福建省莆田市2024屆高一數學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

福建省莆田市2024屆高一數學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某校有高一學生人，高二學生人，高三學生人，現教育局督導組欲用分層抽樣的方法抽取名學生進行問卷調查，則下列判斷正確的是（）A．高一學生被抽到的可能性最大 B．高二學生被抽到的可能性最大C．高三學生被抽到的可能性最大 D．每位學生被抽到的可能性相等2．在中，角的對邊分別為，若，則的最小值是（）A．5 B．8 C．7 D．63．已知，，，則實數、、的大小關系是（）A． B．C． D．4．已知實數滿足且，則下列選項中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．半徑為的半圓卷成一個圓錐，它的體積是（）A． B． C． D．7．設均為正數，且，，．則（）A． B． C． D．8．法國學者貝特朗發(fā)現，在研究事件A“在半徑為1的圓內隨機地取一條弦，其長度超過圓內接等邊三角形的邊長3”的概率的過程中，基于對“隨機地取一條弦”的含義的的不同理解，事件A的概率PA存在不同的容案該問題被稱為貝特朗悖論現給出種解釋：若固定弦的一個端點,另個端點在圓周上隨機選取，則PA．12 B．13 C．19．在空間中，有三條不重合的直線，，，兩個不重合的平面，，下列判斷正確的是A．若∥，∥，則∥ B．若，，則∥C．若，∥，則 D．若，，∥，則∥10．在中，根據下列條件解三角形，其中有一解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在△中，三個內角、、所對的邊分別為、、，若，，為△外一點，，，則平面四邊形面積的最大值為________12．無限循環(huán)小數化成最簡分數為________13．已知內接于拋物線，其中O為原點，若此內接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，則的外接圓方程為_____.14．已知角的終邊經過點，則的值為__________．15．函數的定義域為________16．函數的值域為_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列滿足，．（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求使不等式＜對一切恒成立的實數的范圍．18．設.(1)用表示的最大值；(2)當時，求的值.19．在平面直角坐標系中，的頂點、，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.（1）求點B到直線的距離；（2）求的面積.20．設等比數列{}的首項為，公比為q(q為正整數),且滿足是與的等差中項；數列{}滿足.(1)求數列{}的通項公式;(2)試確定的值，使得數列{}為等差數列：(3)當{}為等差數列時，對每個正整數是，在與之間插入個2,得到一個新數列{}，設是數列{}的前項和，試求滿足的所有正整數.21．本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數列，，求的取值范圍；（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值，以及取最大值時相應數列的公差.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據分層抽樣是等可能的選出正確答案.【題目詳解】由于分層抽樣是等可能的，所以每位學生被抽到的可能性相等，故選D.【題目點撥】本小題主要考查隨機抽樣的公平性，考查分層抽樣的知識，屬于基礎題.2、D【解題分析】

先化簡條件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根據等式利用基本不等式求解最小值.【題目詳解】由，得，化簡整理得，，即，當且僅當，即時，取等號．故選D．【題目點撥】本題考查正、余弦定理在邊角化簡中的應用，難度一般.對于利用基本不等求最值的時候，一定要注意取到等號的條件.3、B【解題分析】

將bc化簡為最簡形式，再利用單調性比較大小?！绢}目詳解】因為在單調遞增所以【題目點撥】本題考查利用的單調性判斷大小，屬于基礎題。4、D【解題分析】

由題設條件可以得到，從而可判斷A，B中的不等式都是正確的，再把題設變形后可得，從而C中的不等式也是成立的，當，D中的不等式不成立，而時，它又是成立的，故可得正確選項.【題目詳解】因為且，故，所以，故A正確；又，故，故B正確；而，故，故C正確；當時，，當時，有，故不一定成立，綜上，選D.【題目點撥】本題考查不等式的性質，屬于基礎題.5、C【解題分析】對于A、B、D均可能出現，而對于C是正確的．6、A【解題分析】

根據圓錐的底面圓周長等于半圓弧長可計算出圓錐底面圓半徑，由勾股定理可計算出圓錐的高，再利用錐體體積公式可計算出圓錐的體積.【題目詳解】設圓錐的底面圓半徑為，高為，則圓錐底面圓周長為，得，，所以，圓錐的體積為，故選：A.【題目點撥】本題考查圓錐體積的計算，解題的關鍵就是要計算出圓錐底面圓的半徑和高，解題時要從已知條件列等式計算，并分析出一些幾何等量關系，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.7、A【解題分析】試題分析：在同一坐標系中分別畫出，，的圖象，與的交點的橫坐標為，與的圖象的交點的橫坐標為，與的圖象的交點的橫坐標為，從圖象可以看出．考點：指數函數、對數函數圖象和性質的應用．【方法點睛】一般一個方程中含有兩個以上的函數類型，就要考慮用數形結合求解，在同一坐標系中畫出兩函數圖象的交點，函數圖象的交點的橫坐標即為方程的解．8、B【解題分析】

由幾何概型中的角度型得：P(A)=2π【題目詳解】設固定弦的一個端點為A，則另一個端點在圓周上BC劣弧上隨機選取即可滿足題意，則P（A）=2π故選：B．【題目點撥】本題考查了幾何概型中的角度型，屬于基礎題．9、C【解題分析】

根據空間中點、線、面的位置關系的判定與性質，逐項判定，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，A中，若∥，∥，則與可能平行、相交或異面，故A錯誤；B中，若，，則與c可能平行，也可能垂直，比如墻角，故B錯誤；C中，若，∥，則,正確；D中，若，，∥，則與可能平行或異面，故D錯誤；故選C．【題目點撥】本題主要考查了線面位置關系的判定與證明，其中解答中熟記空間中點、線、面的位置關系，以及線面位置關系的判定定理和性質定理是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題．10、D【解題分析】

根據三角形解的個數的判斷條件得出各選項中對應的解的個數，于此可得出正確選項.【題目詳解】對于A選項，，，此時，無解；對于B選項，，，此時，有兩解；對于C選項，，則為最大角，由于，此時，無解；對于D選項，，且，此時，有且只有一解.故選D.【題目點撥】本題考查三角形解的個數的判斷，解題時要熟悉三角形個數的判斷條件，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據題意和正弦定理，化簡得，進而得到，在中，由余弦定理，求得，進而得到，，得出四邊形的面積為，再結合三角函數的性質，即可求解.【題目詳解】由題意，在中，因為，所以，可得,即，所以，所以，又因為，可得，所以，即,因為，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因為，所以為等腰直角三角形，所以，又因為，所以四邊形的面積為，當時，四邊形的面積有最大值，最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.12、【解題分析】

利用無窮等比數列求和的方法即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了無窮等比數列的求和問題,屬于基礎題型.13、【解題分析】

由拋物線的對稱性知A、B關于x軸對稱，設出它們的坐標，利用三角形的垂心的性質，結合斜率之積等于﹣1即可求得直線MN的方程，即可求出點C的坐標，問題得以解決．【題目詳解】∵拋物線關于x軸對稱，內接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，三邊上的高過焦點，∴另兩個頂點A，B關于x軸對稱，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂線MN，交x軸與C點，而Ox是AB的中垂線，故C點即為△ABO的外接圓的圓心，OC是外接圓的半徑，設A（x1，2），B（x1，﹣2），連接BF，則BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF?kAO＝?1，整理，得x1（x1﹣5）＝1，則x1＝5，（x1＝1不合題意，舍去），∵AO的中點為（，），且MN∥BF，∴直線MN的方程為y（x），當x1＝5代入得2x+4y﹣91，∵C是MN與x軸的交點，∴C（，1），而△ABO的外接圓的半徑OC，于是得到三角形外接圓方程為（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圓方程為：x2﹣9x+y2＝1，故答案為x2﹣9x+y2＝1．【題目點撥】本題考查拋物線的簡單性質，考查了兩直線垂直與斜率的關系，是中檔題14、【解題分析】按三角函數的定義，有.15、【解題分析】

根據反余弦函數的定義，可得函數滿足，即可求解.【題目詳解】由題意，根據反余弦函數的定義，可得函數滿足，解得，即函數的定義域為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了反余弦函數的定義的應用，其中解答中熟記反余弦函數的定義，列出不等式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、【解題分析】

分析函數在區(qū)間上的單調性，由此可求出該函數在區(qū)間上的值域.【題目詳解】由于函數和函數在區(qū)間上均為增函數，所以，函數在區(qū)間上也為增函數，且，，當時，，因此，函數的值域為.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數值域的求解，解題的關鍵就是判斷出函數的單調性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，；（2）【解題分析】

（1）對遞推式兩邊取倒數化簡,即可得出，利用等差數列的通項公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂項相消法求出，使用不等式得出的范圍，從而得出的范圍．【題目詳解】（1）∵，兩邊取倒數,∴，即，又，∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜對一切恒成立，則．∴的范圍為:．【題目點撥】本題考查了構造法求等差數列的通項公式，裂項相消法求數列的和，屬于中檔題．18、（1）（2）或【解題分析】

（1）化f（x）為sinx的二次函數，根據二次函數的性質，對a討論求出函數最大值；（2）由M（a）＝2求出對應的a值即可．【題目詳解】(1)，∵，∴.①當，即時，；②當，即時，；③當，即時，.∴(2)當時，(舍)或－2(舍)；當時，；當時，.綜上或.【題目點撥】本題主要考查了三角函數恒等變換的應用和二次函數的性質問題，考查了分段函數求值問題，是中檔題．19、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意求得所在直線的斜率再由直線方程點斜式求的方程，然后利用點到直線的距離公式求解；（2）設的坐標，由題意列式求得的坐標，再求出，代入三角形面積公式求解．【題目詳解】（1）由題意，，直線的方程為，即．點到直線的距離；（2）設，則的中點坐標為，則，解得，即，．的面積．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式的應用，考查點關于直線的對稱點的求法，是基礎題．20、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由已知可求出的值，從而可求數列的通項公式；（2）由已知可求，從而可依次寫出，，若數列為等差數列，則有，從而可確定的值；（3）因為，，，檢驗知，3，4不合題意，適合題意．當時，若后添入的數則一定不適合題意，從而必定是數列中的某一項，設則誤解，即有都不合題意．故滿足題意的正整數只有．【題目詳解】解（1）因為，所以，解得或（舍），則又，所以（2）由，得，所以，，，則由，得而當時，，由（常數）知此時數列為等差數列（3）因為，易知不合題意，適合題意當時，若后添入的數，則一定不適合題意，從而必是數列中的某一項，則.整理得，等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，所以無解。綜上：符合題意的正整數.【題目點撥】本題主要考察了等差數列與等比數列的綜合應用，考察了函數單調性的證明，屬于中檔題．21、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解題分析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題