江蘇省南京梅山2022年高考數(shù)學全真模擬密押卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設“，"是兩條不同的直線，a,是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若m!M,mLB，則〃

②若則々〃尸；③若加_La,nila,則加_L〃；④若mHa,m工0,則。J_￡；其中真命題的個

數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=(l+i)(2+i),則其共軌復數(shù)』=()

A.l+3zB.1-3zC.—l+3zD.-1—3i

9+1X〉0

3.已知函數(shù)/(X)={'是奇函數(shù)，則g(7(-D)的值為()

g(x),x<0

A.-10B.-9C.-7D.1

4.已知/為拋物線無2=4)，的準線，拋物線上的點M到/的距離為d,點尸的坐標為(4,1),貝1」|畫+。的最小值是

()

A.717B.4C.2D.1+V17

5.已知雙曲線「+-斗=13>0/>0)的一條漸近線為/,圓C：(x—c)2+V=4與/相切于點A，若乙4片乙的

面積為26，則雙曲線廠的離心率為()

A.2B.C.-D.—

333

6.已知為非零向量，*25=52萬”為“區(qū)忸=歸5”的()

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/(*),當xNO時，設a=/(E0),b=/(&),c=/(ln^),

則)

A.h>a>cB.h>a=cC.a=c>bD.c>a>h

1-Y2

8.函數(shù)上的圖象大致為0

ex

9.已知函數(shù)/□)=,則/[/.(—2)]=()

C.3D.4

10.函數(shù)f(x)=Asin(s+0)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與7Xx)的圖象交于兩點，且M在)’軸

上，則下列說法中正確的是

A.函數(shù)/(x)的最小正周期是2兀

<4、

B.函數(shù)的圖象關于點可兀,0成中心對稱

C.函數(shù)"X)在(-=,<)單調遞增

36

54

D.函數(shù)/(X)的圖象向右平移——后關于原點成中心對稱

12

11.已知3=(1,2),B=(m,/”+3),c=(加一2,-1),若￡//B，則B?2=()

A.-7B.-3C.3D.7

12.已知山，〃是兩條不重合的直線，a是一個平面，則下列命題中正確的是()

A.若m//a,ntla,則/”〃〃B.若mJ/a,〃ua,貝||〃〃/〃

C.若/〃J_〃，m±a,則〃//aD.若n!la?則〃z_L〃

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在數(shù)列｛凡｝中，％=1,。戶0,曲線y=V在點(?！?片)處的切線經(jīng)過點(見M，0),下列四個結論：①為=|；

1465

②。3=彳；③￡生=不7；④數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；其中所有正確結論的編號是______.

3/=]27

22

14.已知曲線。：J—]=l(x>0),點A,8在曲線。上，且以AB為直徑的圓的方程是。-2)2+(>-1)2=1.則

2aa

15.已知函數(shù)/。)="一6一'一1,則關于x的不等式/(2%)+/(%+1)>-2的解集為.

16.已知函數(shù)/(另=羋，g(X)=—,若函數(shù)知X)=g(〃X))+m有3個不同的零點XI,X2,X3(X|VX2〈X3),則

2xx-m

2/(毛)+/(%)+/(&)的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)三棱柱ABC-AAG中，平面A41gB，平面ABC,AB=A4,=A3=4,BC=2,AC=2也，點F

為棱A3的中點，點E為線段4G上的動點.

(1)求證：EF1BC；

(2)若直線與E與平面AFG所成角為60°,求二面角后-84-4的正切值.

x-cosa

18.(12分)在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為.八以。為極點，大軸正半軸為極軸建立極坐標系,

y-sin0.

7T

設點A在曲線。2：夕Sin6=l上，點8在曲線。3：。=-7■(2>°)上，且AAOB為正三角形.

(D求點A,3的極坐標；

(2)若點P為曲線G上的動點，M為線段AP的中點，求18Ml的最大值.

19.(12分)在①a=2,②a=b=2,③。=c=2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求AABC的面積

的值(或最大值).已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,三邊。，b,c與面積S滿足關系式:

4S=b2+c2-a2,且,求AABC的面積的值（或最大值）.

20.（12分）橢圓E：,+，=l（a>人>0）的離心率為乎，點出吟為橢圓上的一點.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若斜率為攵的直線/過點A（O,l）,且與橢圓E交于C,。兩點，B為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)攵，

直線BC,BD的斜率之積為定值.

21.（12分）2019年安慶市在大力推進城市環(huán)境、人文精神建設的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關部門

為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過

抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：

（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布N（M，210）,〃近似為這1000人得分的平均

值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求尸（50.5<Z<94）；

（2）在（1）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

（0得分不低于〃可獲贈2次隨機話費，得分低于〃則只有1次：

（u）每次贈送的隨機話費和對應概率如下：

贈送話費（單位：元）1020

2]_

概率

3

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調查，記x（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列.附:

7210=14.5,若Z?則P(〃-3<Z<〃+S)=0.6826,P(〃—23<Z<〃+26)=0.9544.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=4sin(tyx+e)[A>O,3>O,-g<0<[]的最小正周期是乃，且當x=工時，/(x)

I22J6

取得最大值2.

(1)求/(X)的解析式；

(2)作出/(%)在[0,句上的圖象(要列表).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.

【詳解】

如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線機

平行于平面。與平面夕的交線時也有加〃a,〃?/〃?，故②錯誤；若則加垂直平面

a內(nèi)以及與平面e平行的所有直線，故③正確；若m/la,則存在直線/ua且〃?/〃，因

為ml/3,所以/，力，從而故④正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.

2.B

【解析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出z,然后再根據(jù)共加復數(shù)的概念直接寫出之即可.

【詳解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共朝復數(shù)三=1一33

故選：B.

【點睛】

本題考查復數(shù)的乘法運算以及共朝復數(shù)的概念，難度較易.

3.B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達式，先求得了(-1)的值，然后結合了(x)的奇偶性，求得g(/(-1))的值.

【詳解】

因為函數(shù)/(幻=1’"是奇函數(shù)，所以/(—1)=—f(1)=-2,

g(x),x<0

g(/(-D)=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故選：B

【點睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結合思想.意在考查學生的運算能力，分析問題、解決

問題的能力.

4.B

【解析】

設拋物線焦點為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當P，M，F(xiàn)共線時，|函+4取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點尸(0,1),準線y=-l,

過M作交/于點N,連接尸M

由拋物線定義耳=d,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>|PF|=V4?=4,

當且僅當三點共線時，取“=”號,

+d的最小值為4.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題.

5.D

【解析】

由圓。：(工一。)2+丁=4與/相切可知，圓心C(c,O)到/的距離為2,即。=2.又SAA"2=2S"OE="=2g,由

此求出。的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得b=2,SAAFiF2-ab=273,

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質，直線與圓相切的性質，離心率的求法，屬于中檔題.

6.B

【解析】

由數(shù)量積的定義可得a2=\af>0,為實數(shù)，則由下各=石2G可得同2B=忖2-，根據(jù)共線的性質,可判斷訝=機再根據(jù)

\a\a=即判斷萬=九由等價法即可判斷兩命題的關系.

【詳解】

若a2b=ba成立，則同2b=停心則向量汗與B的方向相同，且同調=用同，從而口=忖,所以"以

若即=麻，則向量汗與坂的方向相同閭不=陣,從而口=忖，所以G=b.

所以“萬2石=B2G，，為“問斤=B,"的充分必要條件.

故選:B

【點睛】

本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應用.

7.B

【解析】

Y+2x

根據(jù)偶函數(shù)性質，可判斷a，C關系；由XNO時，/(幻=/_±；,求得導函數(shù)，并構造函數(shù)g(x)="-x-l,

由g'(x)進而判斷函數(shù)f(x)在x20時的單調性，即可比較大小.

【詳解】

/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以c=/In與=f-ln^y-^|=/(lnV2)

所以a=c；

f+2x

當xNO時，/(x)=e「；,

貝！|f\x)=e'-x-\,

令g(x)=e*-x-l

貝！|g'(x)=，-l,當x?O時，g'(x)="—12O,

則8(>)=/-8-1在尤2()時單調遞增，

因為g(O)=e°—0—1=0,所以g(x)=e'—x—120,

即f'(x)=e'-x-l>Q,

X2-4-2艾

則于(x)=ex-在x>()時單調遞增，

而O<ln0<0，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，/(ln4]=/(ln&)</(&)

<)

即。=CV。，

故選：B.

【點睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質應用，由導函數(shù)性質判斷函數(shù)單調性的應用，根據(jù)單調性比較大小，屬于中檔題.

8.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個選項，再根據(jù)特殊值/(2)可區(qū)分剩余兩個選項.

【詳解】

]-r2

因為八-x)=------新X)知/(X)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B,C.

1-43

又八2)=-^-=-r<0.排除A,故選D.

ee~

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.

9.C

【解析】

結合分段函數(shù)的解析式,先求出/(-2)，進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得/則

(-2)=32=9,/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的值，考查了分段函數(shù)的性質，考查運算求解能力，屬于基礎題.

10.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/(x)=Asin(2x+g),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質，即可求解，得到答案.

【詳解】

7T1Jr7T7V

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點C的橫坐標為工，所以丁7=”-(-7)=二，解得T=不，

32362

所以/(x)的最小正周期丁=〃，不妨令A>0,。<。<乃，由周期丁=〃，所以。=2,

又/(一￡|=0,所以9=。，所以〃x)=Asin(2x+3

jrk7T7147r/、f4

令2x+^=時/eZ,解得x=女eZ,當左=3時，x=—,即函數(shù)/(x)的一個對稱中心為彳萬,0

3263\3

即函數(shù)/(x)的圖象關于點[g乃,o]成中心對稱.故選B.

【點睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及運算與求解能

力，屬于基礎題.

11.B

【解析】

由平行求出參數(shù)加，再由數(shù)量積的坐標運算計算.

【詳解】

由Z//B，得2機一(機+3)=0,則7"=3,

b=(3,6),c-(1,-1),所以石-c=3-6=-3?

故選：B.

【點睛】

本題考查向量平行的坐標表示，考查數(shù)量積的坐標運算，掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關鍵.

12.D

【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷.

【詳解】

解：選項A中直線〃?，〃還可能相交或異面，

選項B中加，”還可能異面，

選項C,由條件可得〃//二或〃ua.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.0(3X3)

【解析】

先利用導數(shù)求得曲線y=x’在點(/,片)處的切線方程，由此求得明與?！暗倪f推關系式，進而證得數(shù)列｛q｝是等比

數(shù)列，由此判斷出四個結論中正確的結論編號.

【詳解】

???y=3/，二曲線y=/在點（a,，C）處的切線方程為V-嫁=3。；（%一4）,

則-a：=3a；（%-%）.

2

Van^0,:.a“+i=，

2

則｛4｝是首項為1,公比為§的等比數(shù)列，

44

從而。2=|，

91火4=-

7/?=12-27'

3

故所有正確結論的編號是①③④.

故答案為：①③④

【點睛】

本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項公式和前〃項和公式,

屬于基礎題.

14.土立

2

【解析】

設所在直線方程為設點坐標分別為（石,都在。上，代入曲線方程,

43/"：y—l=Z（x-2）A.3Ay）,B（x2,y2）,

兩式作差可得21一2=不一1=不*不=1,從而可得直線的斜率，聯(lián)立直線AB與。的方程，由|AB|=2,利用

弦長公式即可求解.

【詳解】

因為是圓的直徑，必過圓心（2,1）點，

設AB所在直線方程為&,：V-1=k（x-2）

設4.8點坐標分別為4（%,乂），8（和必），都在。上,

22

工上=1

2a2a2

兩式相減,

22

V__2z-=i

2

121a

可得(％—士)(網(wǎng)+WM-％)(X+)‘2)

2

2a2a

6…2=P+X2=」X2=1

%一/2y+%22

(因為(2,1)是AB的中點)，即攵=1

聯(lián)立直線A3與。的方程：

y^x-1

*Xay~廠―4x+2+2a-=0

2

12"a

又|A3|=2,即|AB『=4,即

(%,-^)2+(^-^)2=4

又因為yx-y1=x{-x2,

則有4=2(再-X2)2=2^(%1+x2)--4X]X2J

=2[42-4(2+2a2)]

即8-8/=2

?一+百

??-i---

2

故答案為：土立

2

【點睛】

本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.

15.(一;,+8)

【解析】

判斷8(力=/(月+1的奇偶性和單調性，原不等式轉化為g(2x)>T(x+)=g(-x—),運用單調性，可得到所

求解集.

【詳解】

令g(x)="x)+l，易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，在R上單調遞增，

f(2x)+〃x+l)>-2o"2x)+1+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)>0,

，g(2x)>-孰x+)=g(-x-)

2x>-x-\?即x>——

3

故答案為：,+o0^

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

16.(T，O)U(O，g)

【解析】

先根據(jù)題意，求出〃(x)=g(/(x))+〃?的解得f(x)=￡,或"x)=-〃7,然后求出f(x)的導函數(shù)，求其單調性以及

最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)〃(x)=g(/(x))+〃?有3個不同的零點X”X2,X3(X1VX2〈X3),分情況討論求出

2/(xJ+/(9)+/(七)的取值范圍.

【詳解】

解：令t=f(x),函數(shù)〃(x)=g(/(x))+〃7有3個不同的零點，

即g(f)=a_+m=0有兩個不同的解，解之得4=”/=—加

t-m2

即/(x)=￡,或/(x)=-m

因為=的導函數(shù)

尸(x)=f(；.絲)(x>0),令/'(x)<0,解得x>e,/((%)>0,解得0<x<e,

可得f(x)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞減；

f(x)的最大值為/(e)=g,且xf0,/(x)f-oo；xf+ooj(x)-0

且f⑴=0;

要使函數(shù)〃(x)=g(/(x))+"7有3個不同的零點，

(1)〃x)=￡,有兩個不同的解，此時〃X)=TW有一個解；

(2)/(力=一加有兩個不同的解，此時/(力=￡,有一個解

當f(x)=￡,有兩個不同的解，此時/(力=一加有一個解，

此時一機=!，/〃=一’,不符合題意；

24

或是一m=0,m=0不符合題意；

-m<0

所以只能是，m1解得0<〃?<1

I22

/(%2)=/(x3)=p

此時2〃內(nèi))+/(3+/(%,)=-1?,

此時一1〈一〃z<()

"X)=T〃有兩個不同的解，此時/(力=￡,有一個解

此時絲=_L,〃?=1,不符合題意；

22

或是二=0,m=0不符合題意；

2

m八

—<0

?21

所以只能是解得一5<加<。

I2

/(工2)=/(不)=一加

此時2〃X|)+/(%)+/(玉)=-加，

0八<-m<—1

2

綜上：2/(XJ+/(G)+/(X,)的取值范圍是(一l，0)u(0，g)

故答案為(-1，0)口(0，￡|

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)與導函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點，導函數(shù)的應用，以及數(shù)形結合的思想、分類討論的思想,

屬于綜合性極強的題目，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(1)見解析；(2)y

【解析】

(1)可證3C，面4EF,從而可得

(2)可證點E為線段4G的三等分點，再過E作于G,過G作垂足為，，則NE/7G為二

面角E-的平面角，利用解直角三角形的方法可求tanNE”G.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系，利用

兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關系式可求tanZEHG.

【詳解】

證明：(1)因為A5=A4]=4B,尸為A8中點，所以

因為平面照片3J.平面ABC,平面AAABC平面ABC=AB,A/u平面

所以4尸，平面ABC,而BCu平面ABC,故4尸，8。，

又因為BC2+AC2=AB2,所以BC_L4C,則

又AC|CAE=A，故8。_1面4后廣，又EFU面A]EF,所以3CLER.

(2)由(1)可得：與G_1面4/&,3田在面AFG內(nèi)的射影為AG，

則ZB,EC,為直線B,E與平面AFC,所成的角，即Zfi,EC,=60°.

因為BCJ.AC,所以4G，4G，4G=2,所以EG=竽，所以46=半，

即點E為線段4G的三等分點.

解法一：過E作EG_LA用于G,則EG,平面48,

所以EG_L84,過G作G"_L881,垂足為，,

則ZEHG為二面角E—6耳一A的平面角,

因為EG=,AG=2,G”=2x

32

2G

則在用AEHG中，有+EGK2,

tanZEHG=-----=1=一

GH63

2

所以二面角E-BB「4的平面角的正切值為y.

解法二：以點尸為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,—2,0)，A(0,0,26)1(0,2,0),4(0,4,26),C(相,1,0),

設點石(5,為*。)，由章/得：一2出)=：(6,3,01

即/=半，^=2,Z0=2A/3,點后［孚,2,26),

平面A4f8的一個法向量而=(1,0,0),

(2^/3、________

又布=：,0,2百，8瓦=麗.=(0,2,26),

設平面EBq的一個法向量為n=(x,y,z),

----x+2\/iy=0r

則｛3,令x=G，則平面破耳的一個法向量為〃=(3,6,—1).

2y+2cz=0

布?而3

設二面角E-B4—A的平面角為。，貝!|c°se=wp=u，

22

即tan6=§,所以二面角E—Bq-A的正切值為

【點睛】

TT

線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為不得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中

注意三種垂直關系的轉化.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結為向量的夾角的計算，也可

以構建空間角，把角的計算歸結平面圖形中的角的計算.

18.⑴A(2,￡),小司(2)—FV3.

2

【解析】

(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得解;

(2)設點M的直角坐標為(x,y),則點P的直角坐標為(2X-6,2丁-1).將此代入曲線G的方程，可得點M在以

為圓心，；為半徑的圓上，所以|BM|的最大值為|BQ|+g,即得解.

【詳解】

n

(1)因為點B在曲線。3：夕=一一(夕>0)上，A496為正三角形,

6

7F

所以點A在曲線。=二(?！?)上.

6

又因為點A在曲線。2：。0m6=1上,

所以點A的極坐標是(2,",

從而，點3的極坐標是2,一看

(2)由(1)可知，點A的直角坐標為(6,1)，B的直角坐標為(61)

設點M的直角坐標為比丫)，則點P的直角坐標為(2x-V3,2y-1).

凡1n

x=——+—cos/

將此代入曲線G的方程，有22

y=—+—sin。，

r22

(應1>1

即點M在以。修,為圓心，不為半徑的圓上.

【22)2

|BQI=J*G)2+(|)2=6

所以的最大值為|BQ|+g=；+G.

【點睛】

本題考查了極坐標和參數(shù)方程綜合，考查了極坐標和直角坐標互化，參數(shù)方程的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃

歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

19.見解析

【解析】

?,222

若選擇①，結合三角形的面積公式，得4s=4x：6csinA=〃+c2-a2,化簡得到$皿A=生上工勺=cosA,貝!!

22bc

tanA=l,X00<A<180°,從而得到A=45。，

Z.22_2

將。=2代入-----=cosA,^b2+c2=\[2bc+4.

2bc

又回c+4=//+c2N2bc，:?bc<4+2版,當且僅當力=c=)4+2行時等號成立.

:.S=—ftcsinA<—x(4+2夜)x—=收+1,

222

故△ABC的面積的最大值為&+1，此時力=c="+2筋?

若選擇②，a=b=2,結合三角形的面積公式,得45=4x《bcsin4=從+j,化簡得到sinA="+二-。?=3,

22bc

則tanA=l,又()°<A<180°,從而得到A=45。，

則A=B=45°,此時△ABC為等腰直角三角形，S='x2x2=2.

2

若選擇③，b=C=2,則結合三角形的面積公式，得4s=4x?csin4=〃+c2_a2,化簡得到

sinA="+c,-a-=cosA,則tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，貝！|S='x2x2xsin45°=血.

2bc2

y2y2

20.(1)—+^-=1；(2)證明見解析

64

【解析】

(D運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得“，b,進而得到橢圓方程；(2)設直線/：丁=辰+1,代入橢圓方程,

運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值.

【詳解】

(1)因為e=所以cCI2=Z?2+-^―ci①

33UJ

又橢圓過點(6,五)，所以方+3=1②

由①②，解得〃=6,/=4

所以橢圓E的標準方程為工+片=1.

64

(2)證明設直線/：y^kx+\,

"22

工+匕=1

聯(lián)立｛64一得(3r+2*+6京一9=0,

y=kx+l

設。(石,y),。(々,必)，

e6k9

貝!]x,+x------——,x.x--------——

123k2+21223k2+2

易知8（0,-2）

故后卜_M+2%+2_依1+3米2+3々29丁+3-（X1+x?）+9

x}x2

i，3Hxi+%）9與-

=k-+—~-+——=k72+3k-（3/+2）=-2

xtx2xtx2

所以對于任意的左，直線BC,BD的斜率之積為定值.

【點睛】

本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理

和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題.

21.(1)0.8185(2)詳見解析

【解析】

(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點橫坐標之和，再利用正態(tài)分布的對稱性進行求解.

(2)寫出隨機變量的所有可能取值，利用互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式，再列表得到其分布列.

【詳解】

解：(1)從這1000人問卷調查得到的平均值〃為

//=35x0.025+45x0.15+55x0.20+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75

=65

???由于得分Z服從正態(tài)分布N（65,210）,

06R96+0QS44

.?.P（50.5vZ<94）=尸（65—14.5<Z<65+2x14.5）=-------=0.8185

（2）設得分不低于〃分的概率為p,p=P（Z2〃）=；

02251

（或由頻率分布直方圖知p=0.025+0.15+0.2+上h=0.5=-）

法一：X的取值為10,20,30,40

P（X=10）=；xg=；；

P（X=20）△x1+'幺2=2_；

,72323318

P(X=30)+C；(|針］

p(X=40)」xk，」；

,723318

所以X的分布列為

X10203040

721

P

318918

法二：2次隨機贈送的話費及對應概率如下

2次話費總和203040

2211

P—X——X—

33明033

X的取值為10,20,30,40

121

P（X=10）=—x—=—；

17233

__11147

P（zX=20）=—x-+-x-=—；

'7232918