)如圖2中，作直線00,作點C關于直線OD的對稱點C",連接OC",BC",過點8

作8Hl.ce”于H.

圖1圖2

???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC^2,N48C=90°,

.,.AC=y/2AB=2y/2,

'：BJLAC,

：.AJ^JC,

:.BJ=；AC=6,

ZBJC=ZJCH=ZH=90°,

四邊形是矩形，

,:BJ=CJ,

???四邊形是正方形，

:.BH=CH=4i，

在Rt4BHC"中,BH=垃,HC"=3&,

；?BC"=yjBH2+HC2="(局+(3揚2=275，

:四邊形ABCO是平行四邊形，

：.A'B=CD',

：.A'B+BD'=BD'+CD'=BD'+D'C">BC",

，48+電吟2石，

：.A'B+D'B的最小值為26.

故答案為：275.

【點撥】本題考查作圖-平移變換，軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會

利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

【分析】

（1）根據(jù)勾股定理即可求出AC的長度；

（2）過點C作交AB于點交4。于點P,過點P作PQ_L4C于點。，由4。

是N8AC的平分線.得出這時PC+P。有最小值，即CM的長度，運用勾股定理

求出4C,再運用以人心“"（用言凡。/?。得出CM的值，即PC+P。的最小值.

【詳解】

解：在RAA8C中，ZACB=90°,AB=\3,BC=i2,

AC=-JAB2-BC2=Vi32-i22=5；

如圖，過點C作CMLAB交A8于點M,交于點P,過點P作PQLAC于點。,

是N84C的平分線.

：.PQ=PM,這時PC+尸。有最小值，即CM的長度,

VAC=5,8c=12,ZACB=90°,

■：5,?=-AB.CM=-AC.BC,

ZAAAOrC22、

故答案為：5：—.

【點撥】本