山西省忻州市第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

山西省忻州市第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在數(shù)列{an}中，若a1，且對任意的n∈N*有，則數(shù)列{an}前10項的和為（）A． B． C． D．2．等比數(shù)列中，，則等于()A．16 B．±4 C．-4 D．43．下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A． B． C． D．4．若角α的終邊過點P(-3，-4)，則cos(π-2α)的值為()A． B． C． D．5．已知是第一象限角，那么是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角6．下列角位于第三象限的是（）A． B． C． D．7．設(shè)，，，則（）A． B．C． D．8．若，，，設(shè)，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．189．名小學(xué)生的身高（單位：cm）分成了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組：115，122，105，111，109；乙組：125，132，115，121，119.兩組數(shù)據(jù)中相等的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)、極差 B．平均數(shù)、方差C．方差、極差 D．極差、平均數(shù)10．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到2件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．渦陽一中某班對第二次質(zhì)量檢測成績進行分析，利用隨機數(shù)表法抽取個樣本時，先將個同學(xué)按、、、、進行編號，然后從隨機數(shù)表第行第列的數(shù)開始向右讀（注：如表為隨機數(shù)表的第行和第行），則選出的第個個體是______.12．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是____.13．已知，是第三象限角，則.14．終邊在軸上的角的集合是_____________________．15．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達式______．16．_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的方程是（，）．（1）當(dāng)，時，求曲線圍成的區(qū)域的面積；（2）若直線：與曲線交于軸上方的兩點，，且，求點到直線距離的最小值．18．已知，，.（1）求的最小值；（2）求的最小值.19．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．20．某高校自主招生一次面試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據(jù)此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總?cè)藬?shù)、面試成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)；（2）若從面試成績在內(nèi)的學(xué)生中任選三人進行隨機復(fù)查，求恰好有二人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率.21．的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，點在邊上，，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

用累乘法可得．利用錯位相減法可得S，即可求解S10＝22．【題目詳解】∵，則．∴，．Sn，．∴，∴S，則S10＝22．故選：A．【點評】本題考查了累乘法求通項，考查了錯位相減法求和，意在考查計算能力，屬于中檔題．2、D【解題分析】分析：利用等比中項求解．詳解：，因為為正，解得．點睛：等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則．3、D【解題分析】

將選項中的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制的數(shù)，由此求得最小值的數(shù).【題目詳解】依題意，，，，故最小的為D.所以本小題選D.【題目點撥】本小題主要考查不同進制的數(shù)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

由三角函數(shù)的定義得，再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式求解.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義，可得，則，故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及二倍角的余弦公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)象限角寫出的取值范圍，討論即可知在第一或第三象限角【題目詳解】依題意得，則，當(dāng)時，是第一象限角當(dāng)時，是第三象限角【題目點撥】本題主要考查象限角，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)第三象限角度的范圍，結(jié)合選項，進行分析選擇.【題目詳解】第三象限的角度范圍是.對A：，是第二象限的角，故不滿足題意；對B：是第二象限的角度，故不滿足題意；對C：是第二象限的角度，故不滿足題意；對D：，是第三象限的角度，滿足題意.故選：D.【題目點撥】本題考查角度范圍的判斷，屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，故選B.【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)式、對數(shù)式以及正切函數(shù)值的比較大小問題，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及正切函數(shù)的性質(zhì)得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標(biāo)表示，最后求值.【題目詳解】,,當(dāng)時，，解得.故選B.【題目點撥】本題考查了向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解題分析】

將甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差全部算出來，并進行比較，可得出答案．【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，因此，兩組數(shù)據(jù)相等的是極差和方差，故選C．【題目點撥】本題考查樣本的數(shù)字特征，理解極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義并利用相關(guān)公式進行計算是解本題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

由對立事件的概念可知，直接寫出其對立事件即可.【題目詳解】“至少抽到2件次品”的對立事件為“至多抽到1件次品”，故選D【題目點撥】本題主要考查對立事件的概念，熟記對立事件的概念即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】

根據(jù)隨機數(shù)法列出前個個體的編號，即可得出答案.【題目詳解】由隨機數(shù)法可知，前個個體的編號依次為、、、、、、，因此，第個個體是，故答案為.【題目點撥】本題考查隨機數(shù)法讀取樣本個體編號，讀取時要把握兩個原則：（1）看樣本編號最大數(shù)為幾位數(shù)，讀取時就幾個數(shù)連著一起??；（2）不在編號范圍內(nèi)的號碼要去掉，重復(fù)的只能取第一次.12、鈍角三角形【解題分析】

由，結(jié)合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判斷的取值范圍【題目詳解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得是鈍角三角形故答案為鈍角三角形．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用在三角形的形狀判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13、.【解題分析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知，，化簡整理得①，又因為②，聯(lián)立方程①②即可解得：，，又因為是第三象限角，所以，故.考點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.14、【解題分析】

由于終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為而終邊在y軸的非正半軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合是，所以，故答案為.15、【解題分析】

根據(jù)圖象的最高點得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點的坐標(biāo)或運用“五點法”得到，進而可得函數(shù)的解析式．【題目詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【題目點撥】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點的縱坐標(biāo)．（2）由圖象得到函數(shù)的周期，進而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運用代點法求解，通過把圖象的最高點或最低點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求出的值；②運用“五點法”求解，即由函數(shù)最開始與軸的交點(最靠近原點)的橫坐標(biāo)為(即令，)確定．16、2【解題分析】

利用裂項求和法將化簡為，再求極限即可.【題目詳解】令...故答案為：【題目點撥】本題主要考查數(shù)列求和中的列項求和，同時考查了極限的求法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)4；(2)．【解題分析】

（1）當(dāng)，時，曲線的方程是，對絕對值內(nèi)的數(shù)進行討論，得到四條直線圍成一個菱形，并求出面積為4；（2）對進行討論，化簡曲線方程，并與直線方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，由得到的關(guān)系，再利用點到直線的距離公式求出，從而求得.【題目詳解】（1）當(dāng)，時，曲線的方程是，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，方程等價于，當(dāng)時，方程等價于，當(dāng)時，方程等價于，當(dāng)時，方程等價于，曲線圍成的區(qū)域為菱形，其面積為；（2）當(dāng)，時，有，聯(lián)立直線可得，當(dāng)，時，有，聯(lián)立直線可得，由可得，即有，化為，點到直線距離，由題意可得，，，即，可得，，可得當(dāng)，即時，點到直線距離取得最小值．【題目點撥】解析幾何的思想方法是坐標(biāo)法，通過代數(shù)運算解決幾何問題，本題對運算能力的要求是比較高的.18、(1)64,(2)x+y的最小值為18.【解題分析】試題分析：（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得出；

（2）由，變形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．試題解析：(1)由，得,又，，故,故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，∴(2)由2,得,則.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.∴【題目點撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握“乘1法”和變形利用基本不等式是解題的關(guān)鍵．19、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解題分析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結(jié)合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【題目詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點，連接OP，∵P為的中點，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長方體中，∵，∴．在中，．∴直線與平面的夾角為．【題目點撥】本題考查了線面平行、面面垂直的證明，考查了線面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；；（2）0.6【解題分析】

(1)從分?jǐn)?shù)落在,的頻率為,人數(shù)為2,求出總?cè)藬?shù)的值,從而求出面試成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在,內(nèi)的人數(shù);(2)用列舉法列出所有可能結(jié)果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【題目詳解】(1)∵分?jǐn)?shù)落在的頻率為,人數(shù)為2,∴,故,∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為15人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,又∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,面試成績的中位數(shù)為分;(2)由(1)知分?jǐn)?shù)在的有5人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的有3人,記分?jǐn)?shù)在的5人為1,2,3,4,5號,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的3人為1,2,3號,則從這5人中任選3人的基本事件為:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10種方式;其中恰有2人的分?jǐn)?shù)在內(nèi)的基本事件為:124,125,134,135,234,235,共6種方式,所以所求概率為.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖和莖葉圖的綜合應(yīng)用,考查古典概型的概率求法,屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理