2024屆河北省衡中清大教育集團(tuán)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆河北省衡中清大教育集團(tuán)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，若，則角的大小為（）A． B． C． D．2．若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos4．若圓的圓心在第一象限，則直線一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若，則下列結(jié)論中:(1)；(2)；(3)若，則；(4)若，則的最小值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．46．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．7．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．8．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人，高三學(xué)生人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷正確的是（）A．高一學(xué)生被抽到的可能性最大 B．高二學(xué)生被抽到的可能性最大C．高三學(xué)生被抽到的可能性最大 D．每位學(xué)生被抽到的可能性相等9．已知某7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差為（）A． B．3 C． D．410．已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=1．∠ASC=∠BSC=45°則棱錐S—ABC的體積為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則________（用反三角函數(shù)表示）12．設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.13．已知等差數(shù)列中，，則_______14．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線的方程為___________.15．一組樣本數(shù)據(jù)8，10，18，12的方差為___________.16．已知為銳角，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）設(shè)1＜x＜，求函數(shù)y＝x（3﹣2x）的最大值；（2）解關(guān)于x的不等式x2-（a+1）x+a＜1．18．如圖，在三棱錐中，垂直于平面，.求證：平面.19．的內(nèi)角的對邊分別為.（1）求證:；（2）在邊上取一點(diǎn)P，若.求證:.20．的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，，，求的面積．21．已知（且）.（1）若，求的值；（2）若沒有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

由平面向量數(shù)量積的定義得出、與的等量關(guān)系，再由并代入、與的等量關(guān)系式求出的值，從而得出的大小.【題目詳解】，，，由正弦定理邊角互化思想得，，，同理得，，，則，解得，中至少有兩個(gè)銳角，且，，所以，，，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，考查利用正弦定理、兩角和的正切公式求角的值，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將問題轉(zhuǎn)化為正切來進(jìn)行計(jì)算，屬于中等題.2、C【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【題目詳解】根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到結(jié)束故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生對于程序框圖的理解能力和計(jì)算能力.3、B【解題分析】

由正弦定理可得，，則，，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，取得最大值，此時(shí)的面積最大，求解即可.【題目詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，取得最大值，此時(shí)的面積最大.取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交圓于點(diǎn)，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積的計(jì)算、正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

由圓心位置確定，的正負(fù)，再結(jié)合一次函數(shù)圖像即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，由圓心在第一象限可得，所以直線的斜率，軸上的截距為，所以直線不過第一象限.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一次函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解題分析】

利用函數(shù)知識、換元法、絕對值不等式等知識，對選項(xiàng)進(jìn)行一一推理證明，即可得答案.【題目詳解】對（1），，∴或，∵或，∴原不等式成立，故（1）正確；對（2），∵，故（2）正確；對（3），令，則，顯然不成立，故（3）錯(cuò)誤；對（4），∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值為顯然不成立，故（4）錯(cuò)誤.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與不等式的知識，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意消元法、換元法的使用.6、C【解題分析】

，時(shí)，、、不成立；利用作差比較，即可求出．【題目詳解】解：，時(shí)，，，故、、不成立；，，．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時(shí)，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。8、D【解題分析】

根據(jù)分層抽樣是等可能的選出正確答案.【題目詳解】由于分層抽樣是等可能的，所以每位學(xué)生被抽到的可能性相等，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查隨機(jī)抽樣的公平性，考查分層抽樣的知識，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

由平均數(shù)公式求得原有7個(gè)數(shù)的和，可得新的8個(gè)數(shù)的平均數(shù)，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【題目詳解】因?yàn)?個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，由平均數(shù)和方差的計(jì)算公式可得，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查均值與方差的概念，掌握均值與方差的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．10、C【解題分析】如圖所示,由題意知,在棱錐SABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=1,SC=4,SA=AC=SB=BC=1.取SC的中點(diǎn)D,易證SC垂直于面ABD,因此棱錐SABC的體積為兩個(gè)棱錐SABD和CABD的體積和,所以棱錐SABC的體積V=SC·S△ADB=×4×=.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】∵，，∴.故答案為12、.【解題分析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【題目詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，13、【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，用與表示等式，再用與表示代數(shù)式可得出答案?！绢}目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因此，，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)的計(jì)算，解決等差數(shù)列有兩種方法：基本性質(zhì)法（與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)）以及基本量法（用首項(xiàng)和公差來表示相應(yīng)的量），一般利用基本量法來進(jìn)行計(jì)算，此外，靈活利用與下標(biāo)有關(guān)的基本性質(zhì)進(jìn)行求解，能簡化計(jì)算，屬于中等題。14、；【解題分析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，∵是中點(diǎn)，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．15、14【解題分析】

直接利用平均數(shù)和方差的公式，即可得到本題答案.【題目詳解】平均數(shù)，方差.故答案為：14【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)公式與方差公式的應(yīng)用.16、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，并利用二倍角正切公式計(jì)算出的值，再利用兩角和的正切公式求出的值.【題目詳解】為銳角，則，，由二倍角正切公式得，因此，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值、二倍角正切公式和兩角和的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是靈活利用這些公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）由題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值．（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜1，分類討論求得它的解集．【題目詳解】（1）設(shè)1＜x，∵函數(shù)y＝x（3﹣2x）2，故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最大值為．（2）關(guān)于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜1，即（x﹣1）（x﹣a）＜1．當(dāng)a＝1時(shí)，不等式即（x﹣1）2＜1，不等式無解；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|1＜x＜a}；當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|a＜x＜1}．綜上可得，當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|1＜x＜a}，當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|a＜x＜1}．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，一元二次不等式的解集，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．18、證明見解析【解題分析】

分析：由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得平面.詳解：∵面，在面內(nèi)，∴，又∵，，∴面.點(diǎn)睛：證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）余弦定理的證明其實(shí)在課本就直接給出過它向量方法的證明，通過，等向量模長相等就可，當(dāng)然我們還可以通過坐標(biāo)的運(yùn)算完成（如方法二）（2）通過點(diǎn)P，將三角形分割，這種題中多注意幾個(gè)相等（公共邊相等，）我們可以得到相對應(yīng)的等量關(guān)系，完成本題.【題目詳解】（1）證法一:如圖，即證法二:已知中所對邊分別為，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，所以（2）令，由余弦定理得:，因?yàn)樗运运浴绢}目點(diǎn)撥】（1）向量既有大小又有方向.在幾何中是一種很重要的工具，比如三角形中，三邊有大小，角度問題我們可以轉(zhuǎn)化為向量夾角相關(guān)，所以很容易想到向量方法.（2）解組合三角形問題，多注重圖形中一些恒等關(guān)系比如邊長、角度問題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理、三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得：，結(jié)合范圍，可得，進(jìn)而可求A的值．（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形內(nèi)角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【題目詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，∵，∴，∴，可得：．（2）∵，點(diǎn)D在邊上，，∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，