2024屆甘肅省永昌縣四中數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆甘肅省永昌縣四中數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在區(qū)間[–1，1]上任取兩個數(shù)x和y，則x2+y2≥1的概率為（）A． B．C． D．2．如圖是某個正方體的平面展開圖，，是兩條側(cè)面對角線，則在該正方體中，與（）A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x

3

4

5

6

7

8

y

可得到的回歸方程為,則（）A． B． C． D．4．已知是單位向量，.若向量滿足（）A． B．C． D．5．某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，根據(jù)下列頻率分布條形圖（部分）可知，該校女教師的人數(shù)為（）A．93 B．123 C．137 D．1676．函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱7．若，，，，則等于（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列中，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．若滿足，且的最小值為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．在正方體中，，分別為棱，的中點，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，的夾角為，若，，則________.12．如圖，兩個正方形，邊長為2，.將繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，與平面的距離最大值為______.13．若的面積，則=14．某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個等級，生產(chǎn)中出現(xiàn)合格品的概率為0.25，出現(xiàn)次品的概率為0.03，在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為__________．15．己知是等差數(shù)列，是其前項和，，則______.16．如圖所示，已知，用表示.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若數(shù)列滿足：對于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項等差”數(shù)列．（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項等差”數(shù)列，求的前項之和；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對于，都有．①求證：數(shù)列為“隔項等差”數(shù)列，并求其通項公式；②設(shè)數(shù)列的前項和為，試研究：是否存在實數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且，，求△ABC的面積的最大值．19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點.（1）證明：平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的余弦值.20．一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片.(Ⅰ)若一次從中隨機抽取3張卡片，求3張卡片上數(shù)字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次隨機抽取1張卡片，放回后再隨機抽取1張卡片，求兩次抽取的卡片中至少一次抽到數(shù)字2的概率.21．如圖，在三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為的正方形，為線段的中點.(1)求證:直線平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值；(3)設(shè)為線段上任意一點，在內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點，使，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】由題意知，所有的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為，其面積為．設(shè)“在區(qū)間[-1,1]上任選兩個數(shù)，則”為事件A，則事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為，其面積為．由幾何概型概率公式可得所求概率為．選A．2、D【解題分析】

先將平面展開圖還原成正方體，再判斷求解.【題目詳解】將平面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點重合，所以與相交，連接，則為正三角形，所以與的夾角為.故選D.【題目點撥】本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解題分析】試題分析：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)描點連線可知圖像為遞減且在軸上的截距大于0，所以．考點：1．散點圖；2．線性回歸方程；4、A【解題分析】

因為，，做出圖形可知，當且僅當與方向相反且時，取到最大值；最大值為；當且僅當與方向相同且時，取到最小值；最小值為.5、C【解題分析】.6、B【解題分析】

根據(jù)關(guān)于點對稱,關(guān)于直線對稱來解題.【題目詳解】解：令,得,所以對稱點為.當,為,故B正確；令,則對稱軸為,因此直線和均不是函數(shù)的對稱軸.故選：B【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的對稱性問題.正弦函數(shù)根據(jù)關(guān)于點對稱,關(guān)于直線對稱.7、C【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【題目詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【題目點撥】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類求值問題需要注意以下兩點：①利用同角三角平方關(guān)系求值時，要求對象角的范圍，確定所求值的正負；②利用已知角來配湊未知角，然后利用合適的公式求解．8、A【解題分析】

根據(jù)已知先求出數(shù)列的首項，公差d已知，可得?！绢}目詳解】由題得，，解得，則.故選：A【題目點撥】本題考查用數(shù)列的通項公式求某一項，是基礎(chǔ)題。9、B【解題分析】

首先畫出滿足條件的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標函數(shù)取最小值找出最優(yōu)解，把最優(yōu)解點代入目標函數(shù)即可求出的值．【題目詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：，由，解得：，由得：，顯然直線過時，z最小，∴，解得：，故選B．【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，已知目標函數(shù)最值求參數(shù)的問題，屬于常考題型．10、A【解題分析】

如圖做輔助線，正方體中，且，P，M為和中點，,則即為所求角，設(shè)邊長即可求得．【題目詳解】如圖，取的中點，連接，，.因為為棱的中點，為的中點，所以，所以，則是異面直線與所成角的平面角.設(shè)，在中，，，則，即.【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造包含異面直線所成角的三角形．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，展開后進行計算，得到的值，從而得到答案.【題目詳解】因為向量，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查求向量的模長，向量的數(shù)量積運算，屬于簡單題.12、【解題分析】

繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，點的軌跡是圓.過作平面平面，交平面于.的軌跡在平面內(nèi).畫出圖像，根據(jù)圖像判斷出圓的下頂點距離平面的距離最大，解三角形求得這個距離的最大值.【題目詳解】繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，故點的軌跡是圓.過作平面平面，交平面于.的軌跡在平面內(nèi).畫出圖像如下圖所示，根據(jù)圖像作法可知，當位于圓心的正下方點位置時，到平面的距離最大.在平面內(nèi)，過作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化為.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的概念，考查空間點到面的距離的最大值的求法，考查空間想象能力和運算能力，屬于中檔題.13、【解題分析】試題分析：,.考點：三角形的面積公式及余弦定理的變形.點評：由三角形的面積公式,再根據(jù),直接可求出tanC的值，從而得到C.14、0.72【解題分析】

根據(jù)對立事件的概率公式即可求解.【題目詳解】由題意，在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到優(yōu)質(zhì)品”與“抽到合格品或次品”是對立事件，所以在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為.故答案為【題目點撥】本題主要考查對立事件的概率公式，熟記對立事件的概念及概率計算公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.15、-1【解題分析】

由等差數(shù)列的結(jié)合，代入計算即可.【題目詳解】己知是等差數(shù)列，是其前項和，所以，得，由等差中項得，所以.故答案為-1【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列前項和公式和等差中項的應用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

可采用向量加法和減法公式的線性運算進行求解【題目詳解】由，整理得【題目點撥】本題考查向量的線性運算，解題關(guān)鍵在于將所有向量通過向量的加法和減法公式轉(zhuǎn)化成基底向量，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）①當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，；②【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）由新定義知：前項之和為兩等差數(shù)列之和，一個是首項為3，公差為8的等差數(shù)列前8項和，另一個是首項為17，公差為8的等差數(shù)列前7項和，所以前項之和（Ⅱ）①根據(jù)新定義知：證明目標為，，相減得，當為奇數(shù)時，依次構(gòu)成首項為a，公差為2的等差數(shù)列,,當為偶數(shù)時，依次構(gòu)成首項為2-a，公差為2的等差數(shù)列,②先求和：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，故當時，，，，由，則，解得．試題解析：（Ⅰ）易得數(shù)列前項之和（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）．所以，為公差為2的“隔項等差”數(shù)列．當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，；②當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，．故當時，，，，由，則，解得．所以存在實數(shù)，使得成等比數(shù)列（）考點：新定義，等差數(shù)列通項及求和18、(1),(2)【解題分析】

（1）利用二倍角公式、輔助角公式進行化簡,，然后根據(jù)單調(diào)區(qū)間對應的的公式求解單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)計算出的值，再利用余弦定理計算出的最大值則可求面積的最大值，注意不等式取等號條件.【題目詳解】解:（1）∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,（2）由（1）知得（舍）或∴有余弦定理得即∴當且僅當時取等號∴【題目點撥】（1）輔助角公式：；（2）三角形中，已知一邊及其對應角時，若要求解面積最大值，在未給定三角形形狀時，可選用余弦定理求解更方便，若是給定三角形形狀，這時選用正弦定理并需要對角的范圍作出判斷.19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）如圖所示，為中點，連接，證明為平行四邊形得到答案.（2）分別以為軸建立直角坐標系，平面的法向量為，計算向量夾角得到答案.【題目詳解】（1）如圖所示，為中點，連接.為中點，N為PC的中點，故，，，故，且，故為平行四邊形.故，平面，故平面PAB.（2）中點為，，故，故，底面ABCD，故，.分別以為軸建立直角坐標系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取得到，故，故直線AN與平面PMN所成角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了線面平行，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20、（1）（2）【解題分析】

古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結(jié)合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果，可以列舉出，而滿足條件的事件數(shù)字之和大于7的，可以從列舉出的結(jié)果中看出．（2）列舉出每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的基本結(jié)果，而滿足條件的事件是兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3，從前面列舉出的結(jié)果中找出來．解：(Ⅰ)設(shè)A表示事件“抽取3張卡片上的數(shù)字之和大于或等于7”，任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4種，數(shù)字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3種，所以P(A)=.(Ⅱ)設(shè)B表示事件“至少一次抽到2”，第一次抽1張，放回后再抽取1張的全部可能結(jié)果為：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16個事件B包含的結(jié)果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7個所以所求事件的概率為P(B)=.21、(1)見解析(2)（3）