信號(hào)與系統(tǒng)第4章 拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析

第四章拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析4.1引言4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域4.3拉氏變換的基本性質(zhì)4.4拉普拉斯逆變換4.5用拉普拉斯變換分析法分析電路、S域模型4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻域特性4.9二階諧振系統(tǒng)的s平面分析4.10全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布4.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.12雙邊拉氏變換4.13拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

這一章開始討論連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，即用拉普拉氏變換這個(gè)工具來完成。從頻域分析系統(tǒng)有其不足之處：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，即不滿足絕對可積（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析（不能求全響應(yīng)）（3）反傅里葉變換不好求基于以上幾點(diǎn)引入了拉普拉氏變換，把頻域變成復(fù)頻域4.1引言19世紀(jì)末，英國工程師赫維賽德(O.Heaviside)發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程計(jì)算中遇到的一些基本問題。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace)為赫維賽德找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)。4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域（一）從傅里葉變換到拉普拉斯變換

對于因果信號(hào)有狄利克雷條件

f1(t)=f(t)e-σt

e-σt為收斂（衰減）因子，且f1(t)滿足絕對可積條件。則令σ+jω=s，上式可表示為F1(ω)的傅氏反變換為f(t)為原函數(shù)F(s)為象函數(shù)拉普拉斯變換式(或拉普拉斯變換對)拉氏變換L[f(t)]拉氏逆變換L-1[F(s)]注意：傅氏變換將f(t)變換為F(ω)，或作相反變換。時(shí)域中的變量t和頻域中的變量ω都是實(shí)數(shù)。

拉氏變換是將f(t)變換為F(s)，或作相反變換。這時(shí)t是實(shí)數(shù)s卻是復(fù)數(shù)。

s稱為“復(fù)頻率”。傅里葉變換建立了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系。拉氏變換則建立了時(shí)域與復(fù)頻域(s域)間的聯(lián)系。單邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換(二)從算子符號(hào)法的概念說明拉氏變換的定義(三)拉氏變換的收斂收斂域是使f(t)e-σt滿足絕對可積的σ取值范圍，或是使f(t)的單邊拉氏變換存在的σ取值范圍。

σ=σ0做收斂坐標(biāo)，是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)。穿過σ0并與虛軸jω平行的直線叫做收斂軸。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。滿足的函數(shù)為指數(shù)階函數(shù)。σ0收斂坐標(biāo)收斂軸Oσjω收斂區(qū)1、有始有終的信號(hào)：收斂坐標(biāo)落于-∞，全部s平面都屬于收斂區(qū)。2、等幅度信號(hào)收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s右半平面屬于收斂區(qū)。3、隨時(shí)間成正比的信號(hào)收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s右半平面屬于收斂區(qū)。4、按指數(shù)規(guī)律增長eat的函數(shù)收斂坐標(biāo)落于σ0=a，σ>a屬于收斂區(qū)。5、比指數(shù)函數(shù)增長得更快的函數(shù)不能找到收斂坐標(biāo)，不能進(jìn)行拉氏變換。(四)一些常用函數(shù)的拉氏變換

(1)階躍函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(3)tn

(n是正整數(shù))(4)沖激函數(shù)表4-1

常用函數(shù)單邊拉氏變換序號(hào)1234567序號(hào)891011121314

4.3拉氏變換的基本性質(zhì)(一)線性(疊加)

若

K1、K2為常數(shù)

則

例4-1求的拉氏變換F(s)。解：同理(二)原函數(shù)微分

若則為什么與0-時(shí)刻有關(guān)系？當(dāng)f(t)在t=0時(shí)刻不連續(xù)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)在0時(shí)刻有沖激信號(hào)存在，為了在拉氏變換中反映0時(shí)刻前后的變化，所以下限從0-開始。11012例：求該系統(tǒng)的全響應(yīng)，已知微分方程式例4-2已知流經(jīng)電感的電流iL(t)的拉氏變換為IL(s)，求電感的電壓vL(t)的拉氏變換。解：若(三)時(shí)域積分若則式中證：其中例4-3已知流經(jīng)電容的電流iC(t)的拉氏變換為IC(s)，求電容的電壓vC(t)的拉氏變換。解：若例4-4如圖所示電路在t=0時(shí)開關(guān)閉合，求輸出信號(hào)vC(t)。解：(3)求VC(s)的逆變換R+-ES+-C(1)列寫微分方程(2)將上式取拉氏變換(四)延時(shí)(時(shí)域平移)證：若則令例4-5求如圖所示矩形脈沖的拉氏變換。解：(五)s域平移

若

則

證：

例4-6求和的拉氏變換。

解：

已知

由s域平移定理同理

由s域平移定理(六)尺度變換證：

若

則

例4-7求，若，求

解：

或

例：如圖信號(hào)的單邊拉氏變換f1(t)11f2(t)11-1例：T/201f(t)T/201f(t)T/201f(t)(七)初值若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)

f’(t)可以進(jìn)行拉氏變換，f(t)的變換式為F(s)，則證：終值適用的條件：僅當(dāng)sF(s)在s平面的虛軸上及其右邊都為解析時(shí)(原點(diǎn)除外)，終值定理才可應(yīng)用。(八)終值若f(t)及其導(dǎo)數(shù)

f’(t)可以進(jìn)行拉氏變換，f(t)的變換式為F(s)，而且存在，則證：令s→0,兩邊取極限得當(dāng)信號(hào)

f(t)的終值存在時(shí)，才能利用它求得終值，否則將得到錯(cuò)誤的結(jié)果。而要使

f(t)的終值存在，則要求

F(s)的極點(diǎn)在左半s平面，如果

F(s)在jw

上有極點(diǎn)的話，也只能是在原點(diǎn)上的一階極點(diǎn)，其原因在于，只有滿足這種極點(diǎn)分布的信號(hào)才有終值存在。終值和初值定理常用于由直接求f(0-)和f(∞)

(九)卷積若則證：表4-2拉氏變換性質(zhì)（定理）

4.4拉普拉斯逆變換拉普拉斯反（逆）變換是將象函數(shù)F(s)變換為原函數(shù)f(t)的運(yùn)算。用定義式做比較困難，通常的方法有：（1）查表。直接利用逆變換表（2）部分分式展開（重點(diǎn)）（3）留數(shù)法(一)部分分式分解F(s)為s的有理函數(shù)時(shí)，一般形式可表示為式中,ai、bi為實(shí)常數(shù)，n、m為正整數(shù)。將分母多項(xiàng)式表示為便于分解的形式

B(s)=bn(s-p1)(s-p2)…(s-pn)式中,p1,p2,…,pn是B(s)=0方程式的根，也稱F(s)的極點(diǎn)。同樣分子多項(xiàng)式也可以表示為

A(s)=am(s-z1)(s-z2)…(s-zm)

式中,z1,z2,…,zm是A(s)=0方程式的根，也稱F(s)的零點(diǎn)。

1.m<n，F(xiàn)(s)均為單極點(diǎn)同樣,F(s)兩邊同乘(s-p2)，然后令s=p2可得第二個(gè)系數(shù)以此類推，任一極點(diǎn)pi對應(yīng)的系數(shù)為例4-8求下列函數(shù)的逆變換解：將F(s)寫成部分分式展開形式或

2.m≥n，F(xiàn)(s)均為單極點(diǎn)

例4-9求下列函數(shù)的逆變換解：用分子分母(長除法)得到或例4-10求下列函數(shù)的逆變換解：部分分式展開例4-11求下列函數(shù)的逆變換解：例4-10方法二：

3.m<n,F(s)有重極點(diǎn)設(shè)L[tne-at]=L-1例4-12求下列函數(shù)的逆變換解：部分分式展開或(二)用留數(shù)定理求逆變換s=pi為一階極點(diǎn)s=pi為k階極點(diǎn)例4-12求下列函數(shù)的逆變換解：s=0為一階極點(diǎn)s=-1為3階極點(diǎn)4.5用拉普拉斯變換分析電路、s域元件模型(一)利用拉氏變換解微分方程1.零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。得零狀態(tài)響應(yīng)為2.零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。

3.全響應(yīng)

(二)利用拉氏變換分析電路例4-13如圖所示電路，當(dāng)t<0時(shí)，開關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時(shí)開關(guān)從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)與vR(t)波形。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)解：首先求vC(t)(2)取拉氏變換(1)列寫微分方程求vR(t)(三)s域的元件模型

分別對上式進(jìn)行拉氏變換，得到不考慮起始條件若對電流求解，得到例4-15如圖所示電路，當(dāng)t<0時(shí)，開關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時(shí)開關(guān)從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)+-E+-vC(t)CRVC(s)-+I(s)解：畫出s域網(wǎng)絡(luò)模型例4-15如圖所示電路，當(dāng)t<0時(shí)，開關(guān)位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定，t=0時(shí)開關(guān)從“1”端打到“2”端，求iL(t)。-E2+-E1iL(t)21LR0R2R1+解：-E2iL(t)LR0R2++-E1iL(t)R1sLIL0(s)E2R2例

電路如圖,已知e(t)=10V；

vC(0-)=5V，

iL(0-)=4A，求i1(t)。解：分別計(jì)算零狀態(tài)、零輸入響應(yīng)。(1)零狀態(tài)響應(yīng)

(2)零輸入響應(yīng)

4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)函數(shù)在零狀態(tài)下定義為系統(tǒng)函數(shù)例4-17如圖所示在t=0時(shí)開關(guān)S閉合，接入信號(hào)源e(t)=sin(2t)，電感起始電流等于零，求電流i(t)。解：策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)是同一端口2)策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)1)策動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳輸函數(shù))：激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口2)轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)1)轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)3)轉(zhuǎn)移電壓比函數(shù)4)轉(zhuǎn)移電流比函數(shù)n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為(1)由微分方程求系統(tǒng)函數(shù)零狀態(tài)下拉氏變換系統(tǒng)函數(shù)為(2)電路系統(tǒng)舉例說明用s域等效模型，可以得到網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。如圖所示電路系統(tǒng)，輸入為v1(t)，輸出為v2(t)，試求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。解：畫零狀態(tài)s域模型圖4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性(一)H(s)零、極點(diǎn)分布與h(t)波形特性的對應(yīng)極點(diǎn)：H(s)分母多項(xiàng)式之根。零點(diǎn)：H(s)分子多項(xiàng)式之根。為有限值s=p1處為一階極點(diǎn)。直到K=n時(shí)才為有限值s=p1處為n階極點(diǎn)。的極點(diǎn)即零點(diǎn)。的零點(diǎn)即極點(diǎn)。(二階)零點(diǎn)：(一階)(一階)(一階)(一階)(一階)(一階)極點(diǎn)：一階極點(diǎn)二階極點(diǎn)一階零點(diǎn)s平面上的零極點(diǎn)t平面上的波形s平面上的零極點(diǎn)t平面上的波形例

已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求出系統(tǒng)的零、極點(diǎn)并繪出零、極點(diǎn)圖。解：MATLAB程序及結(jié)果如下：a=［161112］;%分母多項(xiàng)式系數(shù)b=［51825］;%分子多項(xiàng)式系數(shù)r1=roots(a)%求極點(diǎn)r2=roots(b)%求零點(diǎn)pzmap(b,a)%系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖r1=-4.0000-1.0000+1.4142i-1.0000-1.4142ir2=-1.8000+1.3266i-1.8000-1.3266iH(s)與h(t)是一對拉氏變換對,所以只要知道H(s)在s平面上的零、極點(diǎn)分布情況,就可以知道系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的變化規(guī)律。假設(shè)式中所有極點(diǎn)均為單極點(diǎn)且m<n,利用部分分式展開

pi=σi+jωi若極點(diǎn)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)，Hi(s)=1/s，沖激響應(yīng)就為階躍函數(shù)，h(t)=u(t)。若極點(diǎn)位于s平面實(shí)軸上，則沖激響應(yīng)具有指數(shù)函數(shù)形式。虛軸上的共軛極點(diǎn)給出等幅振蕩。落于s左半平面內(nèi)的共軛極點(diǎn)對應(yīng)于衰減振蕩，落于s右半平面內(nèi)的共軛極點(diǎn)對應(yīng)于增幅振蕩。高階極點(diǎn)：(1)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)的二階或三階極點(diǎn)分別給出時(shí)間函數(shù)為t或t2/2(2)實(shí)軸上的二階極點(diǎn)給出與指數(shù)函數(shù)的乘積。(3)對于虛軸上的二階共軛極點(diǎn)情況。s平面上的零極點(diǎn)t平面上的波形若H(s)極點(diǎn)落于左半面，則h(t)波形為衰減形式；若H(s)極點(diǎn)落于右半面，則h(t)波形為增長形式；落于虛軸上的一階極點(diǎn)對應(yīng)的h(t)成等幅振蕩或階躍；虛軸上的二階極點(diǎn)將使h(t)呈增長形式。按照h(t)呈現(xiàn)衰減或增長的兩種情況將系統(tǒng)劃分為穩(wěn)定系統(tǒng)與非穩(wěn)定系統(tǒng)兩大類型。系統(tǒng)穩(wěn)定性可以根據(jù)H(s)極點(diǎn)出現(xiàn)于左半或右半平面判斷。(二)H(s)、

E(s)極點(diǎn)分布與自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特征的對應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)——固有頻率例4-19電路如圖所示，輸入信號(hào)求輸出電壓v2(t)，并指出v2(t)中的自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)解：自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻域特性頻響特性：是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號(hào)頻率的變化情況。高通濾波器低通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)頻率特性例4-20研究圖中所示RC高通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性解：當(dāng)ω=0時(shí)，N1=0，所以,當(dāng)時(shí)，當(dāng)ω增大時(shí)，導(dǎo)致N1,M1增大，且趨于|H(jω)|；當(dāng)ω→∞時(shí)，N1≈M1→∞，→|H(jω)|≈1。相頻特性：φ(ω)=ψ1-θ1≈0例4-21研究圖中所示RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性解：當(dāng)ω=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)ω增大時(shí)，導(dǎo)致N1,M1增大，且趨于|H(jω)|；當(dāng)ω→∞時(shí)，M1→∞，→|H(jω)|≈0。

相頻特性：φ(ω)=-θ1≈90°4.9二階諧振系統(tǒng)的s平面分析1.全通系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)幅頻特性在整個(gè)頻域內(nèi)是常數(shù)時(shí)，其幅度特性可無失真?zhèn)鬏?，這樣的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)。全通系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)對jω軸成鏡像對稱。式中,H0為常數(shù)。4.10全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布全通系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布示意圖

2.最小相移系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用中，會(huì)遇到在幅頻特性相同情況下，希望得到系統(tǒng)的相移（時(shí)延）最小，這樣的系統(tǒng)稱為最小相移系統(tǒng)。本書不加證明給出最小相移系統(tǒng)的條件為：全部零、極點(diǎn)在s平面的左半平面(零點(diǎn)可在jω軸上)，不滿足這一條件的為非最小相移系統(tǒng)。

最小相移系統(tǒng)與非最小相移系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布示意4.11LTI連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的性質(zhì)之一，與激勵(lì)信號(hào)無關(guān)。穩(wěn)定系統(tǒng)也是