2022-2023學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）若z＝i+2i2+3i3，則|z|＝（）A．4 B．8 C．2 D．42．（5分）＝（）A． B． C． D．3．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N，P，Q分別為棱AA1，DD1，A1B1，B1C1的中點(diǎn)，則下列與B1C垂直的是（）A．OM B．ON C．OP D．OQ4．（5分）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．（5分）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）若α∈（0，π），，則tanα＝（）A． B． C． D．7．（5分）把半徑為R的一圓形紙片，自中心處剪去中心角為120°的扇形后圍成一無(wú)底圓錐，則該圓錐的高為（）A． B． C． D．8．（5分）在△ABC中，若，則cosA的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.)（多選）9．（5分）已知非零向量，，，則（）A．若，則 B．若，則 C．若，則，共線 D．若，則，共線（多選）10．（5分）若α為第四象限角，則（）A．cos2α＞0 B．sin2α＜0 C． D．（多選）11．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝cosx+|sinx|，下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）的最小正周期為π C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．f（x）的最大值為2（多選）12．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B1D⊥A1P B．A1C1⊥平面PDD1 C．三棱錐P﹣ACD1的體積為定值 D．A1P+PC的最小值為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）已知z＝（m+1）+（m﹣2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．14．（5分）已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量為．15．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b+c＝3a（sinB+sinC），b2+c2﹣a2＝8，則△ABC的面積為．16．（5分）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．如圖“三角垛”共三層，最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，每個(gè)球的半徑均為1且兩兩相切，則該“三角垛”的高度為．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxsin（x+）﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若，求f（α）的值．18．（12分）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AC與BP相交于點(diǎn)Q．（1）若，，求x，y的值；（2）求最小值．19．（12分）如圖，S為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，M是△SAC的重心．（1）求證：OM∥平面SAB；（2）若SA＝AB，OM＝1，求圓錐SO的體積．20．（12分）如圖，已知函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，圖像的一個(gè)最高點(diǎn)為．（1）求f（1）的值；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)的所有零點(diǎn)之和．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若a≠c，D為角B的平分線上一點(diǎn)，且AD＝CD，求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓．22．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，，AC⊥平面AA1B1B．（1）求證：A1B⊥平面AB1C；（2）若點(diǎn)E在棱A1B1上，當(dāng)△ACE的面積最小時(shí)，求三棱錐A1﹣ACE外接球的體積．

2022-2023學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）若z＝i+2i2+3i3，則|z|＝（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：∵z＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，∴|z|＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）＝（）A． B． C． D．【分析】將拆分成，然后利用兩角差的正弦余弦公式展開(kāi)計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)椋剑剑剑剑蔬x：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N，P，Q分別為棱AA1，DD1，A1B1，B1C1的中點(diǎn)，則下列與B1C垂直的是（）A．OM B．ON C．OP D．OQ【分析】取AD的中點(diǎn)R，連接MR、OR、NR、DA1，即可證明A1D⊥平面ONR，從而判斷B；再由平行得到異面直線所成角，即可判斷A、C；利用反證法說(shuō)明D．【解答】解：取AD的中點(diǎn)R，連接MR、OR、NR、DA1，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得B1C∥A1D，MR∥A1D，OR∥AB，所以∠OMR為異面直線B1C與OM所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OR＝1，，，所以O(shè)R2+MR2＝OM2，所以∠ORM＝90°，顯然∠OMR≠90°，故直線B1C與OM不垂直，故A錯(cuò)誤，因?yàn)镺R⊥MR，MR∥A1D，所以O(shè)R⊥A1D，又NR⊥A1D，OR∩NR＝R，OR，NR?平面ONR，所以A1D⊥平面ONR，ON?平面ONR，所以A1D⊥ON，所以B1C⊥ON，故B正確；取BC的中點(diǎn)E，連接OE、B1E，則OE∥AB且，又PB1∥AB且，所以O(shè)E∥PB1且OE＝PB1，所以O(shè)EB1P為平行四邊形，所以O(shè)P∥EB1，所以∠CB1E為B1C與OP所成的角，顯然∠CB1E≠90°，所以B1C與OP不垂直，故C錯(cuò)誤；連接EQ，因?yàn)镺E⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，所以O(shè)E⊥B1C，若B1C⊥OQ，OQ∩OE＝O，OQ，OE?平面OQE，所以B1C⊥平面OQE，又EQ?平面OQE，所以B1C⊥EQ，顯然B1C與EQ不垂直，故假設(shè)不成立，所以B1C與OQ不垂直，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，屬于中檔題．4．（5分）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【分析】由，得，化簡(jiǎn)后可求出，然后利用夾角公式求解即可．【解答】解：因?yàn)?，所以，得，設(shè)與的夾角為θ，因?yàn)?，所以，因?yàn)棣取蔥0，π]，所以．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：因?yàn)?，，所以，，所以，，所以c＞a＞b．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)線，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）若α∈（0，π），，則tanα＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到4sinαcosα＝﹣sinα，求得，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解．【解答】解：由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和倍角公式，可得，因?yàn)?，所以，整理?sinαcosα+2sinαcos2α＝2sinαcos2α﹣sinα，即4sinαcosα＝﹣sinα，因?yàn)棣痢剩?，π），可得sinα≠0，所以，則，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的同角公式，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）把半徑為R的一圓形紙片，自中心處剪去中心角為120°的扇形后圍成一無(wú)底圓錐，則該圓錐的高為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)無(wú)底圓錐的底面半徑為r，由弧長(zhǎng)公式可得r＝，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)無(wú)底圓錐的底面半徑為r，其母線長(zhǎng)為R，則有2πr＝，變形可得r＝，故該圓錐的高h(yuǎn)＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的幾何結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵是求出圓錐的底面半徑，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）在△ABC中，若，則cosA的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】由已知等式化切為弦，可得cosA＝，結(jié)合正弦定理及余弦定理即基本不等式求得cosA的最小值，則答案可求．【解答】解：∵，∴，可得，∴cosA＝．又＝2R，cosA＝，∴＝，可得3a2＝b2+c2．∴cosA＝＝＝．∴cosA的取值范圍為[，1）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.)（多選）9．（5分）已知非零向量，，，則（）A．若，則 B．若，則 C．若，則，共線 D．若，則，共線【分析】由向量數(shù)量積的定義即可判斷A，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，即可判斷B，由平面向量共線定理即可判斷C，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷D．【解答】解：非零向量，，，對(duì)于A，若，即，即，得不到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，且為非零向量，由平面向量共線定理可知，，共線，故C正確；對(duì)于D，，則與是共線且反向，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（多選）10．（5分）若α為第四象限角，則（）A．cos2α＞0 B．sin2α＜0 C． D．【分析】根據(jù)α為第四象限角，可得2α，的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的正負(fù)即可判斷．【解答】解：由于α為第四象限角，所以，所以3π+4kπ＜2α＜4π+4kπ，k∈Z，，所以2α終邊落在第三、四象限以及y軸負(fù)半軸上，終邊落在第二或第四象限的角，故BC正確，AD錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝cosx+|sinx|，下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）的最小正周期為π C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．f（x）的最大值為2【分析】由題意，根據(jù)偶函數(shù)的定義可判斷A，根據(jù)f（0）≠f（π）即可判斷B，根據(jù)整體法即可判斷C，去掉絕對(duì)值根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，f（x）的定義域?yàn)镽，且f（﹣x）＝cos（﹣x）+|sin（﹣x）|＝cosx+|sinx|＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，故A正確，對(duì)于B，由于f（0）＝cos0+|sin0|＝1，f（π）＝cosπ+|sinπ|＝﹣1，所以f（0）≠f（π），故π不是f（x）的周期，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，故f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確，對(duì)于D，其中k∈Z，所以f（x）取不到2，故D錯(cuò)誤，故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）12．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B1D⊥A1P B．A1C1⊥平面PDD1 C．三棱錐P﹣ACD1的體積為定值 D．A1P+PC的最小值為【分析】在正方體中，易得B1D⊥平面A1BC1，可判定A正確；過(guò)點(diǎn)P作EE1∥BB1，得到平面PDD1即為平面DD1E1E，結(jié)合A1C1與D1E1不垂直，可判定B錯(cuò)誤；由平面A1BC1∥平面ACD1，證得BC1∥平面ACD1，得到點(diǎn)P到平面ACD1的距離等于點(diǎn)B到平面ACD1的距離，且為定值，可判定C正確；將△BCC1繞著B(niǎo)C1展開(kāi)，使得平面A1BC1與平面BCC1重合，連接A1C，得到A1C⊥BC1時(shí)，A1P+PC取得最小值，可判定D正確．【解答】解：對(duì)于A，如圖（1）所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接A1B，A1C1，連接AB1，在正方形ABB1A1中，可得AB1⊥A1B，由AD⊥平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，因?yàn)锳D∩AB1＝A且AD，AB1?平面AB1D，所以A1B⊥平面AB1D，又因?yàn)锽1D?平面AB1D，所以A1B⊥B1D，連接B1D1，同理可證A1C1⊥平面B1D1D，因?yàn)锽1D?平面B1D1D，所以A1C1⊥B1D，因?yàn)锳1B∩A1C1＝A1且A1B，A1C1?平面A1BC1，所以B1D⊥平面A1BC1，因?yàn)锳1P?平面A1BC1，所以B1D⊥A1P，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P不與B重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作EE1∥BB1，因?yàn)锽B1∥DD1，所以EE1∥DD1，所以平面PDD1即為平面DD1E1E，如圖所示，在正方形A1B1C1D1中，A1C1與D1E1不垂直，所以A1C1與平面PDD1不垂直，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，分別連接AC，AD1，CD1，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，因?yàn)锳1B∥CD1，A1B?平面ACD1CD1?平面ACD1，所以A1B∥平面ACD1，同理可證：BC1∥平面ACD1，因?yàn)锳1B∩BC1＝B且A1B，BC1?平面A1BC1，所以平面A1BC1∥平面ACD1，因?yàn)锽C1?平面A1BC1，所以BC1∥平面ACD1，又因?yàn)镻是BC1上的一動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面ACD1的距離等于點(diǎn)B到平面ACD1的距離，且為定值，因?yàn)椤鰽CD1的面積為定值，所以三棱錐P﹣ACD1的體積為定值，所以C正確；對(duì)于D，將△BCC1繞著B(niǎo)C1展開(kāi)，使得平面A1BC1與平面BCC1重合，如圖（2）所示，連接A1C，當(dāng)P為A1C和BC1的交點(diǎn)時(shí)，即P為BC1的中點(diǎn)時(shí)，即A1C⊥BC1時(shí)，A1P+PC取得最小值，因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，可得，BC＝CC1＝2，在等邊△A1BC1中，可得，在直角△BCC1中，可得，所以A1P+PC的最小值為，所以D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）已知z＝（m+1）+（m﹣2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣1，2）．【分析】根據(jù)題意得到復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（m+1，m﹣2），結(jié)合題意，列出不等式組，即可求解．【解答】解：由復(fù)數(shù)z＝（m+1）+（m﹣2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（m+1，m﹣2），因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則滿足，解得﹣1＜m＜2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量為．【分析】根據(jù)向量投影的計(jì)算公式即可求解．【解答】解：在方向上的投影為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的投影數(shù)量的求解，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b+c＝3a（sinB+sinC），b2+c2﹣a2＝8，則△ABC的面積為．【分析】根據(jù)正弦定理邊角化得，進(jìn)而可得，由余弦定理和面積公式即可求解．【解答】解：由正弦定理可得sinB+sinC＝3sinA（sinB+sinC），由于sinB＞0，sinC＞0，所以，由b2+c2﹣a2＝8得2bccosA＝8，∴cosA＞0，故，所以，故△ABC的面積為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16．（5分）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．如圖“三角垛”共三層，最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，每個(gè)球的半徑均為1且兩兩相切，則該“三角垛”的高度為．【分析】依題意連接頂層1個(gè)球和底層邊緣3個(gè)球的球心得到一個(gè)正四面體，且該正四面體的棱長(zhǎng)為4，則該“三角垛”的高度為正四面體的高h(yuǎn)+2，求出正四面體的高，即可得解．【解答】解：根據(jù)題意可知：連接頂層1個(gè)球和底層邊緣3個(gè)球的球心得到一個(gè)正四面體，且該正四面體的棱長(zhǎng)為4，所以該“三角垛”的高度為正四面體的高h(yuǎn)+2，如圖正四面體S﹣ABC棱長(zhǎng)為4，設(shè)底面ABC的中心為E，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，則D為AC的中點(diǎn)，連接SE，則SE為底面ABC上的高，所以，，所以，所以“三角垛”的高度為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxsin（x+）﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若，求f（α）的值．【分析】（1）根據(jù)三角恒等變化及輔助角公式可得f（x）＝sin（2x﹣），利用周期公式求解即可；（2）由已知可得tan2α＝4，根據(jù)f（α）＝sin（2α﹣）＝?（tan2α﹣），求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝2sinxsin（x+）﹣＝2sinx（sinx+cosx）﹣＝sin2x+?（2sinxcosx）﹣＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以T＝＝π；（2）因?yàn)?，所以tan2α＝＝4，f（α）＝sin（2α﹣）＝sin2α﹣cos2α＝cos2α（tan2α﹣）＝（cos2α﹣sin2α）（tan2α﹣）＝?（tan2α﹣）＝（tan2α﹣）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AC與BP相交于點(diǎn)Q．（1）若，，求x，y的值；（2）求最小值．【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解，（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次型多項(xiàng)式的特征即可求解最值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，則P為AD的中點(diǎn)，由于△APQ∽△CBQ，所以，，所以；（2）由于四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：則，取AB中點(diǎn)為M，連接PA，PB，則M（1，0），，設(shè)P（x，y），＝，故當(dāng)時(shí)，最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19．（12分）如圖，S為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，M是△SAC的重心．（1）求證：OM∥平面SAB；（2）若SA＝AB，OM＝1，求圓錐SO的體積．【分析】（1）取AC的中點(diǎn)N，連接SN，BN，由M是△SAC的重心，O為△ABC的重心，可得，從而得OM∥SB，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由OM＝1，得SB＝3，則SA＝AB＝3，從而可求出BO，SO，進(jìn)而可求出圓錐的體積．【解答】（1）證明：取AC的中點(diǎn)N，連接SN，BN，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，SA＝SC，所以O(shè)，M分別在BN，SN上，因?yàn)镸是△SAC的重心，所以，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以，所以，所以O(shè)M∥SB，因?yàn)镾B?平面SAB，OM?平面SAB，所以O(shè)M∥平面SAB；（2）解：因?yàn)镺M∥SB，所以，因?yàn)镺M＝1，所以SB＝3，所以SA＝AB＝3，因?yàn)镺為等邊△ABC的重心，所以，所以底面圓的面積為，，所以圓錐SO的體積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定定理，重點(diǎn)考查了圓錐的體積公式，屬中檔題．20．（12分）如圖，已知函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，圖像的一個(gè)最高點(diǎn)為．（1）求f（1）的值；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)的所有零點(diǎn)之和．【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的解析式，即可求出f（1）的值．（2）由三角函數(shù)的平移變換求出y＝g（x），問(wèn)題等價(jià)于y＝sinπx與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，畫(huà)出y＝sinπx與圖象，求解即可．【解答】解：（1）由題意可得，，所以，所以ω＝π，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝sin（πx+φ）的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．?）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，所以．令，得，問(wèn)題等價(jià)于y＝sinπx與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．函數(shù)y＝sinπx與的圖象都關(guān)于（1，0）對(duì)稱．令，解得：﹣3≤x≤5，畫(huà)出函數(shù)y＝sinπx與的圖象如下圖所示：故兩函數(shù)的圖象有且僅有9個(gè)交點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），??????，（x9，y9），所以，故函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若a≠c，D為角B的平分線上一點(diǎn)，且AD＝CD，求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓．【分析】（1）由正弦定理及已知條件邊化角，結(jié)合三角形內(nèi)角和180°和二倍角公式進(jìn)行求解；（2）證明四點(diǎn)共圓可以通過(guò)證明對(duì)角互補(bǔ)，即證∠ADC＝∠ACB+∠BAC，結(jié)合三角形內(nèi)角和180°得證．【解答】解：（1）由正弦定理及，得，因?yàn)锳+B