青海省2022年高考文數(shù)考試真題與答案解析

青海省2022年高考[文科數(shù)學(xué)]考試真題與答案解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.集合M={2,4,6,8,10},N={x[-l<x<6},則Mr)N=()

A.2,4}B.{2,4,6}C.{2,46,8}D,{2,4,6,8,10)

參考答案：A

本題解析：因?yàn)镸={2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6},所以〃AN={2,4}.故選：A.

2.設(shè)(l+2i)a+b=2i,其中為實(shí)數(shù)，貝汁()

A.a=\,b=-\B.a=l,b=lC.a=-\,b=\D.a=—l,b=—l

參考答案：A

本題解析：因?yàn)閍,0R,(a+b)+2ai=2i,所以。+b=0,2a=2,解得：a=l,/>=-1.

故選：A.

II

3.已知向量￡=(2,1)3=(-2,4),貝()

A.2B.3C.4D.5

參考答案：D

本題解析：因?yàn)椤綛=(2/H-2,4)=(4,-3),所以**臚+63)2=5.

故選：D

4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(單位：h),得如下莖葉圖：

甲乙

61

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

參考答案：C

7.3+7.5“，

本題解析：對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為一--=74,A選項(xiàng)

結(jié)論正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)為：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1。。

----------------------------------------------------------------------------------------------------=8.50625>8

16------------------'

B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值

白=0.375<0.4,C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的

1O

13

估計(jì)值7=0?8125〉0.6,D選項(xiàng)結(jié)論正確.故選：C

16

x+y…2,

5.若x,V滿足約束條件卜+2%4,則z=2x-y的最大值是()

y-o,

A.-2B.4C.8D.12

參考答案：C

本題解析：由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為"2x-z,

上下平移直線V=2x-z,可得當(dāng)直線過點(diǎn)(4,0)時(shí)，直線截距最小，z最大,

所以Zmax=2X4-0=8.故選:C.

6.設(shè)尸為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)力在c上，點(diǎn)8(3,0),若|第=|明,則|陽=()

A.2B.2夜C.3D.3亞

參考答案：B

本題解析：由題意得，/(1，0),則M尸1=網(wǎng)=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-l的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在*軸上方，代入得，4(1,2),所以以同=J(3-療+(0-2)2=2血.故選:B

7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的〃=()

/輸出〃/

［結(jié)束）

A.3B.4C.5D.6

參考答案：B

本題解析：執(zhí)行第一次循環(huán)，b=b+2a=\+2=3,

a=b—。=3—1=2,〃=〃+1=2

執(zhí)行第二次循環(huán)，b=b+2a=3+4=7,

/72721

a=b—a=7—2=5,〃=〃+1=3勺―2==-2=—>0.01?

'a25225'

執(zhí)行第三次循環(huán)，b=b+2a=7+10=17,

。=6-。=17-5=12,〃=〃+1=4,

b21721

=匠―2=證＜0.01,止匕時(shí)輸出〃=4.

故選：B

8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,引的大致圖像，則該函數(shù)是（）

一一+3xd-x2xcosx2sinx

A.y=—^―B.丁C?尸D.y=

x+1x2+1x2+1

參考答案：A

本題解析：設(shè)/（x）=ay貝=故排除B；

./、2xcosx

設(shè)碎)=)廠,當(dāng)段嗎時(shí)，0<cosx<l,

,/、2xcosx2x,

所以〃(x)=qr丁</石41,故排除C;

/、2sinx小2sin3八

設(shè)g（x）=:不，則g（3）=一『＞0,故排除D.故選：A.

9.在正方體/B8-48CQ中，E,尸分別為的中點(diǎn)，則（)

A.平面片跖，平面瓦⑷B.平面與平面48。

C.平面8￡尸//平面//CD.平面用ER//平面4G。

參考答案：A

本題解析：解：在正方體/8CO-4BC。中，

/67，8。且。3，平面488,又EFu平面N8CO,所以跖_(tái)L。，，

因?yàn)橥呤謩e為/&8C的中點(diǎn)，所以及'II/C,所以EFLBD,

又BDCDD[=D,所以ER_L平面80。，

又EFu平面B]EF,所以平面與EE_L平面80。，故A正確；

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)“8=2,

則用(2,2,2),E(2,1,0),尸(1,2,0)*(2,2,0),4(2,0,2)/(2,0,0),C(0,2,0),

(0,2,2),則麗=(-1,1,0),函=(0,1,2),麗=(2,2,0),西=(2,0,2),

怒=(0,0,2),就=(-2,2,0),福=(-2,2,0),

八-/、[in-EF=-x.+v,=0―/、

設(shè)平面4M的法向量為朋=a，％zj,貝IJ有.行'2可取加=2,2，-1,

同理可得平面48。的法向量為或=(1，T，T),

平面4〃C的法向量為兀=(I/，。)，

平面4Go的法向量為%=(LLT),則“=2-2+1=1力0,

所以平面4M與平面48。不垂直，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)榧优c〃2不平行,

所以平面4即與平面4/c不平行，故c錯(cuò)誤;

因?yàn)榧优c“3不平行,

所以平面片即與平面4CQ不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,。「生=42,貝|］。6)

A.14B.12C.6D.3

參考答案：D

本題解析：解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4國力°,

若4=1,則生-%=°,與題意矛盾,

吐上168%=96

Q[+。2+。3

所以qwi,貝卜i—q,解得1

q=一

a2-a5=%q—ad-422

所以。6=3.故選：D.

11.函數(shù)/（力=cosx+（x+l）sinx+l在區(qū)間［0,2司的最小值、最大值分別為（）

TTn3兀71兀兀C3兀兀?

A.----B.---，一C.一不；+2D.——，一+2

22222222

參考答案：D

本題解析：/'（x）--sinx+sinx+（x4-l）cosx=（x+l）cosx,

所以/（x）在區(qū)間,馬和（￡，2兀］上/'（X）〉0,即/（X）單調(diào)遞增；

在區(qū)間（，引上/。）＜0,即〃x）單調(diào)遞減，

又，（。）.（2兀）=2,若卜會(huì)2,信卜隹+1卜

所以/（x）在區(qū)間［°，2兀］上的最小值為-g,最大值為5+2.

故選：D

12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.；B.y

C.30旦

32

參考答案：C

本題解析：設(shè)該四棱錐底面為四邊形四邊形458所在小圓半徑為人

設(shè)四邊形/8C。對(duì)角線夾角為。，

111

IjlllS=—?AC-BD?sina〈一?4C?BD<--2r-2r=2r~9

人jARCn222

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面S88所在小圓距離一定時(shí)，底面S88面積最大值為2?

又/+/=/

口“1c2,V2/22c，2V2//+/2/丫4A/3

則%.至8=32//=彳，/"2?2〃2K——-—

JJV'f

當(dāng)且僅當(dāng)戶=2后即A=4時(shí)等號(hào)成立，

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記S,為等差數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3S?+6,則公差"=.

參考答案：2

本題解析：由253=352+6可得2（6+%+%）=3（%+。2）+6,化簡得2%=6+々+6,

即2（q+2d）=2q+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

3

參考答案:歷##。3

本題解析：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率2=正

3

故答案為：而

15.過四點(diǎn)（0，。），（4,0）,（7,1）,（4,2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

參考答案:

:《或

(x-2)2+(k3)2=13或(x-2『+。-1)2=5或+(y7

x-1；+(5=,

本題解析：解：依題意設(shè)圓的方程為一+/+必+劭+尸=0,

F=0F=0

若過(0,0),(4,0),(-1,1),則(16+40+R=O,解得步=-4,

l+1-D+E+F^OE=—6

所以圓的方程為^+/一4x—6y=0,即(x—2)2+(y—3)2=13；

F=0F=0

若過(0,0),(4,0),(4,2),貝1J16+40+尸=0,解得。=-4,

16+4+4D+2E+F=0E=-2

所以圓的方程為r+/—4》一2丁=0,即(》一2丫+(y-l)2=5;

F0

9=0

_8

(0,0),(4,2),(-L1),<1+1-O+E+/=0

若過則,解得D=-3'

16+4+4O+2E+E=0

_24

E

2

22814c(4765

所以圓的方程為廠+尸-5彳-5丁=0,即卜I+G

~9

16

F=-T

l+\-D+E+F=0

16

若過(Tl),(4,0),(4,2),則.16+4。+尸=0,解得.D=-

5，

16+4+4￡>+2E+R=0

E=-2

所以圓的方程為x2+y2_gx_2y_?=0,即[x—|[+Q_1)2=詈；

故答案為：(x_2)2+(y_3)2=]3或(x-2)2+(y-l)2=5cg+(y—gj=三或

16.若/(xhlno+A+b是奇函數(shù)，則。=,b=.

參考答案：

1

①.--；②.12.

本題解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lna+式\+b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

L-X

由a+J—*0可得，(l—x)(a+l-ax)w0,所以》="1=一1,解得：a=即函數(shù)的定義

1-xa2

域?yàn)?-oo,-l)u(-l,l)u(l,+oo))再由/(0)=0可得，b=ln2.即

〃x)=ln-；+乙+ln2=ln=，在定義域內(nèi)滿足/(-0=-/⑺，符合題意.

Z1—A1—A

1

故答案為：-］；ln2.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.記ANBC的內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(^-5)=sin5sin(C-/4).

(1)若工=28,求C；

(2)證明：2a2=/+。2

參考答案：⑴y；(2)證明見解析.

第(1)題解析:

兀

由4=2B,sinCsin(4-8)=sinBsin(C-N)可得，sinCsinB=sin8sin(。一力)，jfjjO<5<—,

所以sin8e(O/)，即有sinC=sin(C-/)>0,而0<C<n,0<C-4<兀，顯然CwC—Z,所

571

以，C+C-A=it,而Z=28,A+B+C=TI所以C=p.

,o

第(2)題解析：

由sinCsin(j-B)=sin6sin(C-4)可得，

sinC(sin/cosB-cosAsinB)=sin5(sinCcosA-cosCsin/),再由正弦定理可得,

accosB-bccosA:hecosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

1(a2+c2-62)-1(62+02一*=；伊+c2-a2)-1(a2+62-c2),化簡得：

2a2=/+°2,故原等式成立.

18.如圖，四面體A8C。中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為/C的中點(diǎn).

（1）證明：平面BE。，平面/CO;

（2）設(shè)/8=8D=2,24C8=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△/人7的面積最小時(shí)，求三棱錐歹―/8C

的體積.

參考答案：（1）證明詳見解析（2）除

4

第（1）題解析：

由于4。=。。，E是ZC的中點(diǎn)，所以

AD=CD

由于，所以AADBMACDB,

ZADB=NCDB

所以4B=CB,故NC_L8。，

由于。Ec8O=O,DE,B■平面BED,

所以ZC,平面BE。，

由于ZCu平面4C。，所以平面BE。J_平面4CD.

第（2）題解析：

依題意〃8=8。=8C=2,ZACB-60°,三角形力8c是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=G,

由于=所以三角形/CD是等腰直角三角形，所以O(shè)E=1.

DE2+BE2=BD2,所以DEJ.BE,

由于NCc8E=E,平面NBC,所以。E_L平面NBC.

BF=BF

由于八4。8三△COB,所以NFB4=NFBC,由于＜NFB4=NFBC,所以AFBAMAFBC,

AB=CB

所以=所以

由于S“FC=；ZCM,所以當(dāng)￡尸最短時(shí)，三角形4"。的面積最小值.

]1八

過E作ERL8。，垂足為尸，在中，--BE-DE=--BD-EFt解得EF=(

l2fV3?13BF3

所以。尸=/一號(hào)=天廝=2-勿'=$,所以法=屋

FHBF3

過尸作垂足為“，則FH//DE,所以E〃_L平面N8C,且而一訪一W

3

所以勿=丁

所以/_"c==

19.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積

量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位:

m'）,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面積玉

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得IX=0O38，ZW=L6158，Zw=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總

和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種

樹木的總材積量的估計(jì)值.

￡（王一?。▉V一歹）_____

附：相關(guān)系數(shù)”下里----=T------------.

柩（王-?。┏裕▉V-7了

Vi=li=l

參考答案：

（1）0.06m2;0.39m3

（2）0.97

（3）1209m3

第（1）題解析：

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值彳=詈=006

_39

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值歹=而=039

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39n?

第(2)題解析:

1010

工(王-可(乂-刃?戊-10雙

i=l_i=l

Fio7^07―I7~io\Z10\

￡(Xi-可-歹)、:&-OF

i=li=lVki=l7\i=l7

0.247470x0.06x0.39=0.0134.0.0134“

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

Ijjljr?0.97

第(3)題解析：

設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為班？，

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,

0.06186,

可得南=:丁，解之得Y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3

20.已知函數(shù)/(x)="----(a+l)lnx.

X

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(X)的最大值；

(2)若/⑶恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

參考答案：

(1)-1⑵(0，+°°)

第(1)題解析：

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=---lnx,x>0,貝=』一工=一

XXXX

當(dāng)X€(O，1)時(shí)，/")>0,“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(L+oo)時(shí)，*(x)vo,/(x)單調(diào)遞減；

所以/(x)a=/⑴=一】；

第(2)題解析：

/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,則/(x)=a+二一="1),a-',

XXXX

當(dāng)“40時(shí)，^-1<0,所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，"X)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe（l,+oo）時(shí)，*（x）vO,〃x）單調(diào)遞減；

所以/（x）max=/（l）=a-l<0,此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<。<1時(shí)，>>1,在（0,1），（：，+，|上，/心）>0,/（X）單調(diào)遞增；

在上，/（x）單調(diào)遞減；

又/⑴=。-1<0,當(dāng)X趨近正無窮大時(shí)，/（X）趨近于正無窮大，

所以“X）僅在［L+s］有唯一零點(diǎn)，符合題意；

\a7

當(dāng)。=1時(shí)，/'（力=區(qū)420,所以/（x）單調(diào)遞增，又/⑴="1=°,

X

所以/（X）有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)"1時(shí)，:<1,在（0，），（1，+°°）上，/心）>0,/（X）單調(diào)遞增；

在上，/（x）單調(diào)遞減；此時(shí)/6="i>o,

又/（《［二*一""+〃S+l）Mj當(dāng)〃趨近正無窮大時(shí)，趨近負(fù)無窮，

所以/（x）在（0［）有一個(gè)零點(diǎn)，在［，+8］無零點(diǎn)，

所以/（X）有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為（°，+8）.

21.已知橢圓為勺中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為X軸、y軸，且過/（0，-2）,8e，-11兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)尸。，-2）的直線交不于用，川兩點(diǎn)，過用且平行于x軸的直線與線段4?交于點(diǎn)

T,點(diǎn)〃滿足詬=話.證明：直線出過定點(diǎn).

參考答案：

⑵(0,-2)

第（1）題解析:

解：設(shè)橢圓E的方程為加x?+=],過〃（0,—2）,8（|,-1

4〃=1

1y2X2

則2冽+〃=i，解得%〃=[,所以橢圓E的方程為：1+§=L

[4

第（2）題解析：

37

J（0,-2）,5（-,-1）,所以N5:y+2=§x,

X2y2

①若過點(diǎn)P（L-2）的直線斜率不存在，直線x=l.代入丁+勺=1,

可得M（l,半），N（l,一個(gè)）,代入片6方程夕=gx—2,可得

T（#+3,半），由而=歷得到"（26+5,孚）.求得出方程:

y=（2--^y^）x-2,過點(diǎn)（°，-2）.

②若過點(diǎn)尸（L-2）的直線斜率存在，設(shè)丘7-（左+2）=0,加（苞,凹）,N（Z,必）.

去一,一（左+2）=0

聯(lián)立<X2V2，得(3〃+4)f—6左(2+左)x+3左6+4)=0,

---F—=1

34

_6k(2+k)一8(2+左)

可得3-4+A)'4(4+4%-242)'

少2~聲；4.

-24k,*、

且Q2+'2,=E()

[y=M3

聯(lián)立_2彳_2'可得'（等+3,乂）,"（3凹+6-玉,乂）.

可求得此時(shí)創(chuàng):7-%=豆優(yōu)1（》-々），

將（0,-2）,代入整理得2（須+々）-6（乂+%）+工辦+》2y-3凹為-12=0,

將（*）代入，得24k+12左2+96+48k-24k-48-48左+24k2-36P-48=0,

顯然成立，綜上，可得直線次過定點(diǎn)（°，-2）.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將

所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑.按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分多答

按所答第一題評(píng)分.

八x=<3cos2t

22.在直角坐標(biāo)系xOj中，曲線C的參數(shù)方程為0.,,”為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin（6+W）+〃?=0.

（1）寫出/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若/與C有公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

參考答案：

（1）y/3x+y+2m=0

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