全國普通高等學(xué)校2023屆招生統(tǒng)一考試模擬（三）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

全國普通高等學(xué)校2023屆招生統(tǒng)一考試模擬（三）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、已知集合4={小(1一2)<3},B=<則A/=()

A.{x|-l<x<3}B.|x|-1<x<41C.1x|x<41D.|x|-l<x<4|

2、已知復(fù)數(shù)三為純虛數(shù)，且三=1,則z=()

1+i1+i

A.l-iB.l+iC.—1+i或1-iD.-l—i或1+i

22

3、已知雙曲線C:二-4=1(。>0,8>0)的離心率為2,點(diǎn)M為左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為右

ah

焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作X軸的垂線交C于A,8兩點(diǎn)，則=()

A.45°B.60°C.90°D.120°

4、函數(shù)/（力=言錄的部分圖像大致為（）

5、北京2022年冬奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融非?？蓯?，某教師用吉祥物的小掛件

作為獎品鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)計獎勵方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形狀完全

相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡

片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中

獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為（）

A.—B.-C.-D.-

15535

6、在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為正方形，△PBC為等邊三角形，二面角

P-3C-A為30°,則異面直線PC與所成角的余弦值為（）

7、已知△ABC中，ZBAC=nO°,AC=343=3,DC=2AD,在線段8。上取點(diǎn)

E,使得6E=3EO,貝hosNA￡B=()

A.叵R歷cV21

D.----------

377

8、已知函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xe（0,+oo）時,f'（x）>2x,“2）=4,

則不等式燈1（工一1）+2%2>d+x的解集為（）

A.（-1,0）U（3,-HX）B.（-l,l）J（3,-+w）C.（F,T）J（0,3）D.（-l,3）

二、多項選擇題

9、隨著我國碳減排行動的逐步推進(jìn)，我國新能源汽車市場快速發(fā)展，新能源汽車產(chǎn)銷

量大幅上升，2017-2021年全國新能源汽車保有量y（單位：萬輛）統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所

示：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代碼X12345

保仃量:了/萬

153.4260.8380.2492784

輛

由表格中數(shù)據(jù)可知》關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為>=以-33.64,則（）

A.&=150.24

B.預(yù)測2023年底我國新能源汽車保有量高于1000萬輛

C.2017-2021年全國新能源汽車保有量呈增長趨勢

D.2021年新能源汽車保有量的殘差（觀測值與預(yù)測值之差）為71.44

10、已知圓O：f+y2=],圓Q：（x—攵Y+（y—君攵『=4,則（）

A.無論攵取何值，圓心或始終在直線y=6x上

B.若圓。與圓G有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為1,|

C.若圓。與圓。的公共弦長為半，則人士1或女=±：

D.與兩個圓都相切的直線叫做這兩個圓的公切線，如果兩個圓在公切線的同側(cè)，則這

條公切線叫做這兩個圓的外公切線，當(dāng)Z=±。時，兩圓的外公切線長為20

2

11、已知函數(shù)/（X）=25m（5+9）-0（其中69>0,0〈夕〈兀）的圖像與X軸相鄰兩個

交點(diǎn)之間的最小距離為當(dāng)時，/（X）的圖像與無軸的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

4\22/

之和為方，則（）

A"n=1-0B./（x）在區(qū)間W內(nèi)單調(diào)遞增

C.f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)卜,，-向?qū)ΨQD./（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱

12、已知拋物線。:/=2〃），（2>0）的焦點(diǎn)為尸，斜率為z的直線4過點(diǎn)尸交。于A,B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為4,直線4過點(diǎn)8交C于另一點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），交C的準(zhǔn)線于

點(diǎn)。，直線AM交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)N,則（）

AC的方程為V=4y=:

C.\BD\<\A￡\D.|A?H隅=4

三、填空題

2」

13、已知log53=—,則3'?272=.

x

14、若1-何（爪+JJ的展開式中存在常數(shù)項，則〃的一個值可以是.

15、已知數(shù)列｛./，用｝是以2為公比的等比數(shù)列，q=1,4=2,記數(shù)列｛%｝的前幾項

和為S“，若不等式邑對任意xe（0,2023］恒成立，則〃的最小值為

4a2”x

16、我國古代大多數(shù)城門樓的底座輪廓大致為上、下兩面互相平行，且都是矩形的六

面體（如圖），現(xiàn)從某城樓中抽象出一幾何體43C。-EFG”,其中ABCQ是邊長為4的

正方形，EFG”為矩形，上、下底面與左、右兩側(cè)面均垂直，EF=4,FG=2,

AE=BF=CG=DH,且平面ABCD與平面EFGH的距離為4,則異面直線BG與CH

所成角的余弦值為.

四、解答題

17、在數(shù)列｛”“｝中，q=20,an+l=\an—3|.

(1)求｛為｝的通項公式；

⑵求｛q｝的前〃項和S”.

18、如圖，在平面四邊形A8CO中，CDLDB,CD=1,DB=6/M=2.

(l)^ZDAB=60°,求cosZACB；

⑵求的取值范圍.

19、近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展.某城市推

出了兩套方案，并分別在A,8兩個大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活

動，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意

義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣

傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前

端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動登錄、自動稱重、

自動積分等一系列操作.建立垃圾分類激勵機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換

禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類.經(jīng)過一

段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們

對試行方案的滿意度得分(滿分100分)，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),

L60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖:

頓率

(1)請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾

分類推廣措施更受居民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表)；

⑵估計A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；

(3)以樣本頻率估計概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于

70分說明居民不太贊成推行此方案.現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個人，用X表示贊成該小

區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20、如圖，在多面體aiBCFE中，B4_L平面ABC,PA//CF//BE,且

PA=2CF=4BE,。為出的中點(diǎn)，連接BO,PC,點(diǎn)N滿足。M=2MB,

PN=INC.

B

(1)證明：MN〃平面PEB

(2)若P1=2A8=23C=4,COS/PEF=N^~,求直線PC與平面PM所成角的正弦

65

值.

22

21、已知橢圓C:,+?！?l(a>6>0),左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為8,且=過右

焦點(diǎn)廠作直線/,當(dāng)直線/過點(diǎn)8時，斜率為-G.

(1)求。的方程；

(2)若/交C于尸，。兩點(diǎn)，在/上存在一點(diǎn)M,且。M=則在平面內(nèi)是否存在兩

個定點(diǎn)，使得點(diǎn)M到這兩個定點(diǎn)的距離之和為定值？若存在，求出這兩個定點(diǎn)及定

值；若不存在，請說明理由.

22、已知函數(shù)/(%)=e'cosx.

(1)求/(X)在區(qū)間(0,內(nèi)的極大值；

⑵令函數(shù)尸(對="4一_1,當(dāng)。>逑時，證明：/(x)在區(qū)間(0,巴］內(nèi)有且僅有兩個

零點(diǎn).

參考答案

1、答案：D

解析：由x(x—2)<3得/一21-3<0,解得A=k|—l<x<3},由告N1得

54—r

—--1>0,即一->0,即(4-x)(x+l)20且X+1A0,解得5={x|_l<xW4},所

以A8={x[—l<x〈4}.故選D項.

2、答案：C

々刀4■匚、幾1-z7c\m.iza+bi(。+歷)(1-i)a+bb-a.巾*后

角牛析：以z=〃+Z?i(Q,/?GR),貝ij-----=-----------------1----i9因為復(fù)

1+i1+i222

%+8=0,

數(shù)三為純虛數(shù)，所以，2’解得，又三=1,所以生工=1或

1+i曰b-aw。?，a*b,1+i2

%—1,解得b=l或匕=一1,所以z=—1+i或z=l—i.故選C項.

2

3、答案：C

解析：由題意得0=工=2,即c=2a,又/=/+/,所以b2=3q2,設(shè)點(diǎn)A在X軸上

a

(力2、/2

方，則A[G:]，又亍=3%所以|Aq=3a,?+c=3a,因為NAFM=90。，

所以N/M=45。，所以NAMB=90。.故選C項.

4、答案：C

解析：由題知/(力的定義域為R,又/(-x)=羋苧=-?吟=-“X),所以“X)

為奇函數(shù)，排除A,B項；〃1)=苧＜0,排除D項.故選C項.

5、答案：B

解析：若事件a為“第一次抽到卡片中獎”，事件A為“第二次抽到卡片中獎”，則

尸(3=黑卡P⑷系4故尸⑷介露H?故選8項?

6、答案：A

解析：如圖，由AB〃C￡>,得NPC￡>為異面直線AB與PC所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)E,

產(chǎn)分別為BC,AO的中點(diǎn)，連接PE,PF,EF,由底面ABC。為正方形，△P8C為等

邊三角形，得PE工BC,FEA.BC,所以NP砂=30。.設(shè)43=2,則=由余

弦定理得尸尸=1,又尸產(chǎn)，AD,FD=1,所以產(chǎn)。=血，又PC=CD=2,所以

cosNPCD=4+4"=▲.故選A項.

2x2x24

解析：由題意知Z4E3是向量AE與向量8。的夾角，BD=BA+AD=-AB+-AC,

3

311

AE=AB+BE=AB+」BD=—AB+—AC,

444

BD-AE=\-AB+-AC\-\-AB+-AC\=-\-AB2--AB-AC+-AC\=-,

I3只44J4(33)4

IM不叫qs版卜梅+河當(dāng)

3

則cosZ.AEB==——生下=立^.故選D項.

任也7

MM4

解析：因為r(x)>2x,所以r(x)-2x>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-%2,當(dāng)

xe(0,4w)時，尸(x)=/'(x)-2x>0,*x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且

尸(2)=0,又“X)是定義在R上的偶函數(shù)，所以網(wǎng)力是定義在R上的偶函數(shù)，所以

尸(x)在區(qū)間(-8,0)內(nèi)單調(diào)遞減，且/(-2)=0.不等式M"(x-l)+2f>d+x整理得

xf(^x-t^+2x1-x}-x>0,即x/(x-l)-(x-l)->0,當(dāng)尤>0時，

/(%-l)-(x-l)2>0,則％—1>2,解得x>3；當(dāng)x<0時，/(x-l)-(x-l)2<0,則

-2<x-l<0,解得又x<0,所以-1cx<0.綜上，不等式

1)+2/>%3+》的解集為(_I,O)U(3,4W).故選A項.

9、答案：BCD

解析：由題得7=3,亍=414.()8,代入可得心=149.24,A項錯誤；2023年的年份代碼

為7,代入y=149.24%-33.64得y=1011.04,高于1000萬輛，B項正確；C項顯然正

確；將x=5,代入y=149.24x-33.64得y=712.56,相應(yīng)的殘差為

784-712.56=71.44,D項正確，故選BCD項.

10、答案：ACD

解析：圓心C*的坐標(biāo)為在直線y=6x上，A項正確；若圓。與圓G有公

共點(diǎn)，則1W|OC/W3,所以灸<3,B項錯

誤；將圓。與圓G的方程作差可得公共弦所在直線的方程為

2履+26h-4攵？+3=0,則圓心。到直線的距離4則

|-4公+3]33

解得々=±二或z=±1,C項正確;當(dāng)女=±±時，圓。與圓

442

G外切，圓心距為3,半徑差為1,則外公切線長為了=20,D項正確.故選

ACD項.

11、答案：AB

解析：令/(x)=0,貝！Jsin(o>x+e)=——,所以。工+0=三+2&兀，ZcZ或

24

4——夕+2攵兀---9+2%兀

QX+9=」+2&兀，左$Z,解得X=-----,k^Z^x=-------，kwZ,

4coCD

所以/(X)的圖像與X軸相鄰兩個交點(diǎn)之間的最小距離為三,所以，_=二，解得

2G2(04

①=2,所以/（x）=2sin（2x+o）-山，所以〃尢）的周期7=亨=兀，當(dāng)xw兀71

292

時，2尢+0￡（—兀+0,兀+0）,令/（x）=0,即sin（2x+e）=^-,又0<°<兀，所以

2x+°=三或2x+o=電，所以％=色一2或尢=型一由巴一？+理一2二二得

44828282823

（p=—y所以〃元）=ZsinRx+C]-血，/f—=1-V2,A項正確；由_/<工<2,

6\6/v3J66

zg7T_7TTC,所以/（x）在區(qū)間（-2仁]

得——<2x+—<—內(nèi)單調(diào)遞增,B項正確;

662

=6-&#±2-&,所以“X）的圖像不關(guān)于直線x=2對稱,D項錯誤.故選

AB項.

12、答案：ABD

解析：由題意得《0,9，8（4,￡），所以3,=勺2=:，以整理得

p2+6p-16=0,又p>0,解得p=2,所以。的方程為f=4y,A項正確；準(zhǔn)線方

程為y=-l,B（4,4）,F（0,l）?直線4的方程為y=2x+l,與f=4y聯(lián)立解得x=-l

或x=4,所以,一1,；）,則|AM=J（4+1）2+（4—=彳，B項正確；設(shè)點(diǎn)

M,由題意知，〃。±1且加。±4,所以直線取4:丁-；='『（％+1）,令

y=-l,得》=-1，即竺吧所|以加同=1.同理可得

m-\（m-1）11m-1

他2i]&T,所以加口加國=處4.311=4,D項正確；當(dāng)

加=2時，￡（-6,-1）,所以|AE|=等7,忸。|=生叵，則忸￡）|>|A￡|,C

項錯誤.故選ABD項.

1

13、答案:5-

22

解析：由log53=—,得％=----=21og35=log325,則

xlog53

x3311

3、x27-3=3咋/x3-5%'=25x25《=25個=-

5

14、答案：4（答案不唯一）

、

211

解析:X-2xy/x++—+7的展開式的通項

X

1\n-7r

公式為&產(chǎn)=C"k,取〃=4,r=l,得］=C%"=’,可得

2

A-7x

（x—五）（加+《

的展開式的常數(shù)項為*±=4,所以〃的一個值可以是4.

X

15、答案：9

解析:由題知qa,=2,則a,,%=2x2"T=2",所以勺+必2=2"T,所以%1=2,所

以數(shù)列｛4a｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛&,｝是以2為首項，2為公比

的等比數(shù)列，則

$2"+1=（《+q++。2"+1）+（42+“4++a2n

1-21-2

S?22-+2-1對任意

4“=2x2"T=2",那么2+I+1一擊，因為S2"+I+2>3

4%,4x2"x

xe（0,2023］恒成立，則只需1一擊〉x-1

即可,令"x）=，則/（X）在區(qū)間

maxX

12022o..11

（。,2。23］上單調(diào)遞增，所以八式「黑，所以1->----,BP——<-----，BR|MJ

2"*220232”+22023

2,,+2>2023,解得〃29,又〃eN*,所以〃的最小值為9.

16、答案：上叵

165

解析：如圖，把此六面體補(bǔ)成正方體，連接A”，AC,由題可知所以

ZAHC是異面直線BG與CH所成角或其補(bǔ)角，在中，47=序不=5,

CH=Vl2+42+42=733,AC=4日則

ciC=3C“2_『25+334迪

2xAHxC/72x5xv33165

43〃-3"

,n<1,

2

(2)S,,=

3n+265+(-1)

>8

T

解析：(1)因為4=20,且20—3x6=2>0,20-3x7=-l<0,

所以當(dāng)時，an+l=an-3,

此時｛4｝是以20為首項，-3為公差的等差數(shù)列，

貝iJa“=20-3x(〃-l)=23-3〃；

—

當(dāng)〃28時，a8—\cij3|=|2—3|=1>%=|4—3|=|1—3|=2,=]%_3|=|2-3|=1,

%-3|=|1-3|=2,…，

可得數(shù)列｛為｝是個擺動數(shù)列，則4=上早

23-3?,n<7,

?，1

綜上，an=<3+(-1).

—,/z>8

2

⑵當(dāng)“47時，s,,=生三二皿=也二生；

22

3/?213n+33

當(dāng)〃28,且〃為奇數(shù)時，S?=S7+lx-^+2x-^2=77+-=1

"72222

當(dāng)/也8,且〃為偶數(shù)時，S.=S“T+4J區(qū)?+133+]=笞%,

所以+竺十上

43n-3n2八

——；——，"47,

2

綜上，Sn—<

3〃?265+(-廣

,n＞8

I24

5H

18、答案：(l)cos/ACB=*

(2)(16-473,20)

解析：(1)在△ABD中，因為。3=百，D4=2,NZMB=60。,

由余弦定理得(省『=2?+AB?-2x2xABcos60°,解得AB=\,

由432+032=ZM?,得

此時RtACDB^RtAABD,可得ZABC=120°.

在△ABC中，AB=\,BC=2,

由余弦定理得472=12+22一2乂1*2*8$120。=7,解得AC=V7,

所以cosNACB=2-+7—匚=短.

2x2x7714

(2)設(shè)NAOB=6,由題意可知

在中，由余弦定理得=2?+(6『一2x2x6cos8=7-46cos。,

7T

在△ACD中，AADC=0+-,

2

由余弦定理得AC?=2?+/一2x2xlxcos[e+])=5+4sin。，

所以4發(fā)+靖+人。?=7—4月cos6+5+4sine+22=16+8sin/一方

因為0＜6＜二，所以—四＜6—巴〈巴，一走＜sin(8—四]＜，，

23362(3j2

所以AB?+8。2+AC?的取值范圍是(16-46,20).

19、答案：(1)方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎

⑵第80百分位數(shù)為85分

(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是4

解析：(1)設(shè)A小區(qū)方案一滿意度平均分為"

則口(45x0.006+55x0.014+65x0.018+75x0.032+85x0.020+95x0.010)x10=72.6,

設(shè)B小區(qū)方案二滿意度平均分為工，則

亍=(45x0.005+55x0.005+65x0.010+75x0.040+85x0.030+95x0.010)x10=76.5,

因為72.6<76.5,

所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎.

⑵因為前4組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32=().7<0.8,

前5組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,

所以第80百分位數(shù)在第5組，

設(shè)第80百分位數(shù)為x,WJ0.7+(x-80)x0.020=0.8,解得x=85,

所以A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)為85分.

⑶由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為0.8,低于70分的頻率為0.2,

現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個人，

貝IX?8(5,些)，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

X的分布列為

X01234

P

31256256256253125

4

由二項分布知E（X）=5x—=4.

20、答案：（1）證明見解析

(2)直線PC與平面PEF所成角的正弦值為叵

21

解析：(1)證明：連接AF交PC于點(diǎn)N',

因為B4//C/7,PA=2CF,所以±PN±'=￡P(guān)3A=2,

N'CCF

又PN=2NC,則點(diǎn)N'與點(diǎn)N重合，所以AN=2NF,

同理，連接AE交OB于點(diǎn)例，得所以MN//EF,

又MN①平面PEF,￡Fu平面PEG所以用N〃平面PEE

(2)解：由題意可知PE=/452+弓2《|=V22+32=713,

EF=^BC2+(⑴=V22+12=V5,

在APEF,PF2=PE2+EF2-2PExEFxcosNPEF

=13+5-2x713x75x^^=12,

65

2

22C1A

AC=PF-\-PA=8,所以AC2=A§2+BC2,所以

12)

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,BE所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

B

所以尸(0,2,4),E(0,0,l),尸(2,0,2),C(2,0,0),PC=(2,-2,-4),EF=(2,0,1),

￡P(guān)=(O,2,3),

EF?〃=2x+z=0,

設(shè)平面PEF的法向量為〃=(x,y,z),則

EP-n-2y+3z=0,

不妨取x=l,則y=3,z=-2,即“=(1,3,—2),

設(shè)直線PC與平面PEF所成的角為0,

,vPCn

sin6=cos(PC-/?)=---n—?

'/PC^n

=|2xl+(—2)x3+(-4)x(—2)|=4=V21

百+(—2)+(-4.#+3；+(—2)22日屈21

所以直線PC與平面PEE所成角的正弦值為亙.

21

22

21、答案：⑴二+匕=1

43

(2)存在兩個定點(diǎn)分別為(-J。)，點(diǎn)M到這兩個定點(diǎn)的距離之和為定值2

a2+h2=7,

解析：(1)由題意知Ibr-

c

又片=Z?2+c2,解得a=2,b=A/3,c=l9

2