天津市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

南開中學(xué)2024屆高三第三次月檢測數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試結(jié)束后，請交回答題卡.第I卷一?選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.2.已知直線，則“”是“”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.4.設(shè)，則的值為（）A.B.C.26D.275.若則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.6.如圖，實(shí)心正方體的棱長為4，其中上?下底面的中心分別為.若從該正方體中挖去兩個(gè)圓錐，且其中一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，另一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（）A.B.C.D.7.已知拋物線準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A.10B.14C.20D.249.已知函數(shù)，有下列命題：（）①為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸②將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為③在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是④函數(shù)在上單調(diào)遞增其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4第II卷二?填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.）10.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)__________.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.（結(jié)果用數(shù)字表示）12.圓與圓的公共弦所在直線被圓：所截得的弦長為__________.13.2023年成都大運(yùn)會(huì)期間，5名同學(xué)到3個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，每個(gè)場館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.14.已知平行四邊形的面積為為線段的中點(diǎn).則__________，若為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為__________.15.牛頓迭代法又稱牛頓—拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法，具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值，設(shè)的零點(diǎn)為，取，則的2次近似值為__________；設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為.若任意的恒成立，則整數(shù)的最小值為__________.三?解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16.（本小題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，.（1）求和的值；（2）求的值.17.（本小題滿分15分）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，平面平面.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面的夾角為，試求的取值范圍.18.（本小題滿分15分）橢圓，長軸長為（為半焦距），左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），兩點(diǎn)均在橢圓上且關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，直線與的外接圓（為圓心）相切于點(diǎn)，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，且；（1）求橢圓的離心率；（2）求直線與直線的斜率；（3）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19.（本小題滿分15分）已知數(shù)列，，即當(dāng)時(shí)，，記.（1）求的值；（2）求當(dāng)，試用的代數(shù)式表示（3）對(duì)于，定義集合是的整數(shù)倍，，且，求集合中元素的個(gè)數(shù).20.（本小題滿分16分）設(shè)是正整數(shù)，為正有理數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）證明：；（3）設(shè)，記為不小于的最小整數(shù)，例如.令，求的值.（參考數(shù)據(jù)：）2024屆南開中學(xué)高三第三次月考數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一?單選題1-9DABABDCDB二?填空題10.11.12.13.15014.，15.，三?解答題16.解：（1）在中，由，為鈍角，，的面積為，可得，即，則，聯(lián)立，解得，由，可得，由正弦定理得，即，解得.（2）且為銳角，，，.17.解：（1）在等腰梯形中有，所以且，所以，即，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫嫫矫?，所以平?所以，因?yàn)槊婷?因?yàn)槊?，所?（2）由（1）知平面且，如圖，以為原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，軸，軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為；（3）令，則，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，而平面平面，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，又，所以，所以，故的取值范圍為.18.（1）因?yàn)殚L軸長為，所以離心率.（2）設(shè)橢圓方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程可得：，韋達(dá)定理，，代入，得，即點(diǎn)；所以，解得，所以直線的斜率為.所以的外接圓圓心，因?yàn)?，所以直線的斜率為.（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得：，由韋達(dá)定理：可得，代入直線方程則，所以；所以；.因此，橢圓的方程為.19.解：（1）依題意：，由得，所以；（2）①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，；綜上：；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑恼麛?shù)倍，所以為整數(shù)，所以為奇數(shù)，由得，所以滿足條件的的個(gè)數(shù)為，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為1024.20.解：（1）依題意，，而為正有理數(shù)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)