導(dǎo)數(shù)運(yùn)算函數(shù)差積商

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用INNOVATIVEDESIGN5.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期課標(biāo)要求能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).素養(yǎng)要求在利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究內(nèi)容索引互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究11.思考令y＝f(x)＋g(x)，如何求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？2.填空設(shè)兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)可導(dǎo)，則f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)3.做一做

(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)BCHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).題型一利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解

法一可以先展開后再求導(dǎo)：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的策略(1)分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定求導(dǎo)法則、基本公式.(2)如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等.(3)利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，能利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo).思維升華訓(xùn)練1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝(x2＋1)(x－1)；解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.角度1求導(dǎo)法則的逆向應(yīng)用題型二求導(dǎo)法則的應(yīng)用例2

已知f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1對(duì)一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.解

由f′(x)為一次函數(shù)可知，f(x)為二次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入關(guān)于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又該方程對(duì)一切x∈R恒成立，待定系數(shù)法就是用設(shè)未知數(shù)的方法分析所要解決的問題，然后利用已知條件解出所設(shè)未知數(shù)，進(jìn)而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式，特別是已知具有某些特征的函數(shù).思維升華訓(xùn)練2

設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函數(shù)表達(dá)式.解

∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c為常數(shù))，又∵方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，即x2＋x＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，角度2求導(dǎo)法則在導(dǎo)數(shù)幾何意義中的應(yīng)用(1)此類問題主要涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素，解題方法為把其他題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解.(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確.思維升華1，1課堂小結(jié)1.牢記導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.2.掌握運(yùn)用法則求導(dǎo)的方法

在運(yùn)用法則求導(dǎo)時(shí)，對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)可先化簡函數(shù)解析式再求導(dǎo).3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) (f(x)g(x))′≠f′(x)g′(x).TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成3BA3.下列運(yùn)算中正確的是(

)A4.若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(

) A.－1 B.－2 C.2 D.0B解析

f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函數(shù)，故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.5.(多選)過點(diǎn)P(2，－6)作曲線f(x)＝x3－3x的切線，則切線方程為(

) A.3x＋y＝0 B.24x－y－54＝0 C.3x－y＝0 D.24x－y＋54＝0AB解析

設(shè)切點(diǎn)為(m，m3－3m)，f(x)＝x3－3x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2－3，則切線斜率k＝3m2－3，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程為y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，將點(diǎn)P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，解得m＝0或m＝3.當(dāng)m＝0時(shí)，切線方程為3x＋y＝0；當(dāng)m＝3時(shí)，切線方程為24x－y－54＝0.6.函數(shù)f(x)＝exsinx的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處切線的傾斜角為________.19.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：10.已知拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，且在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為4x－y－3＝0，求a，b的值.

解

由拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，

得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.

因?yàn)閒′(x)＝2ax＋b，且拋物線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.A13.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；解

因?yàn)閒(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程.解

由(1)可知，g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.14.等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝________.

4096解析

因?yàn)閒′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·