邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)

1.1概述

一、信號1.模擬信號是指在時(shí)間和數(shù)值上都是連續(xù)變化的信號，如傳統(tǒng)調(diào)頻、調(diào)幅方式傳送的廣播電視信號等；2.數(shù)字信號是指信號的變化在時(shí)間上是不連續(xù)的，即它在時(shí)間和幅度上是離散的。

數(shù)字信號常用二值量信息表示，它既可以用兩個(gè)有一定數(shù)值范圍的高、低電平來表示，也可以用兩個(gè)狀態(tài)的邏輯符號0和1來表示。例如，我們可以用1表示燈的亮，0表示燈的滅等。本節(jié)內(nèi)容提要：1、信號、電路的基本概念

2、數(shù)字電路的優(yōu)點(diǎn)

3、數(shù)字電路的分析方法二、電路1.模擬電路

能夠?qū)δM信號進(jìn)行傳送、加工及處理的電子電路。

2.數(shù)字電路

能夠?qū)?shù)字信號進(jìn)行傳遞、加工及處理的電子電路。

如交、直流放大器等如本教材中即將介紹的門電路、觸發(fā)器、計(jì)數(shù)器等。3.集成電路

將二極管、三極管、電阻等元器件組成的具有一定邏輯功能的電路（即分立元件電路），集中制作在一塊很小的半導(dǎo)體材料基片上。按照集成度的高低，集成電路可分為：小規(guī)模集成電路(SSI)(每個(gè)芯片含有10～100個(gè)元件)、中規(guī)模集成電路(MSI)(每個(gè)芯片含100～1000個(gè)元件)、大規(guī)模集成電路(LSI)(每個(gè)芯片含1000～10000個(gè)元件)、超大規(guī)模集成電路(VLSI)(每個(gè)芯片含10000～1000000個(gè)元件)超超大規(guī)模集成電路(VVLSI)(每個(gè)芯片可含1000000個(gè)以上元件)。集成電路分類三、數(shù)字電路的優(yōu)點(diǎn)1．工作可靠性高、抗干擾能力強(qiáng)2．集成度高3．?dāng)?shù)字集成電路功耗低、通用性強(qiáng)、成本低4．保密性好。與模擬電路相比，數(shù)字電路主要有如下優(yōu)點(diǎn)四、數(shù)字電路的研究方法經(jīng)典法先對設(shè)計(jì)任務(wù)進(jìn)行邏輯分析，求出函數(shù)與變量之間的邏輯關(guān)系(一般稱它為邏輯函數(shù))，然后利用布爾代數(shù)法或卡諾圖等方法對邏輯函數(shù)進(jìn)行簡化，最后用集成器件實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)。特點(diǎn):1.器件和連線少;2.特別適宜中、小規(guī)模集成數(shù)字電路的設(shè)計(jì)

返回1．2晶體管的開關(guān)特性概述1.2.1晶體二極管的開關(guān)特性1.2.2晶體三極管的開關(guān)特性返回主菜單1．2晶體管的開關(guān)特性由模擬電路知識可知，在理想狀態(tài)下，晶體二極管正偏導(dǎo)通時(shí)其正向壓降為0，相當(dāng)于短路狀態(tài)，而反偏截止時(shí)其反向電流為0，相當(dāng)于開路狀態(tài)；晶體三極管工作在飽和區(qū)時(shí)其b-e、c-e之間呈現(xiàn)的電阻很小，相當(dāng)于短路狀態(tài)，而工作于截止區(qū)時(shí)其b-e、c-e之間均呈現(xiàn)很高的電阻，相當(dāng)于開路狀態(tài)。返回晶體管的這種特性與理想開關(guān)的特性十分相似。所謂理想開關(guān)就是指開關(guān)接通時(shí)其接觸電阻為0，相當(dāng)于短路狀態(tài)；開關(guān)斷開時(shí)其絕緣電阻為無窮大，電流等于0，處于開路狀態(tài)，且開關(guān)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換能在瞬間完成。因此，在數(shù)字電路中，晶體二極管、晶體三極管常被作為開關(guān)器件來使用。返回1．2．1晶體二極管的開關(guān)特性由于實(shí)際中使用的晶體二極管不可能是理想的，因此，晶體二極管從截止到飽和或是從飽和到截止都需要一定的時(shí)間。在低速開關(guān)電路中，二極管導(dǎo)通與截止兩種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換過程可以看作是無惰性的，轉(zhuǎn)換時(shí)間可以不考慮；但在高速開關(guān)電路中就必須加予考慮了；又由于二極管從截止轉(zhuǎn)換到導(dǎo)通所需要的時(shí)間很短，因此它對開關(guān)速度的影響可忽略不計(jì)；我們只分析二極管由導(dǎo)通到截止的過程，即：反向恢復(fù)過程。返回圖1.1（a）是一簡單的二極管開關(guān)電路，其輸入電壓波形如圖1.1（b）所示。(a)電路(b)輸入電壓波形(c)理想電流波形(d)實(shí)際電流波形

圖1.1二極管的開關(guān)特性返回當(dāng)輸入電壓由正向UF突然變到反向UR時(shí)，理想情況下，二極管應(yīng)立即由導(dǎo)通變?yōu)榻刂梗鬟^二極管的電流為反向漏電流IS，如圖1.1（c）所示。但由于二極管并非是理想的，實(shí)際電流如圖1.1（d）所示。反向電流持續(xù)一段時(shí)間ts后，按指數(shù)規(guī)律減小，經(jīng)過一段時(shí)間tr，電流下降到0．1IR，然后電流逐漸減小到反向電流IS，二極管才截止。其中，反向恢復(fù)時(shí)間tR=ts+tr。

二極管產(chǎn)生反向恢復(fù)過程的根本原因：由于正向工作時(shí)，PN結(jié)兩邊存貯了多余的少數(shù)載流子，消散該存貯電荷是需要時(shí)間的。除了少數(shù)載流子的存貯效應(yīng)會引起開關(guān)的惰性外，二極管的結(jié)電容也有影響。當(dāng)正向工作時(shí)P區(qū)的空穴和N區(qū)的電子進(jìn)入空間電荷區(qū)，使阻擋層變窄，空間電荷量減少，而當(dāng)PN結(jié)由正偏變?yōu)榉雌珪r(shí)，阻擋層變寬，空間電荷量增加。PN結(jié)的這個(gè)作用如同一個(gè)電容器一樣，故稱為結(jié)電容。因此，產(chǎn)生反向恢復(fù)過程的原因可歸結(jié)為存貯電荷效應(yīng)和結(jié)電容效應(yīng)。反向恢復(fù)時(shí)間tR的大小除了與管子本身的性能有關(guān)外，與正向?qū)娏骱头聪螂娏鞯拇笮∫灿嘘P(guān)。正向電流越小，則存貯的少數(shù)載流子電荷少，tR就短，反向電流越大，則對存貯電荷的驅(qū)散速度越快，tR短。因此，為了減小反向恢復(fù)時(shí)間，應(yīng)該盡量減小正向電流與反向電流的比值。返回1．2．2晶體三極管的開關(guān)特性

由于晶體三極管發(fā)射結(jié)、集電結(jié)同晶體二極管的PN結(jié)一樣，都存在存貯電荷效應(yīng)和結(jié)電容效應(yīng)，因此，晶體三極管在截止?fàn)顟B(tài)與飽和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換時(shí)也具有過渡特性，即狀態(tài)的轉(zhuǎn)換不可能在瞬間完成，一定有時(shí)間的延時(shí)。返回(a)電路(b)輸入電壓波形(c)實(shí)際電流波形(d)實(shí)際電壓波形

圖1.2三極管的開關(guān)特性返回1返回2在圖1.2（a）所示電路中，若三極管基極輸入電壓為一理想的矩形波，理想條件下其集電極電流iC和集電極電壓uCE的波形也應(yīng)是理想的矩形波，但實(shí)際的波形卻是如圖1.2（d）所示，它們的上升沿和下降沿都變化緩慢，而且上升部分和下降部分與輸入波形相比都有時(shí)延。產(chǎn)生這種情況的原因同樣是因?yàn)榇尜A電荷效應(yīng)和結(jié)電容效應(yīng)。在圖1.2（a）中，我們規(guī)定ui正跳變開始到iC上升至0.9IC(sat)所需要的時(shí)間稱為開通時(shí)間，用tON表示；而從ui負(fù)跳變開始到iC下降至0.1IC(sat)所需要的時(shí)間稱為關(guān)斷時(shí)間，用toff表示；開通時(shí)間tON與關(guān)斷時(shí)間toff總稱為三極管的開關(guān)時(shí)間，它隨管子不同而有很大差別，其大小影響三極管的開關(guān)速度。返回1.3數(shù)制和碼概述1.3.1數(shù)制表示1.3.2數(shù)制轉(zhuǎn)換1.3.3二—十進(jìn)制(BCD)碼返回主菜單1.3數(shù)制和碼所謂數(shù)制是進(jìn)位計(jì)數(shù)制度的簡稱。我們?nèi)粘Ｉ钪杏性S多不同的數(shù)制。例如，十進(jìn)制是“逢十進(jìn)一”，鐘表計(jì)時(shí)采用60進(jìn)制、即六十秒為一分，六十分為一小時(shí)，十二英寸為一英尺，則采用的是十二進(jìn)制等等。返回1.3.1數(shù)制表示

一、十進(jìn)制的表示十進(jìn)制是使用最早的一種主要的計(jì)數(shù)制度。例如一個(gè)十進(jìn)制數(shù)286．75，我們可以立刻讀出這個(gè)數(shù)，數(shù)碼“2”代表二百，數(shù)碼“8”代表八十等等，顯然這是由某個(gè)數(shù)碼在數(shù)字中處在不同的位置(數(shù)位)所決定的。此數(shù)也可用一個(gè)多項(xiàng)式來表示，即：

返回一般地對于一個(gè)任意n位整數(shù)，m位小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)(N)10可以表示為：(1—3—2)(1—3—1)=或返回ai表示相應(yīng)數(shù)位的數(shù)碼，可以是0，1…9十個(gè)數(shù)碼中的任意一個(gè)，記作0≤ai≤9，我們把“十”稱為十進(jìn)制的基數(shù)。所謂“基數(shù)”是指在一個(gè)數(shù)制中可能用到的數(shù)碼個(gè)數(shù)。例如，二進(jìn)制的基數(shù)是“二”，R進(jìn)制的基數(shù)是R。n、m為正整數(shù)，分別代表整數(shù)位數(shù)和小數(shù)位數(shù)；(N)10的下標(biāo)10（也可用D）表示十進(jìn)制數(shù)。式(1—3—1)稱為十進(jìn)制數(shù)的位置計(jì)數(shù)法或稱并列表示法，式(1—3—2)稱為十進(jìn)制數(shù)的多項(xiàng)式表示法，或稱按權(quán)展開式。10i稱為數(shù)碼ai具有的“權(quán)”。例如；數(shù)碼a3的權(quán)為103=1000，數(shù)碼a0的權(quán)為100=1。顯然可見，處在不同數(shù)位上的數(shù)碼具有不同的“權(quán)”。

二、二進(jìn)制數(shù)的表示

1．二進(jìn)制數(shù)的表示方法

與十進(jìn)制數(shù)一樣，二進(jìn)制數(shù)的表示也有兩種方法：位置計(jì)數(shù)法和多項(xiàng)式表示法。如等式左邊是位置計(jì)數(shù)法，等式右邊是多項(xiàng)式表示法。一般地，對于一個(gè)任意n位整數(shù)和m位小數(shù)的二進(jìn)制數(shù)(N)2可以表示為：（1—3—3）或=（1—3—4）(N)2下標(biāo)2表示二進(jìn)制。式中bi表示相應(yīng)數(shù)位的數(shù)碼，n、m為正整數(shù)，n代表整數(shù)位數(shù)，m代表小數(shù)位數(shù)。2i稱為數(shù)碼bi的權(quán)。返回三、二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則與十進(jìn)制數(shù)相類似，其運(yùn)算規(guī)則如下：

(1)加法運(yùn)算規(guī)則

0+0=00+1=11+0=11+1=0(同時(shí)向鄰近高位進(jìn)一)

(2)減法運(yùn)算規(guī)則

0-0=00-1=1

(同時(shí)向鄰近高位借一)

1-0=11-1=0

(3)乘法規(guī)則(4)除法規(guī)則例1.1

求1001與1010之和。解：將末位對齊逐位相加。則：

1001

+）.101010011

即：1001+1010=10011二進(jìn)制數(shù)加法運(yùn)算將末位對齊逐位相加，但采用“逢二進(jìn)一”的法則。例1.2

求1101與1011之差。解：將末位對齊逐位相減。則：

1101

—）10110010

即：1101-1011=10二進(jìn)制數(shù)減法運(yùn)算亦是將末位對齊逐位相減，當(dāng)某數(shù)位減數(shù)大于被減數(shù)時(shí)，需向高位借位，并且是借一當(dāng)二。例1.3

求1001與1011的積。解：1001

×)1011100110010000

1001

1100011即：1001×1011=1100011例1.4

求10010001與1011之商。解：10010001101111011111011011110011101110….商………余數(shù)二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法運(yùn)算與十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算類似，只是要采用二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。四、任意進(jìn)制數(shù)的表示對于一個(gè)n位整數(shù)，m位小數(shù)的任意進(jìn)制數(shù)(N)R可以表示為：（1—3—5）或（1—3—6）式中(N)R的下標(biāo)R表示R進(jìn)制，ci可以是0，1，…，（R-1）中任意一個(gè)數(shù)碼，n、m為正整數(shù)，Ri稱為ci具有的權(quán)。

五、八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)的表示八進(jìn)制數(shù)用0、1、2、3、4、5、6、7八個(gè)數(shù)碼表示，基數(shù)為8。計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢八進(jìn)一”，即7+1=10（表示八進(jìn)制數(shù)的8），各數(shù)位的權(quán)為8n-1、…、82、81、80、8-1、…、8-m。則按權(quán)展開可寫成：=（1—3—7）如(368.25)8=3×82+6×81+8×80+2×8-1+5×8-2同理十六進(jìn)制數(shù)是用0、1、2、3、…、9、A、B、C、D、E、F這十六個(gè)數(shù)碼來表示，基數(shù)為16。其中A、B、C、D、E、F分別表示10、11、12、13、14、15這十六個(gè)數(shù)碼。其計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”，即F+1=10（表示十六進(jìn)制數(shù)的16)。按權(quán)展開可寫成：=如(257.36)16=2×162+5×161+7×160+3×16-1+6×16-2返回1．3．2數(shù)制轉(zhuǎn)換我們習(xí)慣于采用十進(jìn)制數(shù)，但在計(jì)算機(jī)和數(shù)字電路中卻是按二進(jìn)制工作的，因此，在數(shù)字系統(tǒng)中，首先必須把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)和數(shù)字電路能加工、處理的二進(jìn)制數(shù)，而作為數(shù)字系統(tǒng)的輸出又要轉(zhuǎn)換成人們熟悉的十進(jìn)制數(shù)等。這就要求我們必須掌握各種不同數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換。

一、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)只要采用（1—3—4）式，將被轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)按權(quán)相加即可得到與該二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。返回例1.5

將(11001.101)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。解：根據(jù)（1—3—4）式有：

=16+8+0+0+1+0.5+0.125

=(25.625)10

即：(11001.101)2=(25.625)10

二、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的方法很多，下面僅介紹基數(shù)乘除法；基數(shù)乘除法包含兩個(gè)內(nèi)容，即基數(shù)除法和基數(shù)乘法。前者用于整數(shù)轉(zhuǎn)換，后者用于小數(shù)轉(zhuǎn)換。如果某數(shù)包含整數(shù)和小數(shù)兩部分，則須將它們分別轉(zhuǎn)換，然后合并起來。整數(shù)轉(zhuǎn)換采用基數(shù)除法，即“除2取余”的方法。也就是把十進(jìn)制整數(shù)除以2，取出余數(shù)1或0作為相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的最低位，把得到的商再除以2，再取余數(shù)1或0作為二進(jìn)制數(shù)的次低位，依次類推，直至商為0，所得余數(shù)為最高位。1.整數(shù)轉(zhuǎn)換例1.6

將十進(jìn)制數(shù)(76)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解：2|76

余數(shù)

2|380______最低位

2|190

2|91

2|41

2|20

2|10

01______最高位

即：(76)10=(1001100)2

小數(shù)轉(zhuǎn)換采用基數(shù)乘法，即“乘2取整”的方法。先將十進(jìn)制小數(shù)乘以2，取其整數(shù)1或0作為二進(jìn)制小數(shù)的最高位，然后將乘積的小數(shù)部分再乘以2，再取整數(shù)作為次高位。依次類推，直至小數(shù)部分為0或達(dá)到所要求的精度。2.小數(shù)轉(zhuǎn)換例1.7

試將(0.75)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)

解：0.75

×)2.50b-1=1______小數(shù)最高位

×)2.00b-2=1______小數(shù)最低位例1.8

試將(26.45)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，取小數(shù)五位。11解：這是一個(gè)既有整數(shù)又有小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)，可將其兩部分分別轉(zhuǎn)換，然后相加。

整數(shù)部分

小數(shù)部分

2|26

余數(shù)

0.45

2|130最低位

×)2

2|61.90b-1=0

最高位

2|30×)2

2|11.80b-2=1

01最高位

×)2

.60b-3=1

×)2

.20b-4=1

×)2

.40b-5=0

最低位

則：(26.45)10=(11010.01110)2

01110將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)的方法是：從小數(shù)點(diǎn)開始，分別向左、向右按3位（轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)）或4位（轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)）分組，最后不滿3位或4位時(shí)，則填0補(bǔ)充。再將每組以對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)代替，即可得相應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)。三、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換例1.9

將二進(jìn)制數(shù)(10011101)2分別轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)。

解：二進(jìn)制數(shù)

10，011

，101

每3位一組

010，011，101，最高位補(bǔ)0

八進(jìn)制數(shù)

235

結(jié)果

即：(10011101)2=(235)8

二進(jìn)制數(shù)

1001，1101

每4位一組

十六進(jìn)制數(shù)

9D

即：(10011101)2=(9D)16

將八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法是：將八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)的每一位,用對應(yīng)的3位或4位二進(jìn)制數(shù)來表示即可。例1.10

將八進(jìn)制數(shù)(327)8和十六進(jìn)制數(shù)(7A)16分別轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解：八進(jìn)制數(shù)

(327)8

二進(jìn)制數(shù)

011010111

即：(327)8=(011010111)2

十六進(jìn)制數(shù)

(7A)16

二進(jìn)制數(shù)

01111010

即：(7A)16=(01111010)2

返回計(jì)算機(jī)一般是采用二進(jìn)制碼運(yùn)算的。但有時(shí)需要用二進(jìn)制碼來表示十進(jìn)制數(shù)字，這種編碼方法稱之為十進(jìn)制數(shù)的代碼表示法，它是用4位二進(jìn)制數(shù)來表示十進(jìn)制數(shù)碼0～9中的任意一個(gè)，即所謂二—十進(jìn)制碼，簡稱為BCD碼。由于4位二進(jìn)制數(shù)碼可以表示16種不同的組合狀態(tài)，用以表示1位十進(jìn)制數(shù)(只有0～9十個(gè)數(shù)碼)，只需選擇其中的10個(gè)狀態(tài)的組合，其余6種的組合是多余的。因此，按組合狀態(tài)選取方式的不同，可以得到不同的二—十進(jìn)制編碼。如表1.1所列是常見的幾種BCD編碼。1.3.3二—十進(jìn)制(BCD)碼返回十進(jìn)制數(shù)8421碼

十進(jìn)制數(shù)2421碼(A)十進(jìn)制數(shù)2421碼(B)

十進(jìn)制數(shù)5421碼十進(jìn)制數(shù)余3碼

十進(jìn)制數(shù)格雷碼

00000000001000010000不出現(xiàn)00000000010001100012000120001000110001200102001030010300100010200103001130011400114001100011300114010040100不出現(xiàn)狀態(tài)0100不出現(xiàn)0100101004010050101501010101010120101501016011060110011001103011060110701117011101110111401117011181000不出現(xiàn)狀態(tài)10001000510005100081000910011001100161001610019不出現(xiàn)狀態(tài)101010101010710107101010111011510118101181011110011006110091100911001101110171101不出現(xiàn)1101不出現(xiàn)110111108111081110111011101111911119111111111111權(quán)8421242124215421無權(quán)無權(quán)

表1.1常見的幾種BCD編碼在二—十進(jìn)制編碼中，一般分為有權(quán)碼和無權(quán)碼兩大類。例如8421BCD碼是一種最基本的，應(yīng)用十分普遍的BCD碼。它是一種有權(quán)碼，8421就是指這種編碼中各位的權(quán)分別為8、4、2、1。屬于有權(quán)碼的還有2421BCD碼、5421BCD碼等，而余3碼，格雷碼則是無權(quán)碼。對于有權(quán)碼來說，由于各位均有固定的權(quán)，因此二進(jìn)制數(shù)碼所表示的十進(jìn)制數(shù)值就容易識別。二—十進(jìn)制數(shù)的表示方法也很簡單，就是將十進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)字分別用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示出來。例如，要將十進(jìn)制數(shù)(82)10用8421編碼的二—十進(jìn)制數(shù)來表示，則分別用(1000)2表示“8”，(0010)2表示“2”，然后將兩組二進(jìn)制數(shù)按原來十進(jìn)制數(shù)的順序排列起來，所構(gòu)成的就是二—十進(jìn)制數(shù)，即：(82)10=(10000010)BCD（下標(biāo)BCD表示二—十進(jìn)制數(shù)）。在二—十進(jìn)制數(shù)中，每組4位數(shù)是二進(jìn)制，而組與組之間卻是十進(jìn)制的關(guān)系。返回1.4邏輯函數(shù)概述1.4.1邏輯函數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算1.4.2常用邏輯門1.4.3邏輯代數(shù)的公理、定理及規(guī)則返回主菜單1.4邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)首先是由英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾（GeorgeBoole）[1815～1864年]奠定的，因此又稱為布爾代數(shù)；布爾代數(shù)的二值性質(zhì)應(yīng)用于兩態(tài)元件組成的數(shù)字電路(開關(guān)電路)尤為適合，自從布爾代數(shù)用于開關(guān)數(shù)字電路之后，又被稱為開關(guān)代數(shù)。所以邏輯代數(shù)、布爾代數(shù)、開關(guān)代數(shù)都是指同一概念。目前，邏輯代數(shù)已成為研究數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論。無論何種形式的數(shù)字系統(tǒng)，都是由一些基本的邏輯電路所組成的。為了解決數(shù)字系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中的各種具體問題，必須掌握邏輯代數(shù)這一重要數(shù)學(xué)工具。

返回1.4.1邏輯函數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算

一、基本概念1．邏輯變量

在數(shù)字系統(tǒng)中，用于描述開關(guān)的接通與斷開、電平的高與低，信號的有和無、晶體管的導(dǎo)通與截止等兩種取值狀態(tài)的二值變量稱之為邏輯變量。邏輯代數(shù)中的邏輯變量也和普通代數(shù)一樣，都是用字母A、B、C、…、X、Y、Z來表示，但邏輯代數(shù)中的變量A、B、C、…、X、Y、Z的取值只有兩種可能性，即0和1，而且，這里的0和1并不表示具體的數(shù)量大小，而是表示兩種相互對立的邏輯狀態(tài)。例如，可以用1來表示開關(guān)接通，用0表示開關(guān)的關(guān)斷；用1表示燈亮，用0表示燈暗；用l表示高電平，用0表示低電平等。這是與普通代數(shù)明顯的區(qū)別之—。返回２、邏輯函數(shù)的定義設(shè)某一邏輯電路的輸入邏輯變量為A1、A2、…、An，輸出邏輯變量為F，如圖1.3所示。當(dāng)A1、A2、…、An

的值確定后，F(xiàn)的值就唯一地被確定下來，則F被稱為

A1、A2、…、An

的邏輯函數(shù)，記為：

F=f（A1、A2、…、An）（1—4—1）

上式便是邏輯函數(shù)表達(dá)式，它與真值表、卡諾圖都是表示邏輯函數(shù)的重要工具。

圖1.3邏輯電路返回3．邏輯函數(shù)的相等

設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)

F1=f1（A1，A2，…，An）

F2=f2（A1，A2，…，An）

若對應(yīng)于邏輯變量A1、A2、…、An的任意一組取值組合，F(xiàn)1和F2值都相同，則稱函數(shù)F1和F2相等，記為F1=F2。4．正、負(fù)邏輯

用0和1來表示相互對立的邏輯狀態(tài)時(shí)，可以有兩種不同的表示方法：用1表示高電平，用0表示低電平，稱為正邏輯體制（簡稱正邏輯）；用1表示低電平，用0表示高電平，稱為負(fù)邏輯體制（簡稱負(fù)邏輯）。

對于同一個(gè)電路，可以采用正邏輯，也可以采用負(fù)邏輯，但應(yīng)事先規(guī)定。因?yàn)榧词雇环N電路，由于選擇的正、負(fù)邏輯體制不同，功能不也相同。本書若無特殊說明，均采用正邏輯。

二、基本邏輯運(yùn)算

在邏輯代數(shù)中，最基本的運(yùn)算有：“與”、“或”、“非”三種邏輯運(yùn)算。

1．與邏輯運(yùn)算

在邏輯問題中，只有當(dāng)決定某一事件發(fā)生的所有條件同時(shí)都具備時(shí)，該事件才能發(fā)生，則該因果關(guān)系稱之為“與”邏輯，與其對應(yīng)的運(yùn)算即為與運(yùn)算。與運(yùn)算又稱為邏輯乘，運(yùn)算符號是“·”，讀作“與”。通常其符號“·”可省略。我們用圖1.4所示開關(guān)電路來說明與運(yùn)算的含義。開關(guān)A、B是與燈泡相串聯(lián)的。用F來描述燈的亮與滅，設(shè)定F=1代表燈亮；F=0代表燈滅。又規(guī)定用1代表開關(guān)閉合(即A=1,B=1），0代表開關(guān)斷開(A=0,B=0)，顯然燈亮的條件是開關(guān)A與B都閉合，否則燈滅。上述邏輯關(guān)系如用一個(gè)表達(dá)式來描述，即可寫作：圖1.4與邏輯關(guān)系F=A·B=AB

（1—4—2）式(1—4—1)是與運(yùn)算的定義式。對于n變量A1、A2、…、An的與運(yùn)算為：

F=A1·A2，…，An式(1—4—1)的邏輯關(guān)系亦可用真值表來表示，如表1.2所列。由表可見只有變量A、B均取為l，函數(shù)F才為1。這是與邏輯運(yùn)算的顯著特點(diǎn)。表1.2與邏輯關(guān)系真值表ABF000010010100由真值表可得與邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則：

0·0=00·1=01·0=01·1=12．或邏輯運(yùn)算

在邏輯問題中，當(dāng)決定某一事件發(fā)生的所有條件中有一個(gè)或一個(gè)以上的條件具備時(shí)，該事件就能發(fā)生，則該因果關(guān)系稱之為“或”邏輯，與其對應(yīng)的運(yùn)算即為“或”運(yùn)算。“或”運(yùn)算又稱為邏輯加，運(yùn)算符號是“+”，讀作“或”?；蜻\(yùn)算的含義可用圖1.5所示并聯(lián)開關(guān)電路來表述。圖中有兩個(gè)并聯(lián)的開關(guān)A、B和一個(gè)燈泡F，設(shè)F為1表示燈亮，F(xiàn)為0表示燈滅。同樣，設(shè)A、B為1分別表示開關(guān)A、B接通，A和B為0分別表示開關(guān)A、B斷開。顯然只要開關(guān)A或B接通或者A和B均接通，則燈亮，反之，只有A、B均不接通時(shí)則燈滅.這種邏輯關(guān)系亦可用一個(gè)表達(dá)式表示，

即：F=A+B

（1—4—3）圖1.5或邏輯關(guān)系返回式（1—4—3）是或運(yùn)算的基本定義式。對于n變量A1、A2、…、An的或運(yùn)算：F=A1+A2+…+An或運(yùn)算亦可用真值表來表示，表1.3所列為其真值表。由表可見，只要變量A或B任意一個(gè)取值為1，函數(shù)F的值就為1。這是或邏輯運(yùn)算的顯著特點(diǎn)。

表1.3或邏輯關(guān)系真值表ABF000011101111由真值表可得或邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則：0+0=00+1=11+0=11+1=1

3．非邏輯運(yùn)算在邏輯問題中，當(dāng)決定某事件的條件具備時(shí)，事件便不發(fā)生；而當(dāng)條件不具備時(shí)，事件一定發(fā)生。則該因果關(guān)系稱之為“非”邏輯，與其對應(yīng)的運(yùn)算即為“非”運(yùn)算，又叫反相運(yùn)算，或求補(bǔ)；其運(yùn)算符號是“—”，讀作“非”。在圖1.6所示電路中，假定開關(guān)A斷開和燈滅用0表示，開關(guān)A閉合和燈亮用1表示；很明顯，當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈不亮，而當(dāng)開關(guān)A斷開時(shí)，燈亮；所以燈F與開關(guān)A的關(guān)系為非邏輯運(yùn)算關(guān)系。即：

（1—4—4）圖1.6非邏輯關(guān)系表1.4非邏輯關(guān)系真值表AF0110表1.4所列為其真值表。由表可得非運(yùn)算的運(yùn)算法則：0=11=0此外還需指出，許多復(fù)雜的邏輯式都是由一些基本的邏輯符號組合而成的。當(dāng)三種運(yùn)算符號混合運(yùn)算時(shí)，與初等數(shù)學(xué)四則運(yùn)算一樣，也有其運(yùn)算規(guī)則。

（1）“與”和“或”混合運(yùn)算時(shí)，先“與”后“或”，并且與運(yùn)算符號可以略去。如

A·B+C·D=AB+CD，AB和CD分別先進(jìn)行“與”運(yùn)算后再相“或”。

（2）“與”、“或”、“非”混合運(yùn)算時(shí)，按先“非”、后“與”、再“或”的次序運(yùn)算。非號下包括有“與”、“或”運(yùn)算時(shí)，非號內(nèi)的“與”、“或”按(1)規(guī)則進(jìn)行。

（3）有括號時(shí)，先括號內(nèi)，后括號外，括號同非號一致時(shí)，可省掉。如返回1．4．2常用邏輯門

一、常用基本邏輯門

1．與門能完成與邏輯關(guān)系運(yùn)算的電路稱為與門電路，簡稱為與門。它有兩個(gè)或兩個(gè)以上輸入端和一個(gè)輸出端。圖1.7（a）所示為二極管分立元件組成的三輸入與門電路，圖1.7（b）為與門邏輯符號。（a）二極管分立元件組成的三輸入與門電路（b）與門邏輯符號圖1.7三輸入與門電路其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

F=ABC

（1—4—5）返回

2．或門能完成或邏輯關(guān)系運(yùn)算的電路稱為或門電路，簡稱為或門。它也有兩個(gè)或兩個(gè)以上輸入端和一個(gè)輸出端。圖1.8（a）所示為二極管分立元件組成的三輸入或門電路，圖1.8（b）為或門邏輯符號。

（a）二極管分立元件組成的三輸入或門電路（b）或門邏輯符號

圖1.8三輸入或門電路

其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

F=A+B+C

（1—4—6）3．非門能完成非邏輯關(guān)系運(yùn)算的電路稱為非門電路，簡稱為非門，非門也稱反相器。圖1.9（a）所示為一般形式分立元件的非門電路，圖1.9（b）為非門邏輯符號。a）三極管分立元件組成的非門電路（b）非門邏輯符號

圖1.9非門電路其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：

二、常用組合邏輯門

1．與非門能完成與和非兩種邏輯關(guān)系運(yùn)算的電路稱為與非門。它也有兩個(gè)或兩個(gè)以上輸入端和一個(gè)輸出端。圖1.10所示為二輸入與非門邏輯符號。其真值表如表1.5所列。圖1.10二輸入與非門邏輯符號表1.5二輸入與非門真值表ABF001011101110其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：（1—4—7）返回2．或非門能完成或和非兩種邏輯關(guān)系運(yùn)算的電路稱為或非門。或非門也有兩個(gè)或兩個(gè)以上輸入端和一個(gè)輸出端。圖1.11所示為二輸入或非門邏輯符號。其真值表如表1.6所列。圖1.11二輸入或非門邏輯符號表1.6二輸入或非門真值表ABF001010100110其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：（1—4—8）返回3．異或和同或門異或運(yùn)算是一種特殊的邏輯運(yùn)算，它的運(yùn)算符號是“⊕”。能實(shí)現(xiàn)異或運(yùn)算的邏輯器件稱為異或門。異或門有兩個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端。圖1.12所示為異或門邏輯符號。圖1.12異或門邏輯符號其真值表如表1.7所列。從真值表可以看出，當(dāng)A、B取值不同時(shí)，F(xiàn)的值為1；而當(dāng)A、B取值相同時(shí)，F(xiàn)的值為0。

表1.7異或門真值表ABF000011101110其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：（1—4—9）與異或運(yùn)算相反的運(yùn)算是同或運(yùn)算，其運(yùn)算符號是“⊙”。它的特點(diǎn)是：當(dāng)A、B取值不同時(shí)，F(xiàn)的值為0；而當(dāng)A、B取值相同時(shí)，F(xiàn)的值為1。圖1.13所示為同或門邏輯符號。圖1.13同或門邏輯符號其真值表如表1.8所列。

表1.8同或門真值表ABF001010100111其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：F=AB+AB=A⊙B

（1—4—10）不難證明，異或運(yùn)算和同或運(yùn)算之間是互為“非”的關(guān)系，即異或的非是同或；反過來同或的非是異或。返回1.4.3邏輯代數(shù)的公理、定理及規(guī)則一、公理

0·0=00·1=01·0=01·1=10+0=00+1=11+0=11+1=1上述公理可由邏輯代數(shù)三種基本運(yùn)算的定義直接得到，它是證明下面定理的根據(jù)。返回1．交換律A·B=B·AA+B=B+A2．結(jié)合律A·（B·C）=（A·B）·CA+(B+C)=(A+B)+C3．分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)4．自等律A·1=AA+0=A5．0—1律A·0=0A+1=1二、定理

6．互補(bǔ)律7．重疊律A·A=A

A+A=A8．吸收律A+A·B=A

A·（A+B）=A9．非非律10．摩根定律推廣：上述定理可以用公理來證明，也可作真值表來證明。例1.11

證明：（1）（2）表1.9例題1.11真值表001111011100101100110000證明：作真值表如表1.9所示。由表可知：（1）（2）都成立。11．幾個(gè)補(bǔ)充公式

（1）補(bǔ)吸收律（2）合并律

（3）添加項(xiàng)規(guī)則（包含律）推廣：三、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則1．代入規(guī)則對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，將其等式兩邊的所有同一邏輯變量A用同一個(gè)邏輯函數(shù)來代替，代替后的等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代人規(guī)則。代人規(guī)則的正確性是由邏輯變量和邏輯函數(shù)值的二值性保證的。因?yàn)檫壿嬜兞恐挥?和1兩種取值，而邏輯函數(shù)值也只有0和1兩種取值，所以用它替代邏輯等式中的變量A后，等式顯然仍成立。例1.12

已知A+BC=(A+B)(A+C)，設(shè)G=C+D，試證明將所有出現(xiàn)變量B的位置代之以G，則等式仍然成立。證明：因?yàn)榈仁降淖筮叴隚后為：A+GC=A+(C+D)C=A+C

等式的左邊代入G后為：(A+G)(A+C)=(A+C+D)(A+C)=A+C則有左邊=右邊所以A+GC=(A+G)(A+C)

成立。值得注意的是：使用代入規(guī)則時(shí)必須將等式中所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，否則代入后的等式將不成立。2．反演規(guī)則對任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將式中所有的“．”換成“+”，“+”換成“．”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原來邏輯函數(shù)F的反函數(shù)。這種變換規(guī)則稱為反演規(guī)則。需要說明的是:在應(yīng)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)變換前后的運(yùn)算優(yōu)先順序應(yīng)保持不變，必要時(shí)可加括號表明運(yùn)算的先后順序。

(2)

原變量換成反變量、反變量換成原變量只對單個(gè)變量有效，而對于跨越兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的長非號則保持不變。反演規(guī)則常用于求一個(gè)已知邏輯函數(shù)的反函數(shù)。例1.13

已知邏輯函數(shù),試用反演規(guī)則求其反函數(shù)。解：根據(jù)反演規(guī)則，可得：根據(jù)邏輯函數(shù)的二值性質(zhì)可知，若已知兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的反函數(shù)也相等。即，若F=Y，則有：。3．對偶規(guī)則對任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將式中所有的“．”換成“+”，“+”換成“．”，“0”換成“1”,“1”換成“0”，這樣就得到一個(gè)新的邏輯函數(shù)式F/，則F和F/，是互為對偶式。這種變換規(guī)則稱為對偶規(guī)則。同樣，在寫一個(gè)函數(shù)的對偶式時(shí)，變換前后的運(yùn)算優(yōu)先順序應(yīng)保持不變。例1.14

已知邏輯函數(shù),試求其對偶式F/。解：F/=當(dāng)邏輯函數(shù)表達(dá)式的對偶式與原函數(shù)表達(dá)式完全相等（即F=F/）時(shí)，我們稱該函數(shù)（F）為自對偶函數(shù)。例1.15

證明函數(shù)是一自對偶函數(shù)。解：F/=====F則函數(shù)是一自對偶函數(shù)。對偶規(guī)則的意義在于：若兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們的對偶式也一定相等。因此，對偶規(guī)則也適用于邏輯等式，如將邏輯等式兩邊同時(shí)進(jìn)行對偶變換，得到的對偶式仍然相等。

返回1.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式概述1.5.1

最小項(xiàng)及邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式1.5.2最大項(xiàng)及邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式1.5.3將邏輯函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的方法返回主菜單1.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式對于一個(gè)任意的邏輯函數(shù)通常有“積之和”與“和之積”兩種基本表達(dá)形式，且其表達(dá)形式并不是唯一的，如是“積之和”的形式，又稱“與—或”表達(dá)式；而則是“和之積”的形式，又稱“或—與”表達(dá)式。但一個(gè)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式卻是唯一的，邏輯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式的唯一性給用圖表方法化簡函數(shù)提供了方便，并且建立了邏輯函數(shù)與真值表的對應(yīng)關(guān)系。返回1.5.1最小項(xiàng)及邏輯函數(shù)的

最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式

一、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)

1．最小項(xiàng)定義

在一個(gè)具有n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個(gè)與項(xiàng)包含了所有n個(gè)的變量，而且每個(gè)變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個(gè)因子僅出現(xiàn)一次，那么這樣的與項(xiàng)就稱為該邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)。對于n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)共有2n個(gè)。返回例如，在三變量的邏輯函數(shù)F（A、B、C）中，它們組成的八個(gè)乘積項(xiàng)即、、、、、、、、都符合最小項(xiàng)的定義。因此，我們把這八個(gè)與項(xiàng)稱為三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最小項(xiàng)。除此之外，還有、等與項(xiàng)，都不滿足最小項(xiàng)的定義，所以，都不是三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最小項(xiàng)。2．最小項(xiàng)的性質(zhì)

表1.10列出了三變量的所有最小項(xiàng)的真值表。由該表可知最小項(xiàng)具有下列性質(zhì)：

（1）對于任意一個(gè)最小項(xiàng)，有且僅有一組變量取值使其值為1，而其余各種變量取值均使它的值為0。

（2）不同最小項(xiàng)，使其值為1的變量取值也不相同。

（3）對于變量的任意一組取值，任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積均為0。

（4）對于變量的任意一組取值，全體最小項(xiàng)的和恒為1。

表1.10量所有最小項(xiàng)真值表

ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000000000001000101000001001100000001011100000001最小項(xiàng)編號m0m1m2m3m4m5m6m7返回1返回23．最小項(xiàng)編號為了表達(dá)方便，人們通常用mi表示最小項(xiàng)，其下標(biāo)i為最小項(xiàng)的編號。編號的方法是：最小項(xiàng)中的原變量取1，反變量取0，則最小項(xiàng)取值為一組二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)便為該最小項(xiàng)的編號。如三變量最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值為100，它對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為4，因此，最小項(xiàng)的編號為m4。其余最小項(xiàng)的編號以此類推。值得注意的是，在規(guī)定n變量最小項(xiàng)的編號時(shí)，對變量的排列順序是重要的。例如，把記作m4。其中隱含了A是最高位，而C是最低位這一排列順序。三變量全體最小項(xiàng)的編號如表1.10所列。

二、最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式由最小項(xiàng)的邏輯或的形式所構(gòu)成的邏輯函數(shù)表達(dá)式稱之為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。如：

=m6+m4+m3又記為：這是一個(gè)三變量邏輯函數(shù)，其變量按（A，B，C）排列，函數(shù)本身由3個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成。上述表達(dá)式即為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。返回1．5．2最大項(xiàng)及邏輯函數(shù)的

最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式

一、邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)

1．最大項(xiàng)定義在一個(gè)具有n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個(gè)或項(xiàng)包含了所有n個(gè)的變量，而且每個(gè)變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個(gè)因子僅出現(xiàn)一次，那么這樣的或項(xiàng)就稱為該邏輯函數(shù)的一個(gè)最大項(xiàng)。對于n個(gè)變量的全部最大項(xiàng)共有2n個(gè)。返回例如，在三變量的邏輯函數(shù)F（A、B、C）中，它們組成的八個(gè)和項(xiàng)即都符合最大項(xiàng)的定義。因此，我們把這八個(gè)或項(xiàng)稱為三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最大項(xiàng)。除此之外，還有、最大項(xiàng)。等或項(xiàng)，都不滿足最大項(xiàng)的定義，都不是三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的所以，2．最大項(xiàng)的性質(zhì)邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)具有下列性質(zhì)：

（1）對于任意一個(gè)最大項(xiàng)，有且僅有一組變量取值使其值為0，而其余各種變量取值均使它的值為1。

（2）不同最大項(xiàng)，使其值為0的變量取值也不相同。

（3）對于變量的任意一組取值，任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)的和均為1。

（4）對于變量的任意一組取值，全體最大項(xiàng)的積恒為0。

3．最大項(xiàng)編號最大項(xiàng)編號用Mi表示最大項(xiàng)，其下標(biāo)i為最大項(xiàng)的編號。編號的方法是：最大項(xiàng)中的原變量取0，反變量取1，則最大項(xiàng)取值為一組二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)便為該最大項(xiàng)的編號。如三變量最大項(xiàng)對應(yīng)的變量取值為011，它對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為3，因此，最大項(xiàng)的編號為M3。其余最大項(xiàng)的編號以此類推

二、最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式

由最大項(xiàng)的邏輯與的形式所構(gòu)成的邏輯函數(shù)表達(dá)式稱之為邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。如：=M1M3M4又記為：是一個(gè)三變量邏輯函數(shù)，其變量按（A，B，C）排列，函數(shù)本身由3個(gè)最大項(xiàng)構(gòu)成。上述表達(dá)式即為邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。返回1．5．3將邏輯函數(shù)展開為

兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的方法

一、利用公式與將函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式我們通過求解下面的例題來學(xué)習(xí)該方法的具體應(yīng)用。例1.16

將函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。返回解：（1）求最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式…………將函數(shù)式變換為一般“與—或”表達(dá)式

…

運(yùn)用公式變換為最小項(xiàng)之和的形式

=m1+m3+m6+m7=（2）求最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式

=………將函數(shù)式變換為一般“或—與”表達(dá)式…運(yùn)用=M0·M2·M4·M5公式變換為最大項(xiàng)之積的形式

二、利用真值表展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式同樣，我們通過例題來學(xué)習(xí)該方法的具體步驟。例1.17

將函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。解：（1）求最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式作函數(shù)的真值表，如表1.11所示。

表1.11函數(shù)F的真值表ABCFABCF00011001001010100100110101111110=m0+m3+m4+m6由表可知：返回

（2）求最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式因?yàn)?，即：n變量的同一編號的最小項(xiàng)與最大項(xiàng)之間是互補(bǔ)的（讀者可自行證明）。又因?yàn)椋?由真值表可得)=m1+m2+m5+m7所以=M1·M2·M5·M7很明顯，每個(gè)最大項(xiàng)對應(yīng)真值表為0的某項(xiàng)。結(jié)論：

（1）利用真值表求最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：觀察真值表，找出函數(shù)F為1的各項(xiàng)，作函數(shù)對應(yīng)這些項(xiàng)的最小項(xiàng)，對于輸入變量為1，則取輸入變量本身，若輸入變量為0，則取其反變量，再取這些最小項(xiàng)之和，即為所求函數(shù)的最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式。

（2）利用真值表求最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：觀察真值表，找出函數(shù)F為0的各項(xiàng)，作函數(shù)對應(yīng)這些項(xiàng)的最大項(xiàng)，對于輸入變量為0，則取輸入變量本身，若輸入變量為1，則取其反變量，再取這些最大項(xiàng)之積，即為所求函數(shù)的最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)形式。返回1.6邏輯函數(shù)的化簡概述1.6.1邏輯函數(shù)的代數(shù)簡化法1.6.2邏輯函數(shù)的卡諾圖簡化法返回主菜單1.6邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡就是要將從實(shí)際問題中得到的復(fù)雜邏輯函數(shù)式變換成與之等效的最簡單的邏輯式,使之更趨于合理.常用的方法有代數(shù)化簡法和卡諾圖法。返回1．6．1邏輯函數(shù)的代數(shù)簡化法邏輯函數(shù)的代數(shù)簡化法又稱公式簡化法,就是靈活運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公理、定理及規(guī)則來簡化邏輯函數(shù)的一種方法。邏輯函數(shù)的代數(shù)簡化常用的方法有：1．吸收法根據(jù)A+AB=A去掉多余的“與“項(xiàng)例1.18

化簡邏輯函數(shù)

F=解：F===返回2．消去法根據(jù)消去多余的變量例1.19

化簡邏輯函數(shù)F=解：F=3．并項(xiàng)法根據(jù)去掉多余的互補(bǔ)變量例1.20

化簡邏輯函數(shù)F=解：F=4．配項(xiàng)法根據(jù)A=A（）或?qū)σ阎瘮?shù)加項(xiàng)，使之便于簡化。例1.21

化簡邏輯函數(shù)F=解F====用代數(shù)的方法化簡應(yīng)使得邏輯函數(shù)式包含的項(xiàng)數(shù)以及變量數(shù)最少為原則；對于化簡的結(jié)果，尤其較為復(fù)雜的結(jié)果，通常難于判斷是否最簡，因此我們還常常使用卡諾圖的方法來化簡邏輯函數(shù)。返回1．6．2邏輯函數(shù)的卡諾圖簡化法卡諾圖簡化法是將真值表改換為真值圖(按邏輯相鄰原則排列的方塊圖)，然后進(jìn)行求解的方法。因?yàn)槭紫忍岢鲞@種作圖方法的是范奇（Veitch)和卡諾(Karnaugh)故一般又稱為卡諾圖，簡稱為K圖。一、基本概念1．相鄰最小項(xiàng)兩個(gè)最小項(xiàng)之間有且僅有一個(gè)變量不同（一個(gè)為原變量，則另一個(gè)為反變量），其余變量均相同，則此兩個(gè)最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。例如ABC與、與等是相鄰最小項(xiàng)。2．循環(huán)碼任意兩個(gè)相鄰代碼之間有且僅有一個(gè)取值不同，其余取值均相同，這種形式的編碼稱之為循環(huán)碼，又叫格雷碼。返回

二、卡諾圖的畫法

1．卡諾圖的構(gòu)成下面以四變量F(A，B，C，D)為例說明卡諾圖的構(gòu)成（1）將n變量任意分成兩組，分別寫在圖的左上角斜線的兩側(cè)，如圖1.14所示。（2）將n變量的所有取值組合按循環(huán)碼的排列分別寫在圖的左邊和上邊(即AB按00，01，11，10；CD也按00，01，11，10這種循環(huán)碼的方式排列)，如圖1.10所示。（3）卡諾圖中2n個(gè)小方塊與n變量邏輯函數(shù)的2n個(gè)最小項(xiàng)相對應(yīng)，并以最小項(xiàng)的編號作為小方塊的編號，如圖1.14所示。

圖1.14四變量F(A，B，C，D)的卡諾圖其中m1，m4，m7，m13

與

m5

為幾何相鄰；m0與m2、m0與m8

為相對相鄰等。返回二變量F(A，B)、三變量F(A，B，C)的卡諾圖分別如圖1.15與1.16所示。

圖1.15二變量F(A，B)的卡諾圖

圖1.16三變量F(A，B，C)的卡諾圖2.邏輯函數(shù)卡諾圖的畫法將N變量全部取值組合所對應(yīng)的邏輯函數(shù)值寫入相應(yīng)的小方塊中，即可得該邏輯函數(shù)的卡諾圖。具體有如下三種方法：（1）真值表法

根據(jù)真值表，在卡諾圖的小方塊中填入相應(yīng)變量取值組合的邏輯函數(shù)值，即可得該邏輯函數(shù)的卡諾圖。例1.22

畫出邏輯函數(shù)F（A，B，C）=AB+CB的卡諾圖解：先寫出邏輯函數(shù)F（A，B，C）=AB+CB的真值表，如表1.12所示ABCFABCF00001000001010100100110101111111表1.12邏輯函數(shù)Y（A，B，C）=AB+CB的真值表據(jù)真值表可得圖1.17所示F（A，B，C）=AB+CB的卡諾圖。圖1.17邏輯函數(shù)F（A，B，C）=AB+CB的卡諾圖返回（2）化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式法

將任意一邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式，再將該邏輯函數(shù)表達(dá)式所含最小項(xiàng)在卡諾圖的對應(yīng)小方塊中填“1”，其它小方塊中填“0”

即可得該邏輯函數(shù)的卡諾圖。例1.23

畫出邏輯函數(shù)F（A，B，C）=的卡諾圖解：先將其化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式：F（A，B，C）

===再將