矩陣分析課件

－矩陣與矩陣的Jordan標準形矩陣的基本概念定義：設為數域上的多項式，則稱

為多項式矩陣或矩陣。定義

如果矩陣中有一個階子式不為零，而所有階子式(如果有的話)全為零，則稱的秩為，記為零矩陣的秩為0。定義

一個階矩陣稱為可逆的，如果有一個階矩陣，滿足這里是階單位矩陣。稱為矩陣的逆矩陣，記為。定理

一個階矩陣可逆的充要必要是一個非零的常數。定義下列各種類型的變換，叫做矩陣的初等變換：矩陣的任二行(列)互換位置；非零常數乘矩陣的某一行(列)；矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)上去，其中是的一個多項式。對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換便得相應得三種矩陣得初等矩陣

定理

對一個的矩陣的行作初等行變換，相當于用相應的階初等矩陣左乘。對的列作初等列變換，相當于用相應的階初等矩陣右乘。定義如果經過有限次的初等變換之后變成，則稱與等價，記之為定理

與等價的充要條件是存在兩個可逆矩陣與，使得

矩陣Smith標準形的存在性

定理

任意一個非零的型的矩陣都等價于一個對角矩陣，即

其中是首項系數為1的多項式且稱這種形式的矩陣為的Smith標準形。稱為的不變因子。例1將其化成Smith標準形。解：例2將其化成Smith標準形。解：例3將其化為Smith標準形。解：將其化為Smith標準形。例4解：矩陣標準形的唯一性定義：為一個矩陣且對于任意的正整數，，必有非零的階子式，的全部階子式的最大公因式稱為的階行列式因子。顯然，如果，則行列式因子一共有個。例1

求的各階行列式因子。解：由于，所以。顯然而且其余的7各2階子式也都包含作為公因子，所以另外注意：觀察三者之間的關系。定理：等價（相抵）矩陣有相同的各階行列式因子從而有相同的秩。設矩陣的Smith標準形為容易計算上面的標準形的各階行列式因子為顯然有：由于與上面的Smith標準形具有相同的各階行列式因子，所以的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定理：的Smith標準形是唯一的。例1

求下列矩陣的Smith標準形。解：（1）容易計算出（2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯然下面看階行列式因子。有一個階子式要注意，即容易計算出從而(3)定理

矩陣與等價的充要條件是對于任何的，它們的階行列式因子相同。定理

矩陣與等價的充要條件是與有相同的不變因子。與一般的數字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論矩陣可逆的充要條件為與單位矩陣等價。推論矩陣可逆的充要條件為可以表示成一系列初等矩陣的乘積。初等因子和矩陣的相似設矩陣的不變因子為在復數域內將它們分解成一次因式的冪的乘積：其中是互異的復數，是非負整數。因為，所以滿足如下關系定義在上式中，所以指數大于零的因子稱為矩陣的初等因子例如果矩陣的不變因子為則的初等因子為例如果矩陣的秩為4，其初等因子為求的Smith標準形。解：首先求出的不變因子從而的Smith標準形為定理階矩陣與等價的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。定理設矩陣為準對角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：定理若矩陣則各個初等因子的全體就是的全部初等因子。例1

求矩陣的初等因子，不變因子與標準形。解：記那么對于，其初等因子為由上面的定理可知的初等因子為因為的秩為4，故的不變因子為因此的Smith標準形為例2

判斷下面兩個矩陣是否等價？例3

求下面矩陣不變因子例4

求下列矩陣的行列式因子與不變因子數字矩陣的相似與矩陣的等價定理：設是兩個階的數字矩陣，那么與相似的充分必要條件為它們的特征矩陣與等價。定義：對于數字矩陣，我們稱的不變因子為的不變因子，稱的初等因子為的初等因子。

對于任何一個數字矩陣所以，于是可得下面兩個定理定理：兩個同階的方陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。定理：兩個同階的方陣相似的充分必要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。例設，證明：（1）階矩陣與相似；（2）階矩陣與不相似。

矩陣的Jordan標準形定義：稱階矩陣為Jordan塊。設為Jordan塊，稱準對角形矩陣為Jordan標準形矩陣。由前面的例題和定理可知Jordan塊的初等因子為，從而Jordan標準形矩陣的初等因子為于是可以得到下面的定理定理：設的初等因子為則，這里其中我們稱是矩陣的Jordan標準形。特別地，我們有定理：可以對角化的充分必要條件是的初等因子都是一次因式。例1

求矩陣的Jordan標準形。解：先求出的初等因子。對運用初等變換可以得到所以的初等因子為故的標準形為或例2

求矩陣的Jordan標準形。解：先求出的初等因子。對運用初等變換可以得到所以的初等因子為故的Jordan標準形為或求Jordan標準形的另一種方法：特征矩陣秩的方法.具體操作步驟：（1）先求出該矩陣的特征多項式及其特征值（2）其Jordan標準形的主對角線上都是的特征值，并且特征值在主對角線上出現的次數等于作為特征根的重數。對于每個特征值，求出以它為主對角元的各級Jordan塊的數目，首先求出

那么以為主對角元的Jordan塊的總數是這里為該矩陣的階數，而以為主對角元的級Jordan塊的數目是依次先求出直至滿足條件為止。（3）根據第二步求出的各級Jordan塊的數目，就可以寫出的一個Jordan標準形。例1

用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標準形。解：先求出的特征多項式及其特征值。對于特征值，它是的1重根，從而在的Jordan標準形的主對角線上出現一次，因此中主對角元為1的Jordan塊只有一個且它為一階的。對于特征值，先求

所以從而特征值是的兩重根，從而在的Jordan標準形的主對角線上出現兩次，因此中主對角元為3的Jordan塊只有一個且它為二階的。故的標準形為或例2

用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標準形。解：首先求出其特征值，顯然其特征多項式為所以為的4重根，從而在的Jordan標準形的主對角線上出現四次，下面計算中主對角元為1的Jordan塊的數目，先計算，容易得到那么中主對角元為的Jordan塊數是由此立即可得其Jordan標準形為如何求相似變換矩陣？

設階方陣的Jordan標準形為,則存在可逆矩陣使得，稱為相似變換矩陣。對于相似變換矩陣的一般理論我們不作過多的討論，只通過具體的例題說明求的方法。例1

求方陣的Jordan標準形及其相似變換矩陣。解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：故的初等因子為從而的Jordan標準形為再求相似變換矩陣：設所求矩陣為，則，對于按列分塊記為于是有從而可得整理以后可得三個線性方程組前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎解系：可以取，但是不能簡單地取，這是因為如果選取不當會使得第三個非齊次線性方程組無解。由于的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應該取使得第三個非齊次方程有解，即其系數矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計算出其系數矩陣的秩為1，從而應該使得增廣矩陣的秩也為1。即容易看出只需令就會使得上述矩陣的秩為1，于是再由第三個方程解出一個特解為，那么所求相似變換矩陣為例2

求方陣的Jordan標準形及其相似變換矩陣。解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：故的初等因子為從而的Jordan標準形為再求相似變換矩陣：設所求矩陣為，則，對于按列分塊記為于是有從而可得整理以后可得三個線性方程組前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎解系：可以取，但是不能簡單地取，這是因為如果選取不當會使得第三個非齊次線性方程組無解。由于的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應該取

使得第三個非齊次方程有解，即其系數矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計算出其系數矩陣的秩為1，從而應該使得增廣矩陣的秩也為1。即容易看只要就會使得上述增廣矩陣的秩為1。令，于是再由第三個方程解出一個特解為，那么所求相似變換矩陣為從而有一般地，設，則存在階可逆矩陣使得其中為Jordan塊，記這里那么有記，又可得注意：是矩陣的對應于特征值的特征向量，特征向量的選取應該保證特征向量可以求出，同樣特征向量的選取應該保證特征向量可以求出，依此類推，并且使得線性無關。Jordan標準形的某些應用例1

對于方陣求。解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：故的初等因子為從而的Jordan標準形為再求相似變換矩陣且，那么按照前面例題的方式，容易計算出從而例2

求解常系數線性微分方程組解：令那么此方程組可表示成由前面的例題可知存在使得作線性替換從而可得整理即得方程首先得到兩個很顯然的解然后再解第三個方程其解為這樣得到即其中為任意常數。例3

設為數域上的階方陣且滿足，證明：與對角矩陣

相似。證明：設的Jordan標準形為即有可逆矩陣使得由于，所以有從而即因此，只有當為一階矩陣時上面的矩陣等式才成立且，所以有這說明為一個對角矩陣且主對角線上的元素只能為1或0，適當地調換主對角線上的元素次序可以得到方陣此矩陣仍然與相似。例4

設為數域上的階方陣且存在正整數使得，證明：與對角矩陣相似且主對角線上的元素均為次單位根。證明：設的Jordan標準形為即有可逆矩陣使得由于，所以有從而有因此，只有當為一階矩陣時上面的矩陣等式才成立，這樣有，這表明為對角矩陣，所以與對角矩陣相似。例5

試寫出Jordan標準形均為的兩個矩陣。解答：這里為任意的非零數。

內積空間，正規(guī)矩陣與H-陣定義：設是實數域上的維線性空間，對于中的任意兩個向量按照某一確定法則對應著一個實數，這個實數稱為與的內積，記為，并且要求內積滿足下列運算條件：這里是中任意向量，為任意實數，只有當時，我們稱帶有這樣內積的維線性空間為歐氏空間。例1

在中，對于規(guī)定容易驗證是上的一個內積，從而成為一個歐氏空間。如果規(guī)定容易驗證也是上的一個內積，這樣又成為另外一個歐氏空間。例2

在維線性空間中，規(guī)定容易驗證這是上的一個內積，這樣對于這個內積成為一個歐氏空間。例3

在線性空間中，規(guī)定容易驗證是上的一個內積，這樣對于這個內積成為一個歐氏空間。定義：設是復數域上的維線性空間，對于中的任意兩個向量按照某一確定法則對應著一個復數，這個復數稱為與的內積，記為，并且要求內積滿足下列運算條件：這里是中任意向量，為任意復數，只有當時，我們稱帶有這樣內積的維線性空間為酉空間。歐氏空間與酉空間通稱為內積空間。例1設是維復向量空間，任取規(guī)定容易驗證是上的一個內積，從而成為一個酉空間。例2設表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復值函數組成的線性空間，定義容易驗證是上的一個內積，于是便成為一個酉空間。例3

在維線性空間中，規(guī)定其中表示中所有元素取共軛復數后再轉置，容易驗證是上的一個內積，從而連同這個內積一起成為酉空間。內積空間的基本性質：歐氏空間的性質：酉空間的性質：定義：設是維酉空間，為其一組基底，對于中的任意兩個向量那么與的內積令稱為基底的度量矩陣，而且定義：設，用表示以的元素的共軛復數為元素組成的矩陣，記則稱為的復共軛轉置矩陣。不難驗證復共軛轉置矩陣滿足下列性質：定義：設,如果，那么稱為Hermite矩陣；如果，那么稱為反Hermite矩陣。例判斷下列矩陣是H-陣還是反H-陣。（5）實對稱矩陣（6）反實對稱矩陣（7）歐氏空間的度量矩陣（8）酉空間的度量矩陣內積空間的度量定義：設為酉（歐氏）空間，向量的長度定義為非負實數例在中求下列向量的長度解：根據上面的公式可知一般地，我們有:對于中的任意向量其長度為這里表示復數的模。定理：向量長度具有如下性質當且僅當時，例1：在線性空間中，證明例2設表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復值函數組成的線性空間，證明：對于任意的，我們有定義：設為歐氏空間，兩個非零向量的夾角定義為于是有定理：因此我們引入下面的概念;定義：在酉空間中，如果，則稱與正交。定義：長度為1的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向量，向量總是單位向量，稱此過程為單位化。標準正交基底與Schmidt正交化方法定義：設為一組不含有零向量的向量組，如果內的任意兩個向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。定義：如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為標準的正交向量組。例

在中向量組與向量組都是標準正交向量組。定義：在維內積空間中，由個正交向量組成的基底稱為正交基底；由個標準的正交向量組成的基底稱為標準正交基底。注意：標準正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現這一問題。定理：向量組為正交向量組的充分必要條件是

;向量組為標準正交向量組的充分必要條件是定理：正交的向量組是一個線性無關的向量組。反之，由一個線性無關的向量組出發(fā)可以構造一個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。Schmidt正交化與單位化過程:

設為維內積空間中的個線性無關的向量，利用這個向量完全可以構造一個標準正交向量組。第一步正交化容易驗證是一個正交向量組。第二步單位化顯然是一個標準的正交向量組。例1

運用正交化與單位化過程將向量組化為標準正交向量組。解：先正交化再單位化那么即為所求的標準正交向量組。例2求下面齊次線性方程組其解空間的一個標準正交基底。解：先求出其一個基礎解系下面對進行正交化與單位化：即為其解空間的一個標準正交基底。

酉變換與正交變換定義：設為一個階復矩陣，如果其滿足則稱是酉矩陣，一般記為設為一個階實矩陣，如果其滿足則稱是正交矩陣，一般記為例：是一個正交矩陣是一個正交矩陣是一個正交矩陣（5）設且，如果則是一個酉矩陣。通常稱為Householder矩陣。是一個酉矩陣酉矩陣與正交矩陣的性質：設，那么設，那么定理：設，是一個酉矩陣的充分必要條件為的個列（或行）向量組是標準正交向量組。定義：設是一個維酉空間，是的一個線性變換，如果對任意的都有則稱是的一個酉變換。定理：設是一個維酉空間，是的一個線性變換，那么下列陳述等價：（1）是酉變換；（3）將的標準正交基底變成標準正交基底；（4）酉變換在標準正交基下的矩陣表示為酉矩陣。注意：關于正交變換也有類似的刻劃。

冪等矩陣定義：設，如果滿足則稱是一個冪等矩陣。例是一個分塊冪等矩陣。

冪等矩陣的一些性質：設是冪等矩陣，那么有（1）都是冪等矩陣；（2）（3）（4）的充分必要條件是（5）定理：設是一個秩為的階矩陣，那么為一個冪等矩陣的充分必要條件是存在使得推論：設是一個階冪等矩陣，則有定義：設為一個維標準正交列向量組，那么稱型矩陣為一個次酉矩陣。一般地將其記為定理：設為一個階矩陣，則的充分必要條件是存在一個型次酉矩陣使得其中。引理：的充分必要條件是證明：設，那么必要性：如果為一個維標準正交列向量組，那么充分性：設，那么由

，可得即這表明是一個維標準正交列向量組。定理的證明：必要性：因，故有個線性無關的列向量，將這個列向量用Schmidt方法得出個兩兩正交的單位向量，以這個向量為列構成一個型次酉矩陣

。注意到的個列向量都可以由的個列向量線性表出。即如果那么可得其中，由于向量組的秩為，所以的秩為。下面證明。由可得，即注意到，所以即因為，所以，這樣得到于是充分性：若，則Schur引理與正規(guī)矩陣定義：設，若存在

，使得則稱酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一個階復矩陣酉相似于一個上(下)三角矩陣。證明：用數學歸納法。的階數為1時定理顯然成立。現設的階數為時定理成立，考慮的階數為時的情況。取階矩陣的一個特征值，對應的單位特征向量為，構造以為第一列的階酉矩陣，因為構成的一個標準正交基，故，因此其中是階矩陣，根據歸納假設，存在階酉矩陣滿足(上三角矩陣)令那么注意:等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣的全部特征值.定理(Schur不等式):設為矩陣的特征值,那么例:

已知矩陣試求酉矩陣使得為上三角矩陣.解:首先求矩陣的特征值所以為矩陣的三重特征值.當時,有單位特征向量再解與其內積為零的方程求得一個單位解向量再解與內積為零的方程組求得一個單位解向量取計算可得令再求矩陣的特征值所以為矩陣的二重特征值.當時,有單位特征向量再解與其內積為零的方程求得一個單位解向量取計算可得令于是有則矩陣即為所求的酉矩陣.

正規(guī)矩陣定義:設,如果滿足那么稱矩陣為一個正規(guī)矩陣.設,如果同樣滿足那么稱矩陣為一個實正規(guī)矩陣.例:

(1)

為實正規(guī)矩陣

(2)其中是不全為零的實數,容易驗證這是一個實正規(guī)矩陣.(3)這是一個正規(guī)矩陣.(4)H-陣,反H-陣,正交矩陣,酉矩陣,對角矩陣都是正規(guī)矩陣.正規(guī)矩陣的性質與結構定理引理1:設是一個正規(guī)矩陣,則與酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理2:設是一個正規(guī)矩陣,且又是三角矩陣,則必為對角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結構定理定理:設,則是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個酉矩陣使得其中是矩陣的特征值.推論1:階正規(guī)矩陣有個線性無關的特征向量.推論2:正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量彼此正交.例1:

設求正交矩陣使得為對角矩陣.解:先計算矩陣的特征值其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系現在將單位化并正交化,得到兩個標準正交向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量將這三個標準正交向量組成矩陣則矩陣即為所求正交矩陣且有例2:

設求酉矩陣使得為對角矩陣.解:先計算矩陣的特征值其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系現在將單位化,得到一個單位向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量將這三個標準正交向量組成矩陣則矩陣即為所求酉矩陣且有例3

證明:(1)H-矩陣的特征值為實數;H-矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反H-矩陣的特征值為零或純虛數.(3)酉矩陣的特征值模長為1.定理:

設是正規(guī)矩陣,則

(1)是H-陣的充要條件是的特征值為實數.(2)是反H-陣的充要條件是的特征值的實部為零.(3)是U-陣的充要條件是的特征值的模長為1.

注意:

正規(guī)矩陣絕不僅此三類.例4:設是一個反H-陣,證明:是U-陣.證明:根據U-陣的定義由于是反H-陣,所以,這樣于是可得這說明為酉矩陣.例5:設是一個階H-陣且存在自然數使得,證明:.證明:由于是正規(guī)矩陣,所以存在一個酉矩陣使得于是可得從而這樣即

Hermite二次型(Hermite二次齊次多項式)Hermite矩陣的基本性質引理:

設,則

(1)都是H-陣.(2)是反H-陣.(3)如果是H-陣,那么也是H-陣,

為任意正整數.(4)如果是可逆的H-陣,那么也是可逆的H-陣.(5)如果是H-陣(反H-陣),那么是反H-矩陣(H-陣),這里為虛數單位.(6)如果都是H-陣,那么也是H-陣,這里均為實數.(7)如果都是H-陣,那么也是H-陣的充分必要條件是定理:

設,則

(1)是H-陣的充分必要條件是對于任意的是實數.(2)是H-陣的充分必要條件是對于任意的階方陣為H-陣.H-陣的結構定理定理:設,則是H-陣的充分必要條件是存在一個酉矩陣使得其中,此定理經常敘述為:H-陣酉相似于實對角矩陣.推論:實對稱陣正交相似于實對角矩陣.

例:設為一個冪等H-陣,則存在酉矩陣使得證明:由于為一個H-陣,所以存在酉矩陣使得又由于為一個冪等H-陣,從而

或將1放在一起,將0放在一起,那么可找到一個酉矩陣使得這里為矩陣的秩.Hermite二次型(Hermite二次齊次多項式)定義:由個復變量,系數為復數的二次齊次多項式稱為Hermite二次型,這里如果記那么上面的Hermite二次型可以記為稱為Hermite二次型對應的矩陣

,并稱的秩為Hermite二次型的秩.對于Hermite二次型作可逆的線性替換則這里Hermite二次型中最簡單的一種是只含有純的平方項無交叉項的二次型我們稱這種形狀的Hermite二次型為標準形的Hermite二次型.定理:

對于任意一個Hermite二次型必存在酉線性替換可以將Hermite二次型化為標準形其中是H-矩陣的特征值.進一步,我們有定理:

對于Hermite二次型必存在可逆的線性替換可以將Hermite二次型化為其中.我們稱上面的標準形為Hermite二次型的規(guī)范形.例:

寫出下面Hermite二次型的矩陣表達式,并用酉線性替換將其化為標準形.解:

正定Hermite二次型與正定Hermite矩陣定義:

對于給定的Hermite二次形如果對于任意一組不全為零復數都有則稱該Hermite二次形為正定的(半正定的),并稱相應的H-矩陣為正定的(半正定的).

例:

判斷下列Hermite二次形的類別

與正定的實二次形一樣,關于正定的Hermite二次形我們有定理:

對于給定的Hermite二次形下列敘述是等價的(1)是正定的

(2)對于任何階可逆矩陣都有為正定矩陣

(3)的個特征值都大于零

(4)存在階可逆矩陣使得

(5)存在階可逆矩陣使得

(6)存在正線上三角矩陣使得,且此分解是唯一的.例1:

設是一個正定的H-陣,且又是酉矩陣,則證明:

由于是一個正定H-陣,所以必存在酉矩陣使得由于又是酉矩陣,所以這樣必有,從而例2:

設是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:與的特征值實部為零.

證明:

設為矩陣的任意一個特征值,那么有.由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得將其代入上面的特征多項式有這說明也是矩陣的特征值.另一方面注意矩陣為H-反陣,從而實部為零.同樣可以證明另一問.例3:

設是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:是可逆矩陣.證明:

由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得這表明是可逆的.于是另一方面注意矩陣仍然為正定H-陣,而矩陣為H-反陣,由上面的例題結論可知矩陣的特征值實部為零,那么矩陣的特征值中不可能有零,從而定理:

對于給定的Hermite二次形下列敘述是等價的:

(1)是半正定的(2)對于任何階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)的個特征值全是非負的存在階可逆矩陣使得(5)存在秩為的階矩陣使得定理:

設是正定(半正定)Hermite矩陣,那么存在正定(半正定)Hermite矩陣使得例1:

設是一個半正定的H-陣且證明:證明:

設為的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有例2:

設是一個半正定的H-陣且是一個正定的H-陣,證明:證明:

由于是一個正定的H-陣,所以存在可逆矩陣使得這樣有注意矩陣仍然是一個半正定的H-陣,有上面的例題可知從而例3:

證明：（1）半正定H-矩陣之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩陣與正定H-陣之和和是正定的;證明：設都是半正定H-陣，那么二者之和仍然是一個H-陣，其對應的Hermite二次型為其中由于都是半正定H-矩陣，所以對于任意一組不全為零的復數我們有這說明為一個半正定H-陣。類似地，可以證明另外一問。例4:

設都是階正定H-陣，則的根全為正實數。證明：因為是正定的，所以存在可逆矩陣使得另一方面注意到是一個正定H-陣，從而有的根全為正實數。又由于故的根全為正實數。定理:

設是一個（半）正定H-陣，那么必存在唯一的一個（半）正定H-陣，使得

Hermite矩陣偶在復合同（復相合）下的標準形例：設均為階Hermite-陣,且又是正定的，證明必存在使得與同時成立，其中是與無關的實數。證明：由于是正定H-陣，所以存在使得又由于也是H-陣，那么存在使得其中是H-陣的個實特征值。

如果記，則有下面證明個實特征值與無關。令，那么是特征方程的特征根。又由于因此是方程的根。它完全是由決定的與無關。由此可以得到下面的H-陣偶標準形定理：定理：對于給定的兩個二次型其中是正定的，則存在非退化的線性替換可以將同時化成標準形其中是方程的根，而且全為實數。定義：設均為階Hermite-陣,且又是正定的，求使得方程有非零解的充分必要條件是關于的次代數方程方程成立。我們稱此方程是相對于的特征方程。它的根稱為相對于的廣義特征值。將代入到方程中所得非零解向量稱為與相對應的廣義特征向量。廣義特征值與廣義特征向量的性質;命題：（1）有個廣義特征值；（2）有個線性無關的廣義特征向量，即（3）這個廣義特征向量可以這樣選取，使得其滿足其中為Kronecker符號。

矩陣的分解

這章我們主要討論矩陣的五種分解：矩陣的滿秩分解，正交三角分解，奇異值分解，極分解，譜分解。

矩陣的滿秩分解定理：設，那么存在使得使得其中為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣。我們成此分解為矩陣的滿秩分解。證明：假設矩陣的前個列向量是線性無關的，對矩陣只實施行初等變換可以將其化成即存在使得于是有其中

如果的前列線性相關，那么只需對作列變換使得前個列是線性無關的。然后重復上面的過程即可。這樣存在且滿足

從而其中例：分別求下面三個矩陣的滿秩分解解：（1）對此矩陣只實施行變換可以得到由此可知，且該矩陣第一列，第三列是線性無關的。選取同樣，我們也可以選取解：（2）對此矩陣只實施行變換可以得到所以，且此矩陣的第三，第四，第五列任意一列都是線性無關的，所以選取哪一列構成列滿秩矩陣均可以。選取也可以選取解：（3）對此矩陣只實施行變換可以得到所以，且容易看出此矩陣的第二列和第四列是線性無關的，選取

由上述例子可以看出矩陣的滿秩分解形式并不唯一。一般地我們選取階梯型矩陣主元所在的列對應的列向量構成列滿秩矩陣，將階梯型矩陣全為零的行去掉后即可構成行滿秩矩陣。但是不同的分解形式之間有如下聯(lián)系：定理：如果均為矩陣的滿秩分解，那么（1）存在矩陣滿足（2）

矩陣的正交三角分解例：設，那么可唯一地分解為或其中，是正線上三角矩陣，是正線下三角矩陣。證明：先證明分解的存在性。將矩陣按列分塊得到由于，所以是線性無關的。利用Schmidt正交化與單位化方法，先得到一組正交向量組并且向量組之間有如下關系再單位化，這樣得到一組標準正交向量組其中，于是有其中，顯然矩陣是一個正線上三角矩陣。

下面考慮分解的唯一性。設有兩種分解式那么有注意到是酉矩陣，而是一個正線上三角矩陣，由前面的結論可知因此有因為有，所以，按照分解的存在性可知其中是正線上三角矩陣。于是其中是正線下三角矩陣，而。此結論也可以被推廣為定理：設，則可以唯一地分解為其中是階正線上三角矩陣，，即是一個次酉矩陣。證明：分解的存在性證明，同上面的例題完全一樣。分解的唯一性證明。設則因為是正定的Hermite矩陣（為什么？），由正定二次型的等價定理可知，其三角分解是唯一的，故，進一步有。例1

：求下列矩陣的正交三角分解解：（1）容易判斷出，即是一個列滿秩矩陣。按照定理的證明過程，將的三個列向量正交化與單位化。先得到一個正交向量組再將其單位化，得到一組標準正交向量組這樣，原來的向量組與標準正交向量之間的關系可表示成將上面的式子矩陣化，即為（2）首先判斷出，由定理可知必存在，以及三階正線上三角矩陣使得推論：設，則可分解為其中，是階正線上三角矩陣，是階正線下三角矩陣。

矩陣的奇異值分解引理1：對于任何一個矩陣都有引理2：對于任何一個矩陣都有與都是半正定的Hermite-矩陣。設，是的特征值，是的特征值，它們都是實數。如果記特征值與之間有如下關系。定理：設，那么。同時，我們稱為矩陣的正奇異值，簡稱奇異值。例：求下列矩陣的奇異值解：（1）由于顯然的特征值為5，0，0，所以的奇異值為（2）由于顯然的特征值為2，4，所以的奇異值為。例2

證明：正規(guī)矩陣的奇異值為其非零特征值的模長。定理：設，是的個奇異值，那么存在階酉矩陣和階酉矩陣使得其中，且滿足。證明：由于，所以的特征值為因為是一個H-陣，所以存在階酉矩陣且滿足將酉矩陣按列進行分塊，記

，其中于是有從而有記，這里令，那么容易驗證選取使得是酉矩陣，則由上述式子可得這里，要注意。我們稱此定理為奇異值分解定理。稱表達式為矩陣的奇異值分解式。如何求此分解表達式？特別要注意下面的關系式即由此可知的列向量就是的標準正交特征向量；而的列向量就是的標準正交特征向量。例：求下列矩陣的奇異值分解表達式解：（1）容易計算的特征值為5，0，0，所以的奇異值為。下面計算的標準正交特征向量，解得分別與5，0，0對應的三個標準正交特征向量由這三個標準正交特征向量組成矩陣，所以有再計算的標準正交特征向量，解得分別與5，0對應的兩個標準正交特征向量由這兩個標準正交特征向量組成矩陣那么有于是可得奇異值分解式為解：（2）容易計算，那么的非零奇異值為，對應于特征值5，2的標準特征向量為由這兩個標準正交特征向量組成矩陣那么有再計算的標準正交特征向量，解得分別與5，2，0，0對應的兩個標準正交特征向量由這四個標準正交特征向量組成矩陣，所以有于是可得奇異值分解式為練習：求下面矩陣的奇異值分解式推論：設，是的個奇異值，那么存在次酉矩陣使得

矩陣的極分解定理：設，那么必存在酉矩陣與正定的H-矩陣使得且這樣的分解式是唯一的。同時有。稱分解式為矩陣的極分解表達式。定理：設，則存在與半正定H-矩陣使得且滿足證明：根據矩陣的奇異值分解定理可知，存在酉矩陣使得其中，為的個奇異值。于是有如果令從而有其中是半正定的H-矩陣，是酉矩陣。由上面的結論可以給出正規(guī)矩陣的另外一種刻劃。定理：設，則是正規(guī)矩陣的充分必要條件是其中是半正定的H-矩陣，是酉矩陣，且

矩陣的譜分解我們主要討論兩種矩陣的普分解：正規(guī)矩陣與可對角化矩陣。設為正規(guī)矩陣，那么存在使得其中是矩陣的特征值所對應的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達式。

設正規(guī)矩陣有個互異的特征值，特征值的代數重數為，所對應的個兩兩正交的單位特征向量為，則的譜分解表達式又可以寫成其中，并且顯然有

有上面的譜分解表達式又可以給出正規(guī)矩陣的一種刻劃。定理：設為一個階矩陣，其有個互異的特征值，的代數重數為，那么為正規(guī)矩陣的充分必要條件是存在個階矩陣且滿足（6）滿足上述性質的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。例1：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為當時，求得三個線性無關的特征向量為當時，求得一個線性無關的特征向量為將正交化與單位化可得將單位化可得：于是有這樣可得其譜分解表達式為例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量再將其單位化可得三個標準正交的特征向量于是有這樣可得其譜分解表達式為練習：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。下面我們討論可對角化矩陣的譜分解表達式。

設是一個階可對角化的矩陣，特征值為，與其相應的特征向量分別為，如果記那么其中由于，所以有又由于，從而現在觀察矩陣與列向量之間的關系：這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量。另外注意到可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個特征值所決定的線性無關特征向量（2）寫出（3）令（4）最后寫出例：已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達式。解:首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量于是取令那么其譜分解表達式為練習：設矩陣（1）取何值時，可以對角化?（2）當可