高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-與三角形相關(guān)的范圍問題(剖析版)_第1頁(yè)
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一.方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問題同樣是高考命題的熱點(diǎn)問題之一,要充分利用解三角形知識(shí),正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、方程與不等式思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想求解.二.解題策略類型一結(jié)合基本不等式求解問題【例1】【湘贛十四校(湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)、江西省南昌市第二中學(xué)等)2019屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,且恒成立,則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】又又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)設(shè),即當(dāng)時(shí),恒成立設(shè)則可知可得:本題正確選項(xiàng):【指點(diǎn)迷津】本題考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用,利用余弦定理表示出cosA,將得出的關(guān)系式利用基本不等式變形求出cosA的范圍,通過構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出的范圍.【舉一反三】1、【江西省上饒中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且,當(dāng)tan(A-B)取最大值時(shí),角C的值為()A.B.C.D.【答案】A【解析】由正弦定理得,化簡(jiǎn)得.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,由于故為銳角,故,所以.故選A.2、【安徽省六安市第一中學(xué)2019屆高三高考模擬考試(三)】在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,則的面積的最大值為()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】∵在△ABC中,∴(2a﹣c)cosB=bcosC,∴(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,約掉sinA可得cosB=,即B=,由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac,∴ac≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),∴△ABC的面積S=acsinB=ac≤故選:A.3、【山西省2019屆高三考前適應(yīng)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若的面積為,周長(zhǎng)為6,則b的最小值是()A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】因?yàn)榈拿娣e為所以整理得,即,因?yàn)?,所以又因?yàn)橹荛L(zhǎng)為6,所以,即所以,所以的最小值是2故選A類型二利用消元法求解問題【例2】【安徽省A10聯(lián)盟2019屆高三11月段考】在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若的面積為,則的最大值為()A.2B.4C.D.【答案】C【解析】由題意得,,∴,又,∴,∴,則的最大值為,故選C【指點(diǎn)迷津】利用余弦定理,結(jié)合三角形面積可化為,從而可得結(jié)果.一般地,利用正弦定理、余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化,利用輔助角公式實(shí)現(xiàn)“消元”,求得范圍.【舉一反三】1、【廣東省廣州市天河區(qū)2019屆高三綜合測(cè)試(二)】在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】即又,即本題正確選項(xiàng):2、圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作兩直線分別交圓于,兩點(diǎn),且,則的取值范圍為__________.【答案】【解析】在中,由正弦定理得:,設(shè)又,所以,...答案為:.3.【云南省2019屆高三第一次統(tǒng)一檢測(cè)】在中,內(nèi)角,,對(duì)的邊分別為,,,,平分交于點(diǎn),,則的面積的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè),則,,,平分交于點(diǎn),,在三角形中,,由正弦定理可得,,在三角形中,,由正弦定理可得,,面積,,,,,當(dāng)時(shí),即時(shí),面積最小,最小值為,故選:類型三與三角形的周長(zhǎng)有關(guān)的最值問題【例3】【安徽省蕪湖市2019屆高三上期末】銳角三角形的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,已知,,則周長(zhǎng)的最大值為()A.B.C.3D.4【答案】C【解析】依題意,由正弦定理得,即,由于三角形為銳角三角形,故,由正弦定理得,故三角形的周長(zhǎng)為,故當(dāng),即三角式為等邊三角形時(shí),取得最大值為,故選C.【指點(diǎn)迷津】在處理解三角形問題時(shí),要注意抓住題目所給的條件,將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;這類問題的通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,從而求出范圍或最值,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍,從而得最值.【舉一反三】1、【河北省衡水市第十三中學(xué)2019屆高三質(zhì)檢(四)】已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,且,若的外接圓半徑為,則的周長(zhǎng)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?,,?因此.即,因?yàn)?所以,選B.2、在中,角,,所對(duì)應(yīng)的邊分別為,,,若,,則當(dāng)角取得最大值時(shí),三角形的周長(zhǎng)為()A.B.C.3D.【答案】A【解析】在△ABC中,由正弦定理得:∵∴A為鈍角.∴,由,可得,tanB=﹣==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)tanC=時(shí)取等號(hào).∴B取得最大值時(shí),∴.∴a=2×=.∴a+b+c=2+.故答案為:2+.類型四與三角形面積有關(guān)的最值問題【例4】在中,分別為內(nèi)角的對(duì)邊,若,且,則的面積的最大值為__________.【答案】【指點(diǎn)迷津】本題綜合性較大,且突破了常規(guī)性,即在條件中只在等式的一邊給出了三角形的邊,所以在解題中要熟練地對(duì)所得中間結(jié)論的變形,如在本題中要在的基礎(chǔ)上在利用正弦定理得到.對(duì)于最值的處理往往要考慮到基本不等式的運(yùn)用,運(yùn)用不等式時(shí),不要忘了基本不等的使用條件.【舉一反三】1、【陜西省漢中市2019屆高三上學(xué)期第一次檢測(cè)】在中,角的對(duì)邊分別是,若角成等差數(shù)列,且直線平分圓的周長(zhǎng),則面積的最大值為()A.B.C.2D.【答案】D【解析】因?yàn)榻浅傻炔顢?shù)列,所以,又直線平分圓的周長(zhǎng),所以直線過圓心,即,三角形面積,根據(jù)均值不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,可知面積的最大值為,故選D.2.已知四邊形中,,設(shè)與面積分別為,則的最大值為_____.【答案】【解析】因?yàn)椋?,在△ABD中,由余弦定理可得,,作CE⊥BD于E,因?yàn)?,所以,所以,?dāng)時(shí),的最大值為.故答案為:3、【河南省焦作市2019屆高三三模】如圖所示,點(diǎn),分別在菱形的邊,上,,,則的面積的最小值為______.【答案】【解析】在菱形中,,所以=,在中,=,設(shè),,則,且由正弦定理得,在中,,則,由正弦定理,得,在中,因?yàn)椋?,即,所以,所以故答案為:類型五與三角形解的個(gè)數(shù)有關(guān)的最值問題【例5】在中,角的對(duì)邊分別為,,若符合條件的三角形有兩解,則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?,又,則,則,由,所以.【指點(diǎn)迷津】本題主要考查了三角形問題的求解,其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,試題比較基礎(chǔ)屬于基礎(chǔ)題,解答中熟記三角形的正弦定理的邊角互化和合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵.【舉一反三】1、【湖北省黃岡市2019屆高三上學(xué)期元月調(diào)研】已知a,b,c分別為的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,已知,,,若滿足條件的三角形有兩個(gè),則x的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】解:在中,由正弦定理得:,即,可得:,由題意得:當(dāng)時(shí),滿足條件的有兩個(gè),所以,解得:,則a的取值范圍是.故選:B.2、在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,如果這樣的三角形有且只有一個(gè),則的取值范圍為________.【答案】或【解析】由題意得,在中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,由,所以,所以當(dāng)或時(shí),此時(shí)滿足條件的三角形只有一個(gè).類型六轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問題【例6】【湖南省湘潭市2019屆高三下學(xué)期二?!糠謩e為銳角內(nèi)角的對(duì)邊,函數(shù)有唯一零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意,函數(shù)為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn),則,所以.由余弦定理,得,整理得,即,所以,由正弦定理,得,即,所以,所以,所以或(舍),故,結(jié)合銳角,,則,,所以,由,又因?yàn)?,所以,即的取值范圍是,故選D.【指點(diǎn)迷津】對(duì)于解三角形問題,通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系,利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系,利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角,利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值..【舉一反三】1.在銳角三角形中,分別是內(nèi)角的對(duì)邊,設(shè),則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由正弦定理得:,為銳角,即,且為銳角,,所以,即,,則的取值范圍是,故選A.2.【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三二?!吭谥校?,則的最大值為______.【答案】【解析】在△ABC中,有,所以==,當(dāng)即時(shí)取等.故答案為:三.強(qiáng)化訓(xùn)練1.【陜西省彬州市高2019屆高三上學(xué)期第一次監(jiān)測(cè)】在中,三內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,,則角的大小是()A.或B.C.D.【答案】A【解析】∵,∴cosA,由0<A<π,可得A,∵,∴sinBsinC=∴,即解得tan2C=,又∴2C=或,即C=或故選:A2.【黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第三次月考】中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且滿足,,則面積的最大值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可知,由正弦定理得,又由在中,,即,即,因?yàn)?,所以,在中,由余弦定理可知,且,即,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即,所以的最大面積為,故選A.3.曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為,則外接圓面積的最小值為A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.則直線l方程為,即,可求直線l與y=x的交點(diǎn)為A(),與y軸的交點(diǎn)為,在△OAB中,,當(dāng)且僅當(dāng)2=2時(shí)取等號(hào).由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為,則△OAB外接圓面積,故選:C.4.【湖北省宜昌市2019屆高三年級(jí)元月調(diào)考】已知銳角外接圓的半徑為2,,則周長(zhǎng)的最大值為()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵銳角外接圓的半徑為2,,∴即,∴,又為銳角,∴,由正弦定理得,∴a=4sinA,b=4sinB,c=∴a+b+c=24sinB+4sin(B)=6sinB+2cosB+24sin(B)+2,∴當(dāng)B即B時(shí),a+b+c取得最大值46.故選:B.5.【中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2018年12月】在中,、、的對(duì)邊分別是、、.若,,則的最大值為()A.3B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?,,設(shè)三角形外接圓半徑為R,由正弦定理可得,所以,故其中.所以.6.【安徽省巢湖市2019屆高三三月份聯(lián)考】已知銳角的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,三角形ABC的面積,則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槿切螢殇J角三角形,所以過C作于D,D在邊AB上,如圖:因?yàn)椋海?,在三角形ADC中,,在三角形BDC中,,,,.設(shè)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到:.故選:D.7.【2019年高考模擬試卷(一)】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?,得,所以,所以?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),且為三角形內(nèi)角,所以.故選:D8.【廣東省東莞市2019屆高三第二次調(diào)研】若的面積為,且為鈍角,則的度數(shù)以及的取值范圍為A., B.,C., D.,【答案】C【解析】解:由余弦定理可得,,,,,,由正弦定理可得,,,故選:C.9.【貴州省凱里市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬考試《黃金卷二》】在銳角三角形中,已知分別是角的對(duì)邊,且,則面積的最大值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】在中,由正弦定理得,,解得為銳角三角形,則由余弦定理得,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立故選B項(xiàng).二、填空題10.【江西省紅色七校2019屆高三第二次聯(lián)考】在中,角所對(duì)的邊分別是,若,且,則的周長(zhǎng)取值范圍為__________________.【答案】【解析】由余弦定理得,整理得即a+b≤4當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2取等,又a+b>c=2,所以a+b+c故答案為11.【四川省巴中市2019屆高三零診】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知=,則A的取值范圍為______【答案】(0,]【解析】由得,化簡(jiǎn)得,,,且余弦函數(shù)在上是遞減函數(shù),,故答案為(0,].12.【四川省成都石室中學(xué)2019屆高三二?!克倪呅沃?,,,,,則的最大值為__________.【答案】【解析】設(shè)∠ABC=α,∠ACB=β,則在△ABC中,由余弦定理得AC2=10﹣6cosα.由正弦定理得,即sinβ=,∵,,∴CD=在△BCD中,由余弦定理得:BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos(900+β),即DB2=9++2×3××=-2cosα+2sinα=+4sin()∴當(dāng)α=時(shí),對(duì)角線BD最大,最大值為,則的最大值為,故答案為:13.【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2019屆高三第四次聯(lián)考】在中,角,,所對(duì)的邊分別是,,,若,且邊上的高等于,則的周長(zhǎng)的取值范圍為____【答案】【解析】由題可知:故,即又,則又,則所以的周長(zhǎng)的取值范圍為本題正確結(jié)果:14.【2019年安徽省馬鞍山市高考一?!吭谥校?、、所對(duì)的邊分別邊、、,若,,則的取值范圍是__.【答案】【解析】,,,,,又

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