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文檔簡(jiǎn)介
1.2.2
空間中的平面與空間向量
第2課時(shí)新授課1.理解三垂線定理及其逆定理，會(huì)用三垂線定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.問(wèn)題：過(guò)平面外一點(diǎn)，能做幾條直線與平面垂直？有且只有一條.αA′Al
已知空間中的平面α以及點(diǎn)A，過(guò)A作α的垂線l，設(shè)l與α相交于點(diǎn)A',則A'就是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影(也稱(chēng)為投影).知識(shí)點(diǎn)一：三垂線定理及其逆定理
空間中，圖形F上所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影所組成的集合F′，稱(chēng)為圖形F在平面α內(nèi)的射影.
思考：已知AB是平面α的一條斜線且B為斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α=B)，設(shè)其中A'是A在平面α內(nèi)的射影，而l是平面α內(nèi)的一條直線，如圖所示.判斷下列命題是否成立，并用空間向量證明：(1)當(dāng)l⊥A′B時(shí)，l⊥AB；(2)當(dāng)l⊥AB時(shí)，l⊥A′B.
(2)當(dāng)l⊥AB時(shí)，l⊥A′B.
三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.
三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.歸納總結(jié)
例1
如圖所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)正方體，求證：A1D⊥BD1.證明連接AD1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴AB⊥面ADD1A1，∴BD1在平面ADD1A1內(nèi)的射影為AD1.又∵ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，∴根據(jù)三垂線定理可知A1D⊥BD1.
例2如圖所示的三棱錐O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD為△CAB的AB邊上的高，求證：OD⊥AB.證明∵CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB=O，∴CO⊥面OAB.∵CD在平面OAB內(nèi)的射影為OD，又∵CD⊥AB，∴根據(jù)三垂線定理的逆定理可知OD⊥AB.歸納總結(jié)應(yīng)用三垂線定理或其逆定理解題的思路：確定平面及平面垂線確定平面的斜線及斜線的射影在平面內(nèi)證明某一條直線與平面的斜線或斜線的射影垂直一定平面二找垂線三證垂直
如圖，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BD.證明∵PA⊥正方形ABCD所在平面，則PC，PO在平面ABCD內(nèi)的射影為AC，AO，又AC⊥BD，AO⊥BD，由三垂線定理得，
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