北京市西城區(qū)第三十一中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

北京市西城區(qū)第三十一中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．同時拋擲兩個骰子，則向上的點數(shù)之和是的概率是（）A． B． C． D．2．設，則下列不等式中正確的是()A． B．C． D．3．古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．104．已知a,b是正實數(shù),且,則的最小值為()A． B． C． D．5．的內角的對邊分別為，面積為，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．6．已知，且，則（）A． B． C． D．7．得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左移動 B．向右移動 C．向左移動 D．向右移動8．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.C．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向左平移.D．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得的圖像向右平移.9．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有1個白球”和“都是紅球”B．“至少有2個白球”和“至多有1個紅球”C．“恰有1個白球”和“恰有2個白球”D．“至多有1個白球”和“都是紅球”10．已知函數(shù)，其中為整數(shù)，若在上有兩個不相等的零點，則的最大值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某中學從甲乙丙3人中選1人參加全市中學男子1500米比賽，現(xiàn)將他們最近集訓中的10次成績（單位：秒）的平均數(shù)與方差制成如下的表格：甲乙丙平均數(shù)250240240方差151520根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該中學應選__________參加比賽．12．如圖，四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，則直線與直線所成角的余弦值為____________.13．___________.14．在中，、、所對的邊依次為、、，且，若用含、、，且不含、、的式子表示，則_______.15．設，其中，則的值為________.16．在等差數(shù)列中，若，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分別是CD和PC的中點.求證：（1）平面BEF；（2）平面平面PCD．18．在等比數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;（Ⅱ）設AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.20．如圖，四棱錐中，底面，，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，求四棱錐的體積；21．已知銳角三個內角、、的對邊分別是，且．（1）求A的大?。唬?）若，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由題意可知，基本事件總數(shù)為，然后列舉出事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點數(shù)之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】同時拋擲兩個骰子，共有個基本事件，事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點數(shù)之和是”所包含的基本事件有：、、、、，共個基本事件.因此，所求事件的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】

取，則，，只有B符合．故選B．考點：基本不等式．3、B【解題分析】試題分析：設該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點：等比數(shù)列的應用．4、B【解題分析】

設，則，逐步等價變形，直到可以用基本不等式求最值，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，設，則，所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查利用基本不等式求最值，化簡變形是關鍵，考查計算能力，屬于中等題.5、A【解題分析】

出現(xiàn)面積，可轉化為觀察，和余弦定理很相似，但是有差別，差別就是條件是形式，而余弦定理中是形式，但是我們可以注意到：,所以可以完成本題.【題目詳解】由，所以在三角形中,再由正弦定理所以答案選擇A.【題目點撥】本題很靈活，在常數(shù)4的處理問題上有點巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，難度較大.6、D【解題分析】

根據(jù)不等式的性質,一一分析選擇正誤即可.【題目詳解】根據(jù)不等式的性質,當時,對于A,若,則,故A錯誤;對于B,若,則,故B錯誤;對于C,若,則,故C錯誤;對于D,當時,總有成立,故D正確;故選:D.【題目點撥】本題考查不等式的基本性質,屬于基礎題.7、B【解題分析】

直接利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則,對選項中的變換逐一判斷即可.【題目詳解】函數(shù)的圖象，向左平移個單位，得，錯；函數(shù)的圖象,向右平移個單位，得，對.函數(shù)的圖象,向左平移個單位，得，錯；函數(shù)的圖象,向右平移個單位，得，錯,故選B.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點考查學生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學生對所學知識理解的深度.8、B【解題分析】

利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換的規(guī)律求出即可.【題目詳解】為了得到函數(shù)的圖象，先把函數(shù)圖像的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍到函數(shù)y＝3sin2x的圖象，再把所得圖象所有的點向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝3sin（2x+）的圖象.故選：B．【題目點撥】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質的應用，三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換的應用，屬于基礎題．9、C【解題分析】

結合互斥事件與對立事件的概念,對選項逐個分析可選出答案.【題目詳解】對于選項A,“至少有1個白球”和“都是紅球”是對立事件,不符合題意;對于選項B,“至少有2個白球”表示取出2個球都是白色的,而“至多有1個紅球”表示取出的球1個紅球1個白球,或者2個都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對于選項C,“恰有1個白球”表示取出2個球1個紅球1個白球,與“恰有2個白球”是互斥而不對立的兩個事件,符合題意;對于選項D,“至多有1個白球”表示取出的2個球1個紅球1個白球,或者2個都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【題目點撥】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運用,考查了學生對知識的理解和掌握,屬于基礎題.10、A【解題分析】

利用一元二次方程根的分布的充要條件得到關于的不等式，再由為整數(shù)，可得當取最小時，取最大，從而求得答案.【題目詳解】∵在上有兩個不相等的零點，∴∵，∴當取最小時，取最大，∵兩個零點的乘積小于1，∴，∵為整數(shù)，令時，，滿足.故選：A.【題目點撥】本題考查一元二次函數(shù)的零點，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意為整數(shù)的應用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、乙；【解題分析】

一個看均值，要均值小，成績好；一個看方差，要方差小，成績穩(wěn)定．【題目詳解】乙的均值比甲小，與丙相同，乙的方差與甲相同，但比丙小，即乙成績好，又穩(wěn)定，應選乙、故答案為乙．【題目點撥】本題考查用樣本的數(shù)據(jù)特征來解決實際問題．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的穩(wěn)定），這樣比較易得結論．12、.【解題分析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．【題目詳解】解：四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設直線與直線所成角為，則，直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，屬于中檔題．13、【解題分析】

先將寫成的形式，再根據(jù)誘導公式進行求解.【題目詳解】由題意得：.故答案為：.【題目點撥】考查三角函數(shù)的誘導公式.，，,,.14、【解題分析】

利用誘導公式，二倍角公式，余弦定理化簡即可得解.【題目詳解】.故答案為.【題目點撥】本題主要考查了誘導公式，二倍角的三角函數(shù)公式，余弦定理，屬于中檔題.15、【解題分析】

由兩角差的正弦公式以及誘導公式，即可求出的值．【題目詳解】，所以，因為，故．【題目點撥】本題主要考查兩角差的正弦公式的逆用以及誘導公式的應用．16、【解題分析】

利用等差中項的性質可求出的值.【題目詳解】由等差中項的性質可得，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用等差中項的性質求項的值，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（2）證明見解析（2）證明見解析【解題分析】

（1）連接，交于，結合平行四邊形的性質可得，再由線面平行的判定定理，即可得證（2）運用面面垂直的性質定理可得平面，推得，，，再由線面垂直的判定定理和嗎垂直的判定定理，即可得證．【題目詳解】證明：（1）連接，交于，可得四邊形為平行四邊形，且為的中點，可得為的中位線，可得，平面，面，可得面；（2）平面底面，，可得平面，即有，，可得，由，，可得四邊形為矩形，即有，又，，可得，且所以有平面，而平面，則平面平面．【題目點撥】本題考查線面平行和面面垂直的判定，注意運用線線平行和線面垂直的判定定理，考查推理能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）設出通項公式，利用待定系數(shù)法即得結果；（2）先求出通項，利用錯位相減法可以得到前項和.【題目詳解】（1）因為，，所以，解得故的通項公式為.（2）由（1）可得，則，①，②①-②得故.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和，意在考查學生的分析能力及計算能力，難度中等.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）連接AC1交A1C于點F，則DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．進而求得S△A1DE的值，再根據(jù)三棱錐C-A1DE的體積為?S△A1DE?CD，運算求得結果試題解析：（1）證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF．3分因為DF?平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，4分所以BC1∥平面A1CD．5分（2）解：因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．8分由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D10分所以三菱錐C﹣A1DE的體積為：==1．12分考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積20、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)底面證得，證得，由此證得平面.（2）利用錐體體積公式，計算出所求錐體體積