【數(shù)學(xué)】遼寧省沈陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）試題（解析版）

遼寧省沈陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一?選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由解得，所以.故選：C.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題知，切線方程為，即，故選：B.4.已知單位向量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，又為單位向量，，，又，.故選：B.5.已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（）A8 B.9 C.10 D.100【答案】C【解析】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，則由題知，每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，有，則是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，，所以，得.故選：C.6.如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:第一類，先向北走再往東走的情況，即第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時(shí)有種方法，第二類，先向東走再往北走的情況上右上，此時(shí)共有種方法.故總的方法有24種，故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，進(jìn)而可得，結(jié)合輔助角公式得，則，故選：B.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以且，所以且，即且，所以，又，所以，綜上所述，，故選：D二?多選題9.下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由題知解得，A選項(xiàng)正確；所以，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）A.實(shí)軸長(zhǎng)為4 B.雙曲線為等軸雙曲線C.離心率為 D.漸近線方程為【答案】ABD【解析】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.對(duì)于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長(zhǎng)為4，則，，符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，可解得，符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，故選：ABD.11.如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.12.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別在4個(gè)互相平行的平面內(nèi)，每個(gè)平面內(nèi)至少有一個(gè)頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，則該正方體的棱長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】設(shè)該正方體為，且其棱長(zhǎng)為，若考慮4個(gè)平面中最中間的兩個(gè)平面，共有兩種情況.①若中間的兩個(gè)平面為平面和平面，如圖1所示，則過(guò)作截面，截面圖如圖2所示，其中分別為中點(diǎn)，則，設(shè)相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可知，解得；②若中間的兩個(gè)平面如圖3所示，過(guò)作截面，截面圖如圖4所示，其中分別為中點(diǎn)，則，設(shè)相鄰兩平面間距離即為到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為到的距離，則，解得；故選：BD.第II卷（非選擇題）三?填空題13.的展開式中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為__________.【答案】20【解析】此二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，，則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為常數(shù)項(xiàng)，故常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故答案為：20.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，則__________.【答案】3【解析】由題知，設(shè)，其中，則由于點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，，故答案為：3.15.的一個(gè)充分不必要條件是__________.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)闀r(shí)，由可得,故的一個(gè)充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）16.已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】是球面上不同的三點(diǎn)，不共線，故平面截球面得到的是一個(gè)圓，記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過(guò)球心時(shí)，.在半徑為的圓中，對(duì)于任意的弦，過(guò)作于,由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時(shí)，取最小值，則的最小值為，當(dāng)時(shí)，取最小值，又的最大值為1，故所求最小值為.故答案為：四?解答題17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：.（1）解：設(shè)的公比為，由知，，由得，.（2）證明：由題知，所以，.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求證：；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.（1）證明：由余弦定理知，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以或（舍），所?（2）解：由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又因?yàn)?，所以，所?19.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若平面，求的值；（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：過(guò)作直線于，連接.由題知，，即，又平面,平面，又平面，，即（2）解：方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以為原點(diǎn)，以的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，以的方向分別為軸，軸，的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則.平面.為中點(diǎn)，由題知設(shè)，，，又在中，，所以.方法二：平面.設(shè)，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.（3）解：由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令則，，平面與平面所成角的余弦值為.20.某城市有甲、乙兩個(gè)網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡(jiǎn)稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對(duì)甲，乙兩個(gè)公司的乘車費(fèi)用，等待時(shí)間，乘車舒適度等因素的評(píng)價(jià)，得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：②選擇甲公司的用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的頻率為；③選擇甲公司的用戶對(duì)乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)乘車舒適度滿意的頻率為；④選擇甲公司的用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意的頻率為.將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對(duì)等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，并比較用戶對(duì)哪個(gè)因素滿意的概率最大，對(duì)哪個(gè)因素滿意的概率最小.（2）若已知某位用戶對(duì)乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個(gè)公司的網(wǎng)約車出行？并說(shuō)明理由.（1）解：設(shè)事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對(duì)等待時(shí)間滿意，事件用戶對(duì)乘車舒適度滿意，事件用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意.則，，所以，用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的概率最大，對(duì)乘車費(fèi)用滿意的概率最小.（2）解：由題知，，，所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.21.已知如圖，點(diǎn)為橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線不經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），直線分別交直線于點(diǎn).求證：四邊形為平行四邊形.（1）解：由題知解得.故橢圓的方程為.（2）證明：方法一：顯然直線不能水平，故設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，令得，.所以，令，得.故直線方程為，直線方程為.由得，將中換成得.，為線段中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形.方法二：設(shè).直線方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為，此時(shí)，直線方程的為，由得，同理，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由得.令得，由韋達(dá)定理得.將代入得直線的方程為由得同理可得.，，綜上所述，為線段中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形.22.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若與為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由于，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，令，解得，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)不